BAC Algérie 2024 mathématiques - Corrigé Ex3 Arithmétique

bonjour à tous Aujourd'hui on s'attaque au bac algérien avec l'exercice 3 sur l'arithmétique on est dans le sujet 1 parce qu' avait deux sujet au choix donc ça c'est donc l'exercice 3 du sujet 1 j'ai mis les versions ici dans la langue d'origine et j'ai traduit ici donc on est parti on considère une équation du ancienne ici donc 7X - 13 y = 29 x et y sont des anti relatifs donc on est dans Z2 donc il y a tout un petit travail après on revi sur les congruences avec des puissances donc de 3 modulo 5 exercice assez joli donc plaisant première question assez originale parce que on cherche un coupe solution donc ça c'est classique solution particulière et là on va rajouter une contrainte on veut que X0 - 3 y0 = 3 donc qu'est-ce qu'on fait et bien on est amené à résoudre un système à deux équations deux inconnu que je vais appeler s d'accord on va comme ceci c'est donc 7X - 13y = 29 et X- 3Y = 3 alors est-ce que ce système déjà des solutions mon calcul sont déterminant 3 x 7fin 3 donc x 7 - 21 plus donc ici 13 et donc différent 0 donc unique couple solution donc la question a du sens puisquil y a marqué déterminer le couple d'accord donc il y a effectivement un seul couple comment on va résoudre ça une petite combinaison donc ici on va prendre la première ligne et on va lui enlever 7 fois la deuxème donc on fait ligne 1- 7 FO ligne 2 donc est-ce que j'obtiens 7X - 7X donc il y a plus de X - 13x - 3 ça fait - 1x + 21 ça fait donc 8y = 29 - 21 = 8 donc y = 1 Voyez on a x = 3 + 3Y et donc j'obtiens y y = 1 et x = 3 + 3 6 donc et bien X0 y0 c'est donc le couple 6 1 pour ceux qui on un petit peu de mal à faire les combinaisons pouvez les faire à côté vous écrivez 7X - 13y = 29 vous multipliz 2 par 7 7X - 21y = 21 vous faites la soustraction vous n'avez plus de X - 13 + 21 21 29 - 21 ça fait bien 8 les solutions de l'équation donc c'est une équation niof ancienne c'est classique donc première chose on fait on réécrit l'équation alors pardon on va commencer à faire propre donc on va dire soit X Y un couple solution donc x y sont des antir relatifs ça veut dire qu'on a 7 x - 13y = 29 dessous j'écris 7 fois alors le coup solution c'est 61 donc 7 x 6 - 13 x 1 fait bien 29 et là on fait la soustraction et donc on obtient 7 fois al je vais vite x - 6 - 13 X Y - 1 = 0 he et donc une application ça ve dire que 7 X X - 6 est ég à 13 x Y- 1 et là on va utiliser le théorème de GAUS ça veut dire que 7 divise le produit 13 x y - 1 et 7 est premier avec 13 donc théorème de Gas il existe un entier cas relatif tel que et bien enfin d'abord excusez-moi on va d'abord thme de GA ça dit ça dit que 7 comme il est premier avec 13 et qui divise le produit 7 divise y-1 et donc il existe un entier cas relatif tel que Y- 1 = 7 x k d'accord c'est dire que y s'écrit 1 + 7 k ensuite j'injecte ça toujours dans la même relation ça veut dire que 7 X X - 6 est é= à 13 X Y - 1 mais y - 1 c'est 7 x k donc vous simplifiez par 7 ça veut dire que X est ég à 6 + 13 x k donc conclusion si XY et solution alors il existe un entier relatif k tel que et bien x = 6 + 13 K et en même temps y = 1 + 7k maintenant réciproque soit k appartenant à Z bien quand on regarde donc 7 x 6 + 13 K 13 x 1 + 7k si on calcule ça fait donc 6 x 7 42 13 x 7 donc ça fait 91 