Représentation paramétrique d'une droite - géométrie dans l'espace - Cours - IMPORTANT

Alors, l'objectif de cette vidéo, c'est d'expliquer ce que c'est qu'une représentation paramétrique de droite dans l'espace et également à quoi ça va nous servir. Alors, la première chose fondamentale à comprendre, c'est que quand vous travaillez dans le plan, vous avez sans doute rencontré des équations de la forme y égale 2x plus 1. Et souvenez-vous, ces équations dans le plan, c'était des équations de droite. Et bien, dans l'espace, cette équation, il faut bien comprendre que ça n'est pas l'équation d'une droite. Alors, pour s'en rendre compte, il suffit de trouver 3 points, qu'on va appeler ABC, qui vérifient cette équation et qui pourtant ne sont pas alignés. Alors, c'est très simple de trouver ces 3 points. Il suffit de donner une valeur à x. Alors, si on remplace par exemple x par 0, ici, ça va nous faire 1 pour y. Et comme dans l'équation, il n'y a pas de z, on peut mettre ce qu'on veut. Par exemple, 0. Prenons une autre valeur pour x. Prenons la valeur 1. Donc ici, ça va nous faire 1 fois 2 plus 1, ça fait 3 pour y. Et pareil, on peut mettre ce qu'on veut pour z. Par exemple, 1. Et je prends maintenant les mêmes coordonnées pour le troisième point. Donc, 1 et 3, ça vérifie bien cette équation. Et je prends n'importe quoi pour z. Par exemple, 2. Donc, ces 3 points appartiennent bien à la courbe qui correspond à cette équation. Parce que si on remplace les coordonnées de ces 3 points là-dedans, ça marche. Et en particulier, ça ne dépend pas du z parce que z n'apparaît pas dans l'équation. Donc, une fois qu'on a trouvé 3 points, pour voir si ces 3 points sont alignés, on va calculer les coordonnées du vecteur AB. C'est ce que j'ai fait ici. Coordonnées de B moins coordonnées de A, vous pourrez vérifier les calculs. Ensuite, pareil, je calcule les coordonnées du vecteur AC. Et vous regardez si ces coordonnées des 2 vecteurs ici sont proportionnelles. Ici, vous voyez que les coordonnées ne sont pas proportionnelles parce que pour passer de 1 à 1, il faut faire 1. De 2 à 2, il faut faire 1. Mais là, il faut multiplier par 2. Donc, les 2 vecteurs n'ont pas des coordonnées proportionnelles. Donc, ça veut dire que ces 3 points ne sont pas alignés. Donc, ça veut dire que cette équation ne correspond pas à l'équation d'une droite. Et même si je rajoutais du z et que je prenais cette autre équation, on pourrait faire le même genre de raisonnement, trouver 3 points qui ne soient pas alignés. Donc ici, ce type d'équation ne correspond pas à l'équation d'une droite. Mais on verra, on le démontrera, ça correspond à l'équation d'un plan. Et donc, pour manipuler les droites, il faudra trouver une autre méthode. C'est ce qu'on va expliquer maintenant, les représentations paramétriques de droite. Alors, pour comprendre la suite, il faut se rappeler qu'une droite, c'est défini par deux choses, un point et un vecteur directeur. Dire qu'un point M appartient à la droite passant par A et de vecteur directeur U, ça veut dire que pour aller de A à M, on fait un certain nombre de fois le vecteur U. C'est ça qui est fondamental. Dire que M appartient à cette droite, ça veut dire que pour aller de A à M, c'est-à-dire que le vecteur AM, eh bien, il est égal à un certain nombre de fois, je vais appeler T, fois le vecteur U, où T est un réel. Alors, une fois qu'on a compris ceci, dire que M appartient à la droite à U, ça équivaut à ceci, eh bien, on a presque terminé. Il n'y a plus qu'à remplacer chaque vecteur par ses coordonnées. Donc ici, les coordonnées du point M, comme on les cherche, et on va les appeler x, y et z, et donc dire ceci, ça veut dire que les coordonnées du vecteur AM sont égales à T fois celle de U. Et donc, si on bascule en coordonnées, les coordonnées du vecteur AM, c'est toujours finale moins initiale, donc ça fait coordonnées de M moins coordonnées de A. C'est ce que j'ai fait ici, x, première coordonnée de M, moins première coordonnée de A, égale T fois la première coordonnée de U, c'est-à-dire α. Donc voilà comment on obtient la première ligne, et c'est exactement pareil pour les deuxièmes et troisième lignes. Là, c'est avec la deuxième coordonnée, et là, avec la troisième coordonnée. Et ensuite, si on isole x, y et z, voilà ce qu'on obtient, et c'est ça qu'on appelle une représentation paramétrique de la droite. Pourquoi paramétrique ? Parce que T, ici, c'est ce qu'on appelle le paramètre. Et donc, les représentations paramétriques de droite se présenteront toujours de la même façon, sous cette forme. Et donc ici, vous lisez directement les coordonnées d'un point de la droite, et ici, les coefficients qui sont devant T, eh bien, ce sont