CALCUL DE LIMITE : Expression conjuguée

Est-ce que tu saurais calculer, mais surtout bien justifier, cette limite-là ? Allez viens, je te montre. C'est un cas classique à parfaitement maîtriser. Conseil numéro 1, quand tu as une limite à calculer, fais-la de tête ou sur ton brouillon pour voir ce qu'il se passe. Peut-être qu'elle sort, mais même si elle ne sort pas, tu auras une idée de ce qu'il va se passer et surtout de la stratégie à adopter. Ici, X tends vers plus infini, donc on va à la gauge X. Donc ici, X tend vers plus infini, plus infini au carré, plus infini. Plus 1, ça ne lui fait pas grand-chose. Et racine de plus infini, on reste à plus infini. Donc on a plus infini, moins plus infini. Ça fait quoi l'infini ou moins l'infini ? Attention à ce que tu vas dire. C'est une FI, c'est une forme indéterminée. Il faut voir qui est le plus grand de l'infini, qui l'emporte. Donc là, je fais juste 30 secondes si ça t'intéresse avant de te donner la méthode. En fait, il faut voir de quelle force. Lui, c'est de la force X. Et lui, il est de quelle force ? Plus 1, ça ne fait pas grand-chose. Donc quelque part, c'est comme si on avait juste racine de X carré. Oui, parce que X, il vaut l'infini. Imagine, X, il vaut 1 million de milliards. Tu mets au carré, tu fasses plus 1 ou pas, ça ne change pas grand-chose. Donc en fait, lui, en infini, il est de cette force-là. Et ça, ça vaut X quand X est positif. Ah ouais, donc en fait, quand X vaut un nombre gigantesque, les deux sont de même force. Donc la limite, ça va être 0, d'accord ? Mais là, c'est juste pour le voir. Maintenant, comment est-ce qu'on le démontre proprement ? Si tu ne l'as jamais vu, c'est compliqué de l'inventer. Donc je donne tout de suite la méthode à retenir. En fait, tu vois ça, ton rêve, c'est d'avoir des carrés pour que la racine disparaisse. Donc en fait, cette équipe-là, il faut que tu le vois comme A moins B. Et en fait, ce qu'il faudrait, c'est faire apparaître une identité remarquable. Laquelle ? Si je dis A moins B, par quoi il faudrait le multiplier ? Par A plus B, ce qu'on appelle d'ailleurs l'expression conjuguée. Parce que ça fait quoi, A moins B fois A plus B, qu'est-ce que ça fait ? Ça fait A carré moins B carré, tu vois. J'espère que tu la maîtrises, cette identité remarquable. Donc en fait, lui, tu le vois comme A moins B. Donc on va le multiplier par son conjugué. Mais attention, tu n'as pas le droit juste de faire fois un nombre. Qu'est-ce qu'on va faire ? Il faut que je divise par cette même quantité pour ne pas changer la valeur. Si tu as envie de faire fois 3, fais fois 3. Mais tout de suite, je vais diviser par 3. Comme ça, tu ne changes pas la valeur. Et bien là, c'est le même principe. Ça, c'est A moins B. A moins B, je le multiplie par A plus B. Je t'ai fait le jeu de couleurs pour que tu vois bien. Et donc le prix à payer, c'est de faire quoi ? De diviser par la même chose. Comme ça, je ne change pas la valeur. Et une fois qu'on a là, qu'est-ce qu'on fait ? Même si le calcul paraît gros, en fait, on a quasiment terminé. Parce que moi, mon rêve, c'est d'abord A moins B fois A plus B. Parce que qu'est-ce que ça fait ? Ça fait A au carré moins B au carré. Ça, c'est le A. Donc ça fait quoi, ça au carré ? Qu'est-ce qu'il reste ? Il reste juste X carré plus 1. A au carré moins B au carré. X au carré. X carré, OK. Regarde ce qu'il va se passer dans un futur proche. Les X carrés vont partir, mais pas trop vite. D'abord, on réécrit tout le dénominateur. Et là, maintenant, on est super content. Parce qu'au numérateur, X carré moins X carré, ça fait juste 1. Et en bas, il me reste encore ce gros truc qu'on n'aime pas beaucoup. Mais bon, c'est la vie, on réécrit. Et en fait, nos problèmes, ils sont réglés. Parce que maintenant, on va retenter notre chance sur le calcul de limite. Tu te souviens, on l'avait fait au début, l'infini au carré, machin, on arrivait à l'infini moins l'infini, FI. Maintenant qu'on a un peu transpiré, espérons que ça a été utile quand même. Fais-t'en X vers plus infini. X va vers plus infini. D'abord, on le fait entre nous. Après, on va le rédiger. On a quoi ici ? L'infini au carré plus l'infini. Donc tout ça, ça t'envers plus l'infini. Donc en X envers plus l'infini, là, on a plus l'infini. Plus 1 sous la racine, ça fait toujours plus l'infini. Et là, on a plus. Donc tu as plus l'infini plus l'infini. Donc en fait, ta limite, c'est 1 sur plus l'infini. Mais dis-moi que tu connais 1 sur plus l'infini ? Qu'est-ce que ça donne ? Ça donne 0, tu vois. Donc il n'y a plus de problème. On a réussi à lever l'indétermination. Reste à le dire proprement. Et ici, pour la rédaction finale, en fait, ça dépend du degré d'exigence de ton prof. Moi, je signe qu'on a suffisamment travaillé, donc on peut aller un peu plus vite. Mais certains profs en demandent plus. Moi, j'écrirais directement hors limite de tout ce bloc-là égal. Comment ça fait ? Limite en plus l'infini, tout ça, eh bien, ça fait plus l'infini. Et j'ai glissé un petit parsomme parce que j'ai ajouté les deux éléments, tu vois. Petite pauvre idée du cours. Et donc par inverse, tu vois, je mets les vrais mots des profs de maths, les vrais mots qu'on retrouve dans ton cours. Donc je t'invite à les retenir par cœur et à les glisser au bon moment. Donc par inverse, limite du tout, ça fait ? Eh bien, 1 sur plus l'infini, ça fait 0. D'accord. Et le rêve, c'est que tu réécrives quand même. Donc limite de ça égal, égal 0. Ce qu'on avait senti au début en voyant de quelle force était chaque élément. Donc ça faisait bien 0. Méthode très puissante à retenir. Quand tu as une différence avec des racines carrées, pense à utiliser l'expression conjuguée. Ça te règle tous tes problèmes, même si tu transpires un peu dans les calculs. Et j'espère que tout est clair.