K - 13 91 k les 80k disparaissent 42 - 13 29 donc on vient de montrer que quel que soit k appartenant à Z le couple 6 + 13k 1 + 7k et solution de notre équation e la conclusion mais c'est que les solutions sont dans cet ensemble tout cet ensemble les solutions donc les solutions de sont exactement les couples qu'on vient de trouver d'accord et donc on peut écrire que s alors c'est pas mon système c'est les solution 2 donc je vais mettre se c'est donc l'ensemble des couples 6 + 13 k ensuite 1 + 7 K et avec donc k donc tel que k appartient à Z et on a terminé cette question B déterminer maintenant c'est la question C l'ensemble des couples XY solution l'équation e telle que la Vale absolue de X- y - 5 est inférieur égale à 6 alors déjà XY est solution 2 donc XY donc soit le couple XY solution de E dans ce cas-là il existe donc je vais rester avec mon symbole il existe donc appartenant à Z tel que X Y s'écrit donc 6 + 13 K et y s'écrira 1 + 7k dans ce cas-là et bien la valeur absolue de X- y - 5 est donc égal à 6 + 13 K - 1 + 7 K - 5 ce qui donne alors ici 6 - 1 5 - 5 0 13k - 7k ça fait Val absolue de 6k donc ça ve dire que X - y - 5 infé ég à 6 ça équivaut donc à valeur absolue de 6k inférieur à 6 on peut sortir le 6 bien sûr c'est un nombre positif ça veut dire que absol de K est un fa égal à 1 or k appartient à Z donc ça veut dire que K appartient à l'ensemble - 1 0 ou 1 donc il a trois couples ici imp possible pour k = -1 k = 0 et K = 1 donc pour k = -1 donc ça fait 6 - 13 donc - 7 y = 1 - 7 - 6 pour k = 0 je trouve 6 1 c'est notre premier couple de la question 1 petit a et pour K = 1 6 c'est 13 19 1 et 7 8 donc il y a trois couples qui m'intéressent - 7 - 6 6 1 et 19 8 donc voilà la réponse à cette question deè question petite à déterminer suivant les valeurs de l'enti naturelle n le reste de la division qui 3^ n par 5 alors rapidement pour n = 0 donc 3 pu 0 vaut 1 donc 5 ça vaut 1 pour n = 1 ça fait 3 donc je laisse 3 pour N = 2 3 au carré ça fait 9 9 modu 5 ça fait 4 essayer d'aller jus la répétition 3 3 au Cu donc ça fait 27 mod 5 ça fait 2 N 4 ça fait donc alors obligéaller calculer mais sinon vous savez 4 ça fait 8 donc onou une boucle donc ça que 3 4 est congru à modo 5 ça c'est très intéressant ça nous permettre de travailler au niveau des puissances avec les rest la division par 4 donc on fait la division qui 2N par 4 c'est qu'il existe un couple q et r qui appartient alors ici n est un entier donc Q ça sera dans n et R aussi et mieux que ça parce que R c'est un reste ça appartient ensemble 0 1 2 3 d'accord tel que et bien N est égal à donc 3 x Q pardon Divion par 4 4 x Q plus le reste il y a donc 4 cas les différentes valeurs du reste si le reste est égal à 0 autrement dit n est congru à 0 modulo 4 dans ce cas-là et bien 3^ N est ég à 3^iss 4 x Q donc plus r donc il a pas de r ça fait donc 3^ 4 puiss Q et donc si on passe au congruance 3 pu n est congru à 3^ 4 on a dit que ça va 1 donc ici ça fait 1 puissance Q donc ça fait un modulo donc 5 ensuite si le reste est égal à 1 c'està-dire que n est égal à 1 moduo 4 alors 3^ n vaudra 3^ 4q + 1 donc 3^ 4^ Q x 3 et donc si on passe moduo 5 et bien cette partie là av 1 il me reste 3 modulo 5 et au fur à mesure jeis remplir un petit tableau donc si n est conru 0 modulo 4 ici j'obtiendrai 1 si ça vaut un