Première Spé Maths- COURS Approfondissement - Le degré 3 avec l'identification

bonjour à tous aujourd'hui on va s'attaquer à un problème qui est compliqué historiquement comment résoudre une équation polynomial de degré 3 alors tout d'abord je tiens à dire dans la plupart des cas vous ne pourrez pas hein ça n'est pas possible parce que il y a des formules qui existent elles sont impraticables et donc résoudre une équation degré 3 quand on est lycéen et bien ça sous-entend qu' a une solution évidente à votre problème et c'est cette solution évidente qu'on va utiliser pour ramener notre problème de degré 3 à un petit problème de degré 2 donc il y a deux propriétés qui vont être en jeu aujourd'hui qui vont mettre en évidence l'utilité hein de la méthode de l'identification donc on a une première propriété sur la factorisation quand vous trouvez une racine alors nous on se contentera des poes de degré 3 mais vous pouvez étendre ça des degrés supérieurs si on a un Pol de degré 3 qui admet une racine réelle a et bien on peut factoriser ce polynôme par X- 1 d'accord alors ça c'est quelque chose que vous déjà vu dans le degré 2 parce que dans le cours sur la factorisation je prends un exemple prenons donc x² donc je vais prendre - 5x + 6 on voit que P 2 ça fait 0 d'accord et bien ça veut dire que d'après cette propriété le polynome px je peux le factoriser par X - 2 et effectivement on sait parce que la deè racine ici on a déjà vu 6 le polynome ici est unitaire si c'est donc le produit 2 racin s'il y a de racines vous en avez déjà trouvé une donc 2 fois la 2uxè racine doit vooir 6 la deè racine c'est 3 vous pouvez vérifier P 3 est égal à 0 donc d'après le cours le polynôme se factorise en X - 2 x - X1 X X - X2 donc en X - 3 vous voyez bien qu'il est factorisable par X - 2 dès que vous avez une racine d'un polynôme on peut s'en servir pour factoriser ce polynôme et quand on factorise un polynôme et bien vous avez donc deux facteurs et vous avez un fact ici un deuxième facteur qui sera de degré plus petit donc ça veut dire que quand on va factoriser ici un polynô de degré 3 par X- 1 on obtiendre ici un deuxième facteur qx qui est un polynôme et qui sera lui de degré 2 et donc on va se ramener à des problèmes de degré 2 qu'on sait très bien résoudre puisque c'est le premier chapitre de première spécialité mat alors il faut savoir que cette notion elle n'est pas au programme c'est un approfondissement possible du programme si vous avez regarder le programme de math mathématique de première générale vous trouverez ça dans les approfondissements possibles donc c'est hein des professeurs le font d'autres ne le font pas ça dépend après on peut vous demander de faire ce que je vais faire là mais avec quand même des questions intermédiaires donc ça c'est la première propriété que vous allez voir on va vraiment illustrer avec cet exemple ici cette résolution d'équation du degré 3 et une deuxième propriété qui va nous servir c'est que quand deux polynômes de fonctions poomal sont égales sur R et bien elles ont le même degré et les mêmes coefficients et c'est ça qu'on utilisera sous le nom de méthode de l'identification donc je vous propose tout de suite de passer à la résolution d'une équation de degré 3 la première remarque c'est que je vous l'ai dit on ne peut pas résoudre toutes les équations du degré 3 hein parce que les formules qui existent sont donc je répète inutilisables donc il faut trouver ce qu'on appelle une solution évidente donc je vais aller chercher je vais donc définir un polynôme le polynôme px c'est donc x³ - 2x² - 5x + 6 vous voyez c'est le membre de gauche ici de mon équation et je vais chercher une racine évidente de px les racines évidentes il faut les chercher souvent c'est des diviseurs de la constante donc c'est + 6 je dois chercher des racines qui sont des diviseurs de 6 al on teste en général toujours 1 quand même et là il se trouve que j'ai fabriqué ce polynôme de façon à ce que 1 soit racine donc 7 - 7 ça fait bien 0 donc on remarque que 1 est racine une fois qu'on a une racine qu'on appelle ici une racine évidente puisque je l'ai trouvé sans trop de d'accord et bien ça veut dire que la propriété me permet de dire que on peut alors je vais écrire ça là on peut factoriser px par justement comme un RAC ça sera par X - 1 autrement dit ça veut dire que il existe un polynôme qx de degré 2 donc qx de degré 2 c'est du AX 2 + BX + C d'accord un degré de Q est égal à 2 tel que et bien px va se factoriser donc va s'écrire en sous forme de facteur X - 1 xtiplié par qx autrement dit px va s'écrire X-1 X par AX2 + BX + C et c'est à vous de trouver A B et C donc je vais vous montrer comment et ça c'est utilise donc cette propriété et la méthode de l'identification on va chercher donc ABC réel 3 réel tel que pour tout x on est notre polynô px est ég x - 1 x X2 + BX + C et ça et bien on voir c'est très simple il un petit peu de calcul quand même on va développer ici le membre de droite donc on développe c'estd que px va être égal donc à alors on développe d'abord le X donc ça fera Ax 3 + BX 2 + C x ensuite je développe le -1 AX2 - BX - C on va mettre le membre