Le théorème de Thalès et triangles semblables

[Musique] alors on a découvert le théorème de Tales on l'a démontré mais il est probable que tu trouves cela encore fort abstrait tu te demandes peut-être finalement à quoi peut bien servir ce théorème de talè alors en fait le théorème de thalè va conduire à la notion de triangle semblable une notion qui elle est très pratique très utile pour résoudre un certain nombre de problèmes de nature vari ok donc c'est ce qu'on va voir dans cette vidéo on va découvrir la notion de triangle semblable à partir du théorème de Thalès alors je te rappelle que le théorème de Thalès est souvent écrit avec ce type de notation où chaque longueur de segment va être désignée par les deux points qui se trouvent aux extrémités de ce segment alors nous on utilise une notation qui est un petit peu plus légère on l'a déjà vu dans les autres vidéo où donc chaque lettre ici va désigner directement la longueur d'un segment donc par exemple ici petit a désigne la longueur de ce segment vert en pointil ok alors on avait vu que le théorème de Thalès fait intervenir deux triangles de taillees différentes on en a un plus petit ici avec les côtés en pointtillé et un plus grand triangle ici avec les traits continuus et que nous dit le théorème de talè c'est bien que le rapport des côtés qui se correspondent donc le rapport des côtés homologue et bien est chaque fois le même hein c'est ce qui est ici montré par les égalités et ce rapport et bien on le note r alors je vais m'intéresser ici à la première égalité et je multiplie des deux côtés par grand A d'accord des deux côtés par grand A si je multiplie par grand a ici et bien je vais euh faire disparaître le grand A qui se trouve au dénominateur et par contre ici de l'autre côté je vais avoir r x grand A c'est ce que j'ai écrit ici ok donc petit a é= r x grand A c'est exactement la même égalité elle est juste écrite différemment ok alors je peux faire la même chose euh pour les côtés rouges donc petit B é= r x grand B et même chose pour la dernière paire ici petit C = r x grand C donc finalement c'est une autre façon d'exprimer le théorème de thals hein on a deux triangles dont un est plus petit d'un rapport R ces trois côtés sont plus petits d'un même rapport paire ok alors je vais maintenant m'intéresser aux angles de ces triangles je vais commencer par les angles qui se trouvent ici que je mets en évidence al en fait ces deux angles sont égaux pourquoi et bien les deux côtés bleus ici rappelle-toi ils sont parallèles hein ils doivent d'ofice être parallèles quand on est dans la configuration du théorème de thals donc ici ces deux côtés ont la même direction ce côté-ci ici ben coupe les deux côtés bleus d'accord et donc j'ai chaque fois et bien un angle entre la direction bleue et la direction verte ici j'ai le même angle entre la direction bleue et la direction verte ok puisque les deux directions ici sont les mêmes et les deux directions ici sont les mêmes et bien je ne peux avoir que le même angle alors en fait ces angles s'appellent des angles correspondant tu l'as peut-être déjà vu dans ton cours c'est le cas quand j'ai deux droites parallèles et une droite séquente qui vient couper ces deux droites par ok alors et bien j'ai aussi deux angles correspondants ici que je mets en évidence et puis finalement et bien le dernier angle ici est le même pour les deux triangles ben fatalement puisque ces deux angles sont superposés ok alors pour indiquer sur le schéma que ces deux anglesci sont les mêmes et bien je vais rajouter une petite notation un petit signe distinctif et je viens rajouter ici une petite barre sur l'AR de cercle alors ici j'ai envie de montrer que les deux angles sont les mêmes mais qu'ils sont différents de ceuxci a priori il y a aucune raison que ce soit les mêmes donc je vais aussi utiliser un signe distinctif mais qui est un petit peu différent ici j'utilise deux petites barres et puis finalement et bien pour le troisième angle ici je vais utiliser trois petites barres ok tu as vu au passage que j'ai défait la configuration du théorème de tels he pour vraiment voir apparaître les trois angles ici des deux triangles alors puisque j'ai défait la configuration je n'ai plus besoin des lignes pointiller d'accord et je vais utiliser ici exactement je je vais le représenter ce triangle exactement de la même façon que celui-ci puisque maintenant je les traite vraiment sur un pied d'égalité ok ce sont deux triangles d'accord qui ont la particularité d'avoir les trois mêmes angles donc ils ont chaque fois des paires d'angles qui sont les mêmes on pourrait appeler ça des angles homologue comme on avait appelé par exemple ces deux côtés-ci des côtés homologues ok donc trois angles homologue l'un à l'autre qui sont les mêmes ok alors je sais que si j'ai cette configuration là où j'ai un triangle avec les trois mêmes angles qu'un autre et bien je pourrais retrouver la configuration de T ok alors à quoi ça va servir et bien quand je serai dans un problème de géométrie par exemple dès que je vois un triangle qui a les trois mêmes angles qu'un autre hein