mod 4 ici j'obtiendrai 3 donc je fais les deux autres si R é= 2 et si R é= 3 donc là j'ai de mod 4 3 mod 4 dans ce cas 3^ n c'est3^ 4q + 2 donc c 3^ 4^ Q x 3 Carr d'accord 9 et donc modulo 5 ça ça vaut 1 ça ça vaut 4 donc ça fera 4 du lot 5 donc ici je mets 4 mais 4 voilà pardon 4 et ensuite 3^ n 3^ 4q + 3 qui sera donc 3^ 4^ Q x 3³ donc 27 d'accord ça veut dire que modulo 5 27 va 2 donc j'ai 2 modulo 5 donc voilà mes possibilités pour 3^iss n modulo 5 donc le reste de la division qui de 3^ N par 5 et bien il est ici alors ici j'ai mis mais c'est en fait reste ça donne aussi reste puisque j'ai pris des valeurs entre 0 et euh 4 voilà donc voilà ce qu'on demandait 1 3 4 ou 2 voilà ce que vous pouvez proposer comme conclusion question suivante la 2B on va utiliser ce qu'on vient de faire démontrer que le nombre ici suivant est divisé par 5 alors tout d'abord on on voit que 2024 c'est égal à c'est congru un modulo 5 alors 3^ 1445 alors il faut regarder on vient d'étudier les puissances de 3 modulo 5 donc avant de regarder ça je vais regarder 1445 donc 1445 pour moduo 4 en fait on regarde que les deux derniers chiffres ça fait donc 44 ça fait un module au 4 donc d'après ce que VI de faire 3^445 un modul 4 c'est la deè colonne c'est congru à 3 modulo 5 on va avancer comme ça progressivement ensuite j'ai donc les deux premiers facteurs maintenant le deè terme 2023 alors 2023 ça vaut combien donc ça vaut 23 modu 4 donc ça vaut 3 modul 4 on obtient ceci de 103^ 4N + 2 c'est 3^ 4N module 5 mais on va revenir encore à ce qu'on VI de faire 4N + 2 c'est congru à quoi modulo 4 c'est congru à 2 d'accord donc d'après le tableau c'est la 3è colonne ça veut dire que 3 pu 4N + E ça vaut 4 modul 5 donc c'est que 2023 pu 4N + 2 est donc congru d'après notre tableau à 4 modul 5 il nous reste 9 donc puiss 2n + 3 alors transformer pas 9 en 4 on va perdre l'idée l'idée c'est des puissan de 3 donc 9 c'est 3 au carré donc 9 puiss 2 + 3 faut bien voir que c'est 3 car à la puiss 2n + 3 donc 3^ 4N + 6 voyez on est encore sur une puissance de 3 donc on va regarder 4N + 6 par rapport à donc 4 le reste la division par 4 et 4N + 6 c'est congru à 6 donc à 2 modul 4 d'accord donc 9 à puiss 2 + 3 et donc conruonne 4 mod 5 maintenant bil tout ça module 5 2024 cétait 4 345 on a dit que cétait 3+ ici 4 et 4 mod 5 donc c'est con à 12 + 4 + 4 c'est conr à 20 modulo 5 et donc c'est bien con à 0 modulo 5 donc effectivement indivisible par 5 on a terminé cette jolie question moi j'aime bien question 3 maintenant il y a un système alors on doit déterminer les entil naturels n tel que n est donc 0 mod 4 donc n est un multiple de 4 positif et on a ceci égal congru à 0 module 5 et x y sont qui apparaiss ici un couple solution de l'équation mais solution avec X qui sont des entiers naturel donc les de sont su à0 donc déjà on va traduire fait que solution de N2 donc ça veut dire il existe nombre alors ici tel que X c'est donc 6 + 1 K et y c'est 1 + 7 x yiv être positif donc c'est que K ici forcément au minimum peut pas être é à1 ça don x négatif et pareil ici donc ça veut dire que K il appartient à grand N donc on va calculer x + y X+ y est donc ég à 6 + 13 K + 1 + 7 K c'est donc 7 + 20 K donc bien ça veut dire que si on regarde parce que là on va prendre la pu de 3 donc c'est encore le même tableau il faut