Indépendance et événement contraire - Maths - Terminale - Les Bons Profs

[Musique] voici un théorème très important sur l'indépendance alors il faut connaître la notion d'événement indépendant il y a une autre vidéo qui est tourner là-dessus voici le théorème qui est au programme de terminal et dont vous devez connaître la démonstration c'est ce qu'on appelle les restitutions organisées de connaissance je vais prendre deux événements àb indépendants dans un univers Oméga et bien le théorème n dit la chose suivante si a et b sont indépendants et bien a̅ est indépendant de B alors ça fonctionne aussi avec b̅ qui est indépendant de a et a̅ indépendant de b̅ ça fonctionne pour les trois je rappelle que a̅ est le contraire de l'événement a voici la démonstration d'abord il faut savoir que a et a̅ c'est-à-dire son contraire ça forme une partition de l'univers Oméga alors il faut rappeler ce qui est une partition on a vu ça aussi dans d'autres vidéos l'idée d'une partition c'est que la réunion de a et a̅ si on les réunit tous les deux ça doit bien donner omωéga et il faut aussi que a et a̅ soient disjoints c'est-à-dire qu'il n'est pas de partie commune donc on voit bien que a et a̅ si je les réunis ça fait la totalité de l'univers et il n'y a pas de point commun entre A et A bar et son contraire voilà des contreexemples de A et B ici qui ne seraiit pas une partition alors si on réunit A et B ça fait bien tout l'univers en revanche on voit qu'il y a une partie commune entre A et B donc A et B ne sont pas 10 joints là un autre problème on aurait ici deux événements qui sont bien 10jints parce qu'il y a pas de partie commune en revanche si je réunis A et B je n'ai pas tout l'univers donc une partition il faut des événements disjoints et dont la réunion soit l'univers avec A et A bar ça fonctionne comme on a une partition il faut connaître aussi cette notation là l'événement B peut s'écrire B Inter a union B inter à̅ parce que a et à̅ forment une partition de l'univers c'est la formule de probabilité totale pardon qu'on voit dès la seconde et puis bien sûr ces des événements sont incompatibles ce qui veut dire que la probabilité de l'intersection entre les deux ça vaut é0 du coup la probabilité de B je vais l'écrire comme étant la probabilité de B Inter a plus la probabilité de b b inter à̅ puisque encore une fois et a bar forme une partition je vais isoler le le terme de droite ici regardez je l'écris P de B inter à̅ donc je fais passer le P de B à gauche et le P de B Inter a à gauche juste passer ici alors maintenant on va s'intéresser à P de B Inter a on sait d'après l'hypothèse du théorème que les événements A et B sont indépendant parce que je les ai pas choisis n'importe comment A et B indépendant j'utilise tout simplement la définition de l'indépendance ça veut dire rappelez-vous que P DEA inter B va être égal à PAA x pb du coup je vais remplacer et c'est ce que je fais ici je vais remplacer P de B Inter a par P de B fo pa j'ai donc cette expression là je vais factoriser par P Deb on le voit apparaître ici il apparît deux fois je vais mettre P Deb en facteur facteur de 1 - PAA bonne nouvelle comme vous êtes allé en seconde vous savez que 1 - pa c'est la probabilité de l'événement contraire vous voyez qu'on fait appel à plein de notion du début du lycée donc 1- pa par définition c'est la probabilité de a̅ et bien voilà P de B inter a̅ c'est P de B x P de a̅ et ça c'est exactement la définition de deux événements indépendant j'ai donc montré que B et a̅ sont indépendants encore une fois vous pouvez faire la même démonstration avec B bar et a̅ tous les cas de figure sont possibles démonstration un peu compliquée qu'il faut retenir qu'il faut faire une deux fois trois fois peut-être quatre fois en tout cas il faut la connaître dans un sujet de bac on vous guiderait un petit peu il n'empêche que vraisemblablement qu'il faudrait que vous pensiez à faire ça tout seul