c'est le cas ici même si le triangle est tourné j'ai le même angle ici le même angle ici et le troisième qui est là donc dès que je vois un triangle qui a les trois mêmes angles qu'un autre bien je sais que je pourrais euh le remettre de manière à retrouver la configuration de talè et si j'ai la configuration de talè et bien ça veut dire que le théorème de Talès est appliquable attention hein pour retrouver bien la configuration de tals il faut bien vérifier que les côtés ici sont parallèles he sinon on n'est pas dans la configuration du théorème de T souviens-toi c'est important ok donc dans ce casci et bien je pourrais utiliser ceci entre les deux triangles et même chose je pourrais utiliser cette relation entre les deux triangles quand c'est le cas et bien je peux dire que les triangles sont semblables ok donc le triangle noir ici est semblable au grand triangle on avait vu ici he qu'on pouvait aussi obtenir la configuration de Talis donc celui-ci est semblable à celui-ci et donc fatalement et bien en fait le noir est semblable à celui du dessous on a ici trois triangles qu'on appelle semblables ok donc maintenant je sais qu'ils sont semblables ils ont les trois mêmes angles ils sont donc semblables je sais que je pourrais retrouver la la configuration du théorème de tels bien je peux les étudier séparément sans nécessairement chaque fois repasser par la configuration du théorème ok je sais que cette relationuss est applicable entre les deux triangles ce sont des triangles semblables maintenant je vais m'intéresser euh à autre chose dans ces triangle je vais m'intéresser au rapport entre les longueurs B ici du côté vert et du côté rouge dans un triangle c'est-àdire petit a sur petit B ok alors petit a je le remplace par r x grand A et petit B par r FO grand B les r se simplifient et j'obtiens donc grand A sur grand B ok alors comment interpréter ça et bien cette fois-ci tu vois que je n'ai pas considéré des côtés homologues mais en fait des paires de côté homologle j'ai la paire euh vert rouge ici et la paire vert rouge du grand triangle ici donc je considère des paires homologues des paires ici correspondantes entre les deux triangles et je vois que le rapport des côtés de ces deux paires homologues et bien est le même d'accord alors éidalement j'aurais pu en fait retrouver directement ça à partir du théorème tal s hein si tu regardes cette égalitéci j'aurais pu en fait diviser des deux côtés par B donc le B ici aurait disparu et j'aurais eu un B ici au dénominateur c'est le cas ici et euh donc il serait venu ici et j'aurais pu multiplier des deux côtés par grand A pour avoir ici grand A et avoir le grand a ici qui disparaît ok donc ceci est exactement la même chose que l'égalité du dessus mais exprimé différemment alors je peux écrire la même chose mais pour les deux autres paires je peux faire la paire rouge bleu d'accord donc petit B sur petit C é= grand B sur grand C et la paire vert bleu d'accord alors ces égalités ces propositions c'est ce qu'on appelle un corelaire du théorème de ta un corelaire en mathématique c'est une proposition qui découle directement d'e are sans nécessiter plus de démonstration ici ce corollaire nous donne une propriété des triangles semblables cette propriété nous dit que le rapport entre des côtés de pair homologues dans des triangles semblables et bien est le même d'accord donc le rapport ici entre les côtés de cette paire est le même que le rapport entre les côtés de la paire homologue et ceci pour les trois paires que je peux choisir ok alors petit rappel du vocabulaire qu'on a utilisé jusqu'à présent quand on veut parler d'un théorème quand on veut démontrer un théorème et bien on part toujours d'une situation qu'on connaît d'élément qu'on connaît sur lesquels on se base et ça c'est ce qu'on appelle l'hypothèse ensuite on va vouloir montrer une proposition et ça c'est ce qu'on appelle la tess alors ici il s'agit du théorème de Talès avec la notation qu'on avait vu tout au début de la vidéo notation qui est souvent utilisée pour démontrer la thèse on ise une démonstration c'est ce qu'on avait fait dans une autre vidéo et puis une fois qu'on a démontré la thèse et bien on peut souvent déduire d'autres propositions directement sans plus de démonstration et ça c'est ce qu'on appelle un corolire ok donc tout ceci nous a mené à la notion de triangle semblable et maintenant cette notion de triangle semblable va nous permettre de comprendre pourquoi le théorème porte le nom de thalè de jusqu'à présent on a parlé de Cl qui a démontré le théorème dans ses écrits mais on n pas encore parlé de Talis donc pourquoi est-ce que le théorème porte son nom en fait ce sont des mathématiciens plus modernes qui ont décidé de donner un nom à ce théorème pour souligner son importance donc c'était un moyen pédagogique de souligner son importance et pourquoi est-ce qu'ils ont choisi Talis et bien en raison d'une légende qui dit que Thalès aurait réussi à déterminer la hauteur de la pyramide de Kéops grâce aux propriétés des triangles semblables et ceci en se basant sur l'ombre de la pyramide alors on va