de droite sous une forme plus joli en le structure un peu en le réduisant et en l'ordonnant donner ceci donc d'abord le terme x³ il y en a qu'un seul c'est AX3 plus maintenant je vais mettre un terme x 2 donc j'ai ici BX 2 x2 donc ça veut dire que des X2 j'en ai b - 1 et ça je l'ai déjà pris ensuite le terme en X il y en a deux CX - BX donc c - B et je n'ai qu'une constante qui est - C et là vous voyez on a deux polynômes qui sont égaux puisqu a égal entre les deux pour tout x donc je vais pouvoir dire que puisque ces polynômes sont égaux les coefficients sont les mêmes et donc là on va dire par identification alors on pourrait dire par identification des coefficients on écrit juste par identification et on regarde alors on va d'abord regarder les coefficients de X3 donc à gauche j'ai un 1 à droite j'ai un a conclusion A est égal à 1 d'accord j'ai identifié les coefficients des x³ maintenant les X Carr donc j'ai - 2 à gauche et à droite j'ai donc je vais remettre ça en bleu vous voyez bien on a - 2 à gauche + B- a à droite conclusion puisqu'on peut dire que les coefficients sont les mêmes j'en déduis que B - A est égal à - 2 maintenant le coefficient de X alors ici j'ai mon - 5 et de l'autre côté j'ai c - B donc ça veut dire que c - B est égal à 5 il me reste un seul coefficient ici la constante donc à gauche j'ai + 6 et à droite j'ai C j'identifie ça veut dire que donc 6 est égal à C ou c est égal à 6 et j'ai ici un système à quatre équations qui va être vous allez voir très simple à résoudre donc pour résoudre on va transformer ce système en un système équivalent donc a est égal à 1 on résoute toujours la dernière voyez c'est é= - 6 il me reste deux équations la deuxème me dit que B est égal à - 2 + a donc ici exceptionnellement on s'autorise dans la dernière étape à mettre un deuxè égal a vaut 1 - 2 + 1 ça fait -1 B = -1 et vous avez une dernière ligne qui permet de vérifier donc vous allez vérifier que la dernière ligne fonctionne bien donc c c'est - 6 B je viens de trouver -1 ça fait + 1 est-ce que c'est égal à 5 effectivement donc c'est correct ça veut dire qu'on a trouvé les valeurs de ABC donc a est ég à 1 B est ég à -1 et C vaut - 6 autrement dit ça veut dire que mon polynôme px il s'écrit donc x - 1 x a X2 + BX + C qui donnera donc a ça vaut 1 donc X2 un X2 moin parce que B vaut x 6 et on a factorisé px alors maintenant on revient à notre équation notre équation X3 - 2x 2 - 5x + 6 = 0 c'était une équation de degré 3 et bien grâce à notre factorisation du membre de gauche on a x - 1 x X2 - x - 6 = 0 et ça c'est un produit nul et un produit nul on sait très bien le gérer par ça veut dire que l'un des facteurs est nul x - 1 est é= à 0 ou X2 - x - 6 qu'est-ce qu'on a fait et bien on a transformé un problème de degré 3 en en deux petits problèmes un problème degré 1 ici et un problème degré 2 et on sait résoudre les problèmes de degré 1 et les problèmes de degré 2 pour x = 1 il y a aucun problème enfin x - 1 = 0 ça fait x = 1 et ici il va falloir aller chercher les racines de X2 - x - 6 donc pour ça ben on calcule Delta donc on utilise le a le B le C qu'on a trouvé a = 1 B = -1 c = - 6 delta = b² - 4ac - 1² 4 x 1 x - 6 qui fait 1 + 24 je trouve Delta = 25 c'est strictement positif on a donc deux solutions la première X1 B donc ça fait 1 √25 qui fait 5/ 2 je trouve - 2 - 4/ 2 et X2 1 + 5/ 2 ce qui fait 6 c'est sur 2 ça fait 3 donc vous voyez qu'on a donc ici 3 c'est pas très bien présenté ici normal faire comme ceci donc équivaut et bien on a trouvé donc x = 1 pour notre petite équation ici ou x = - 2 ou x = 3 vous voyez qu'on a trouvé les solutions notre équation il y en a 3 1 - 2 et 3 ça veut dire d'ailleurs que votre polynôme ici on pour aller encore plus loin il se factorisait en X - 1 ici - 2√ donc x + 2 3 X 3 d'accord une façon comme ça voyez de factoriser des polynômes de degré 3 en 3 facteur de degré 1 d'accord donc l'idée ça sera cette idé là c'est que trouver une racine évidente une solution évidente de votre équation s'il y a pas de solution éente cette méthode ne marche pas elle ne marche que si on trouve une solution évidente qui permet justement de factoriser et de se ramener une équation de degr 1 et équation de degré 2 voilà alors l'idée après c'est de pratiquer un petit peu avec des sujets un peu plus détaillés par exemple si on devait donner un élève une question du type résoudre 2x³ + x + 8 = 0 à condition d'avoir fait évidemment cette méthode on pourrait donner quand même des indices en disant par exemple bien déterminer ABC tel que 2x³ + x + 8 s'écrit x + 1 x X2 + 2 x + C VO il faut quand même aider alors sous-entendu dans cette question c'est que vous voyez il y a x + 1 on factorise par X + ça veut dire que -1 doit être racine -1 doit être racine donc de 2x 3 + 6x + 8 vous pouvez regarder quand on remplace par MO1 ça fait bien 0 vous voyez alors trouver des racines viantes c'est pas si finalement toujours si évident que ça donc on vous aide on vous donne en faitin les racines évidentes de façon à ce que vous puissiez he comprendre l'idée générale derrière cette belle méthode voilà je vous souhaite une bonne fin de journée et à bientôt