les coordonnées d'un vecteur directeur de cette droite. Alors, prenons un exemple. Prenons cette représentation paramétrique, et on peut vous demander, comme première question, de donner un point qui appartient à cette droite, et un vecteur directeur de cette droite. Eh bien, pour trouver un point et un vecteur directeur, il suffit de se ramener exactement à cette forme. Donc ici, la première ligne, vous pouvez comprendre que la forme, c'est la même chose que 0 plus 3T. Donc, le point ici, sa première coordonnée, c'est 0, et un vecteur directeur, c'est le coefficient qui est devant T. Donc, la première coordonnée, ce sera 3. Et ici, pour la deuxième ligne, c'est sous-entendu 2 plus, comme il n'y a pas T, 0 fois T. Donc, ça veut dire que la deuxième coordonnée du point, c'est 2, et que la deuxième coordonnée du vecteur directeur, c'est 0. Et pareil, ici, c'est sous-entendu 1 moins 1 fois T, donc 1 pour la troisième coordonnée, et moins 1 pour la troisième coordonnée du vecteur directeur. Donc, ça veut dire que cette droite qui correspond à cette représentation paramétrique, elle passe par ce point-là, et qu'elle admet pour vecteur directeur, ce vecteur U qui a pour coordonnée 3, 0 et moins 1. Donc, retenez bien que parfois, quand vous n'avez pas de T, ça veut dire que le coefficient en T, c'est 0, et quand il n'y a pas de constante devant, par exemple, ici, 3T, eh bien, ça veut dire que c'est sous-entendu plus 0. Donc, c'est important que vous compreniez bien ceci. En fait, il faut tout simplement se ramener à cette forme qu'on a ici. Alors ensuite, il est fondamental de comprendre qu'il n'y a pas d'unicité. Ça veut dire quoi ? Ça veut dire qu'une même droite peut avoir une infinité de représentations paramétriques différentes. Pourquoi ? Déjà parce que le vecteur directeur, il n'est pas unique. Si on multiplie les coordonnées, par exemple, par 2, eh bien, ça nous fait, on va l'appeler U', un autre vecteur directeur. Donc, si je prends le vecteur directeur, je multiplie tout par 2, ça me fait donc 6, 0 et moins 2. Ça me fournit un autre vecteur directeur. Et donc, si au lieu d'avoir 3T, je mets 6T, ici, au lieu de 0T, je laisse 0T, mais qu'ici, je mets, au lieu de moins 1T, je mets moins 2T, c'est-à-dire que tous les coefficients en T, je les ai multipliés par 2. Je n'ai rien changé. J'ai pris un autre vecteur directeur, mais il correspond à la même droite. Donc, c'est encore une représentation paramétrique de la même droite. Et si vous trouvez un autre point qui est sur cette droite, et il y en a forcément, puisqu'une droite a une infinité de points, eh bien, si vous trouvez un autre point avec ces coordonnées, au lieu de mettre les coordonnées de A, qui sont 0, 2 et 1, eh bien, vous pouvez mettre les coordonnées de cet autre point. Alors, ça nous amène à comprendre quelque chose de fondamental également. Comment faire pour avoir un autre point ? Eh bien, il suffit de donner des valeurs aux paramètres. Par exemple, donnons la valeur 1. Si à la place de T, je mets la valeur 1, je remplace T par 1, eh bien, x va être égal à quoi ? Eh bien, 1 fois 3, ça fait 3. Y, 0. Donc ici, j'ai remplacé T par 1, donc 0 fois 1, ça fait 0. Il reste toujours 2, ça fait 2. Et ici, pour la troisième coordonnée, je remplace T par 1. 1 moins 1, ça fait 0. Et voilà, ici, j'ai trouvé les coordonnées d'un autre point. Et donc, si ici, au lieu de prendre les coordonnées de A, 0, 2 et 1, je prends les coordonnées du nouveau point 3, 2 et 0, eh bien, ça me fait une nouvelle représentation paramétrique, mais qui correspond toujours à la même droite. Donc par exemple, ici, on a trois représentations paramétriques différentes qui correspondent à la même droite. Alors, on vient d'expliquer, quand on a une représentation paramétrique, comment trouver des points de la droite. Il suffit de donner des valeurs à T, mais on peut se poser la question à l'envers. Si on nous donne les coordonnées d'un point, est-ce qu'il est sur la droite qui correspond à cette représentation paramétrique ? Comment on fait ? On remplace tout simplement x, y et z par les coordonnées du point et on regarde la valeur de T qu'on obtient. Si c'est la même partout, ça veut dire que le système est vérifié et donc que le point appartient à la droite. Et si les valeurs de T qu'on obtient ne sont pas les mêmes dans les différentes équations, ça veut donc dire que T ne peut pas prendre deux valeurs différentes et donc le point n'appartient pas à la droite. Alors si, par exemple, on veut savoir si ce point appartient à la droite qui a cette représentation paramétrique, je remplace x par 6, donc ça me fait 6 égale 3T, je remplace y par 2, donc ça me fait 2 égale 2, c'est inutile, et je remplace z par 0 et voilà ce qu'on obtient. Et maintenant on va résoudre. 