schématiser la situation donc on se trouve ici à rat du sol on voit la pyramide de profil et on voit les rayons ici du soleil le soleil est assez bas l'inclinaison est assez faible ici alors évidemment dans cette zone-ci il n'y a pas de rayon du soleil puisque les rayons sont bloqués par la pyramide donc ici on a l'ombre de la pyramide qui est représenté par le traain noir ok alors donc on veut déterminer la hauteur H de la pyramide talè veut déterminer la hauteur H de la pyramide et pour cela et bien il va utiliser un piquet qui va planter dans le sol à proximité de la pyramide et il va aussi se basé sur l'ombre de ce piquet alors on va le représenter ici hein donc le piquet est planté il a une certaine hauteur petit h qu'on peut mesurer he puisque le le piquet n'est pas très très haut et puisqu'il blo les rayons du soleil ici et bien on a aussi une ombre alors qu'est-ce que voit tis et bien il voit deux triangles un premier ici et un deuxème ici et il constate et bien que ces deux triangles partagent des choses il partagent des angles en effet ici l'angle qui se trouve là est le même que celui-ci pourquoi parce qu'il s'agit de l'angle entre l'horizontal et le rayon du soleil qui est évidemment la même qui est évidemment le même angle qu'ici sous l'hypothèse que le sol est bien horizontal mais c'est le cas dans le désert égyptien pas de problème ok donc i l'angle est le même ici et bien l'angle est le même aussi puisqu'il s'agit d'un angle entre l'horizontale et la verticale il s'agit donc d'un angle drit droit et finalement et bien le troisième angle est le même aussi puisqu'il s'agit de l'angle entre la verticale et la direction des rayons du soleil dans les deux cas ok trois mêmes angles donc on a deux triangles semblable on va donc pouvoir utiliser les propriétés des triangles semblants alors on nomme cette longueurci donc la longueur de l'ombre du bâton petit l et cette longueur-ci grand l alors il s'agit pas de la longueur de l'ombre l'ombre elle s'arrête ici mais il s'agit de la longueur entre l'extrémité de l'ombre et le point ici qui se trouve à la verticale du sommet sur le sol et qu'est-ce que je peux exprimer avec les propriétés des triangles semblables et bien que grand H sur grand l c'est petit h sur petit l le rapport entre les côtés des paires homologues est le même ok alors je peux maintenant transformer cette égalité en multipliant des deux côtés par grand l donc grand l disparaît ici he il n plus ici au dénominateur mais par contre ici on va multiplier par grand l on a donc cette expressionci ok alors en pratique comment est-ce que T va faire il se base sur un instrument qui s'appelle une couée donc un instrument de mesure comme une règle la couée ggyptienne mesure environ 52,5 cm et donc qui va aller pouvoir mesurer ce qui est possible de mesurer donc il peut aller ici mesurer la longueur de l'ombre depuis euh le point qui se trouve à la verticale du sommet donc il va aller reporter la Coué comme ceci 372 fois 372 fois donc cette longueur-ci 372 Coué et puis et bien on va dire que ici euh le piquet avait une hauteur de 3IS Coué OK et que dans les conditions d'inclinaison du soleil à ce moment-là la longueur correspondante de de l'ombre était de 4 coudés ok alors on va remplacer les différentes lettes par leur valeurs 3 coudé sur 4 coudé ça fait 3/ 4 x 3721 x 372 coudé on obtient donc 279 Coué pour la hauteur grand soit 300 pardon 279 Coué alors en remplaçant par cette valeur-ci pour une Coué bien on obtient 146,5 m alors ceci c'est énorme c'est pratiquement la hauteur d'un bâtiment de 50 étages faut bien s'imaginer que construire un édifice de cette hauteur là 2600 avant JésusChrist c'est absolument remarquable ok alors ici on a utilisé les propriétés des triangles semblables on on aurait pu tout à fait directement se baser sur le théorème de Tales donc imaginez ici un que le triangle on VI le mettre dans la configuration du théorème de Talès avec bien ici les deux segments qui sont parallèles je peux donc écrire que le rapport des côtés homologues est le même grand H sur petit h é= grand l sur petit l de nouveau je peux transformer cette égalité je vais multiplier par petit h des deux côtés d'accord donc petit l disparaît ici il vient multiplier le rapport grand l sur petit l et je vois qu'en fait j'obtiens exactement la même chose hein il y a en fait juste H et L ici qui ont permuté mais euh multiplication de l x H c'est la même chose que H x L ça revient donc tout à fait au même donc là il faut bien se rendre compte qu'en fait ceci he donc utiliser cette formeci la propriété euh des triangles semblables c'est exactement la même chose qu'utiliser le théorème de de thalè he en tout cas sous sa forme partielle ici ok donc exactement la même chose c'est tout à fait lié ok alors les triangles semblable comme je te le disais au début euh vont nous permettre de résoudre pas mal de problèmes et on va voir des applications des triangle semblable euh dans les prochaines vidéos on va en voir une en optique on va en voir une en mécanique et donc je te retrouve dans ces vidéos pour découvrir tout cela [Musique]