que je regarde X+ y modu au 4 donc si je fais modu au 4 20 fait 0 il me reste 7 donc c'est 3 modu 4 donc le reste paradision par 4 et 3 donc d'après ce qu'on a fait 3^ x + y est donc onr à quoi quand c'est 3 ça fait 2 donc 2 modulo 5 ensuite on a quoi d'autre on a euh n est conru à 0 module 4 donc n est congru à 0 module 4 donc il existe un nombre P appartenant n il est naturel il existe un N positifel que N s'écrve 4 ça on a 3 pu n 3près notre tableau c'est congru modulo 5 toujours cette même question ave le tableau très important question 2 tout in à chaque fois indiquer question 2 et donc notre système il équivaut à quoi et bien donc il existe P appartenant à grand N tel que N = 4P et donc si je remplace là dedans donc 3^ x + y ça vaut 2 donc j'ai 2 plus al 19 modulo 5 ça fait 4 ou alors 1 je vais mettre -1 3 pu n ça VO donc ça ça fait 1 2 et congru à 0 module 5 ici j'ai un que je vais remplacer par 4P donc là ça fait 8 x P alors qu'est-ce que ça donne ça donc il existe un entier naturel P tel que N s'écrit 4P et ici ça me donne quoi donc 8 x P je vais mettre ceci est congru à 1 modulo 5 donc P est à l'inverse de 8 modulo 5 mais 8 est aussi égal à 3 donc ici à la place de 8 on va mettre 3 x P est donc égal à 1 modulo 5 donc P est un inverse de 3 modulo 5 alors un inverse de 3 ben 3 x 3 9 donc ça ça va pas 3 x 4 12 3 x 1 3 3 x 2 6 3 x 2 6 donc 3 x 2 est congru 3 x 2 pardon 3 x 2 est congru à 1 modulo 5 donc c'est qu'ici si on a 3P congru 1 modulo 5 c'est équivalent on peut multiplier par 2 revenir dans l'utre sens en multipliant par 3 donc là c'est multipli par 2 ça fait 6 p donc P é= à 2 moduo 5 et équivalence vous pouvez passer par là en multipliant par 2 et revenir en multipliant par 3 donc ça ça équivaut à donc il existe P appartenant à grand N tel que N = 4 x P et en même temps P et bien est congru à de modulo 5 alors P est congru à 2 modulo 5 donc il existe alors P on va prendre Q Q appartenant à N on a ici que des nombres positifs hein toujours que P est un entier tel que P s'écrit donc 2 + 5 x Q ça veut dire que donc et bien il existe un nombre Q appartenant à grand N tel que N s'écrivve 4 x 2 + 5 Q c'est-à-dire 8 + 20 x Q et donc on a trouvé hein l'ensemble des solutions je vais appeler s alors c'est 3è question S3 c'est donc un ensemble des noms qui s'écrivent 8 + 20 x Q avec Q appartenant à grand donc c'est les entiers naturels qui sont égaux à 8 module au 20 question 4 donc on est sur le système de numération en base 7 on nous donne donc ici le nombre qui s'écrit 5 alpha 2 beta le 3 ça veut dire vous êtes dans la numération ici en base 7 alpha et beta sont des enti naturels alpha est plus grand que B les deux sont positifs strictement déterminer alpha et beta pour que a soit con à 4 5 donc ça c'est la première étape alors 5 alpha beta donc en numération 7 ça veut dire que c'est égal à donc alors on va partir dans l'autre sens le beta c'est donc une constante le 2 c'est donc 2 x 7^ 1 B c'est x 7^0 2 x 7^ 1 ensuite alpha x 7 car + 5 7 au cube on va donc passer moduo 5 donc ça c'est a donc a moduo 5 alors beta je sais pas 7 mod 5 c'est 2 donc là c'est 2 x 2 4 7 au carré ça fait 49 moduo 5 ça fait - 1 donc là je vais mettre alpha et ici 7 au³ alors 7 x 7 x 7 moduo 5 c'est congru à 2 x 2 x 2 d'accord puisque c congru à 2 donc ça fait 2 x 4 x 8 