6 égale 3T, ça veut dire que T égale 2 et ici 1 moins T égale 0, ça veut dire que T égale 1. Et donc T ne peut pas être égal à 2 et à 1 en même temps, donc ça veut dire que ce système n'a pas de solution et donc si cette droite, on l'appelle D, et bien on en conclut que ce point n'appartient pas à D, c'est ce que j'ai écrit ici. Donc ce qu'il faut retenir, c'est quand vous avez une représentation paramétrique de droite, ça vous permet d'avoir des points de la droite en changeant les valeurs de T et également quand vous avez les coordonnées d'un point et que vous voulez savoir s'il est sur cette droite, vous remplacez ces coordonnées dans l'équation, donc vous remplacez x, y, z par les coordonnées du point, vous obtenez un système, vous le résolvez. Si le système a des solutions, le point appartient à la droite et sinon, s'il n'y a pas de solution, le point n'appartient pas à la droite. Voilà déjà ce qu'il faut retenir. Alors, revenons au début de la vidéo. On a défini une droite à l'aide d'un point et d'un vecteur directeur, la droite passant par A et le vecteur directeur U. Mais on peut définir la droite d'une deuxième façon, la droite AB, c'est la droite qui passe par les points A et B. Et bien quand on parle de la droite AB, en fait c'est exactement pareil, c'est une droite qui passe par quel point ? Par exemple le point A. Et qu'admet quoi comme vecteur directeur ? Et bien le vecteur AB. Donc quand vous parlez de la droite AB, en fait vous parlez de la droite passant par A ou par B et de vecteur directeur, par exemple le vecteur AB. Et donc on s'est ramené à cette même situation. Et bien comment vous allez faire pour trouver une représentation paramétrique de la droite AB ? D'abord on sait que toute représentation paramétrique d'une droite a cette forme-là. Ici vous mettrez les coordonnées du point A, ensuite comme vous connaîtrez les coordonnées de A et de B, et bien vous connaîtrez les coordonnées du vecteur AB. Il suffit de faire coordonnées de B moins coordonnées de A qu'on va appeler α, β, γ et ces coordonnées ce seront celles qu'on aura ici. Donc c'est très simple de trouver une représentation paramétrique d'une droite AB. Je répète, ici vous mettez les coordonnées du point A et α, β, γ ce sont les coordonnées du vecteur AB. Voilà comment trouver une représentation paramétrique de la droite AB. Et ça c'est extrêmement important, on l'utilise très souvent. Alors encore une chose fondamentale, quand dans un exercice vous manipulerez deux droites avec leur représentation paramétrique, il est très important de prendre deux paramètres différents. Par exemple si ici c'est une représentation paramétrique de la première droite, vous prenez par exemple T comme paramètre, mais pour la deuxième droite surtout ne prenez pas T, parce que ça serait le même nombre qu'on aurait là et là. Or les deux droites sont complètement indépendantes, donc ici vous prenez un autre paramètre, par exemple soit vous l'appelez T', soit S. Et vous verrez que si on ne fait pas ça, vous aboutirez souvent à des erreurs de calcul. C'est ce qu'on verra dans la prochaine vidéo. Alors qu'est-ce qu'il faut retenir ? Déjà qu'une équation de cette forme dans l'espace n'est pas l'équation d'une droite. Et donc quand on cherche une représentation paramétrique d'une droite, elle a toujours cette forme-là. Ici on lit les coordonnées d'un point et les coefficients devant T sont les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite. Vous aurez donc deux types de questions. Soit on vous donne une droite AB et on vous demande par exemple de trouver une représentation paramétrique de cette droite. Donc ici vous mettez les coordonnées du point A et ici les coordonnées du vecteur AB. Mais on peut faire l'inverse. On vous donne une représentation paramétrique d'une droite et on vous demande de donner un point de cette droite et un vecteur directeur. Vous devez savoir également, quand on vous donne un point, est-ce qu'il appartient à une droite ou pas. Et enfin, avoir bien conscience que quand dans les exercices il y aura deux droites ou trois droites, vous prendrez autant de paramètres, de noms de paramètres différents qu'il y a de droite. S'il y a deux droites, vous prenez deux paramètres différents. S'il y a trois droites, trois paramètres différents. Voilà ce qu'il faut déjà retenir sur les représentations paramétriques de droite. Alors dans la prochaine vidéo, on va expliquer comment en utilisant les représentations paramétriques de droite, on peut savoir si deux droites sont parallèles, séquentes ou non coplanaires. Et comme d'habitude, si cette vidéo vous a plu, n'hésitez pas à la partager et à la liker.