c'est donc on est modul 5 ce qui me fait 3 modules 5 donc ici + 3 x 5 15 et donc ça fait 0 donc 5 x 7 au³ c'est conru à 0 module au 5 donc j'ai a congru à B + 4 - alpha modulo 5 donc on revient au problème a est congru à 4 modulo 5 c'est donc congru à beta + 4- alpha est congru à 4 mod modul 5 les de 4 s'annulle il me reste donc beta é= alpha ou alpha ég à beta moduo 5 alors alpha beta c'est des chiffres en numération 7 donc vous savez que Alpha alors il est forcément faire égal à 6 bon ici dans le texte il est strictement positif donc on va peut-être mettre ici en même temps avec le beta ça fera une seule euh se encadrement donc j'ai betta alpha i un égal à 6 donc ça veut dire que ici on peut faire encore mieux on peut mettre ceci donc vous devez trouver deux nombres qui sont égau enfin congru congruents modulo 5 et ils sont tous les deux entre 1 et 6 il y a pas beaucoup de possibilités hein parce que si vous prenez pas ba é= 1 et bien forcément comme alpha et beta sont différents vous devez vous avez forcément 6 si vous prenez alpha beta é= 2 vous serez à 7 ça n'est pas pas possible donc la seule possibilité c'est le couple 1 6 alors ici hein alpha est conru à beta ça veut dire que il existe un nombre Q appartenant donc à N al ici c'est des entiers tels que Alpha ég beta + 5q mais comme alpha et beta sont entre 1 et 6 la ver de Q elle peut pas être ça pe pas être grand-chose c'est forcément un d'accord il y a pas il peut pas avir 10 d'écart entre les deux donc ici comme alpha est plus grand beta c'est le plus petit alpha est le plus grand donc ça veut dire qu'ici et bien avec ça on en déduit que Alpha égal à beta + 5 c'est obligatoire et comme beta est au minimum égal à 1 et plus grand et plus petit que 6 et bien on obtient une seule solution possible et bien c'est que Alpha é= à 6 et betta ég 1 d'accord et on a terminé cette petite partie donc seule possibilité bet = alpha si vous mettez beta = 2 vous voulez quelqu'un qui est qui est congru à beta moduo 5 donc il faut rajouter 5 ça veut dire que Alpha se passerait déjà à 7 c'est pas possible he puisqu'on a des chiffres en base 7 c'est entre 0 et 6 donc unique solution alpha = 6 beta = et je pense que pour clarifier le tout il aurait été peut-être bien de mettre dans le texte ici inférieur donc strictement à 7 qu'on comprenne bien que Alpha et beta sont des chiffres dans la numération en basse 7 et maintenant et bien ça veut dire que a en base 7 s'écrit donc 5 alpha vaut 6 5 6 2 1 donc là on peut vite l'écrire on part toujours par à droite ça permet d'avoir tout de suite la puiss donc c'est 1 + 2 x 7 + 6 x 7 au car + 5 x 7 au³ ça donne donc 1 + 2 x 7 14 donc ensuite 6 x 49 x 6 54 6 x 4 24 donc + 294 + 5 x 7 au³ 7 au³ c'est 343 donc on a 3 x 5 15 20 15 donc 1700 15 on ajoute tout ça c'est pas une surprise parce que ces sujets sont souvent très élégants et bien on tombe sur 2024 al quand on tombe sur 2024 bien sûr on est très content parce qu'on sait que là on tient quelque chose et qu'on a réussi et on a terminé cet exercice donc il y avait des équations du ancienne des congruences des restes par la division euclidienne des écriture donc dans un système de numération différent du système décimal là on est sur le système décimal c'est le 2024 voyez donc exercice on veut dire très intéressant à très bientôt