La démonstration par récurrence

tout [Musique] salut à toi et bienvenue sur clip et dia alors aujourd'hui comme tu l'as compris on se retrouve pour une petite vidéo sur la démonstration par récurrence donc nous on avait envie de faire une vidéo sur cette thématique là parce qu'on s'est rendu compte que c'est quelque chose qui est assez peu compris généralement quand on est confronté pour la première fois et pourtant c'est un concept qui est vraiment très intéressant et très utile en mathématiques pour faire des preuves rigoureuse donc le plus de la vidéo d'aujourd'hui s'est vraiment développée l'intuition sur démonstration pas récurrence et ensuite d'expliquer à quoi ça sert concrètement avec quelques exemples dans lesquelles c'est vraiment utile d'utiliser la démonstration par récurrence alors commençons par un exemple très simple où on aurait besoin la démonstration par récurrence si on voulait prouver quelque chose heureusement mais si on n'aura pas besoin pour gagner de l'intuition alors commençons par définir l'ensemble des naturel l'ensemble est naturel c'est l'ensemble des nombres avec lequel tu compte dans la vie de tous les jours donc 0 1 2 3 4 et ainsi de suite et ainsi de suite donc ça c'est leur semblait naturel alors maintenant que j'ai défini cet ensemble est naturelle je peux poser une petite question par rapport à ça je peux te demander combien yat-il d'éléments dans l'ensemble est naturel que j'ai noté grand ici donc combien y at-il de nombreux naturel alors forcément directement et tenter de répondre qu'il y en a une infinité et tu as raison de répondre ça si tu as répondu ça parce que évidemment comme le suggèrent les trois petits points ici je peux continuer comme ça indéfiniment donc je peux chaque fois prendre un nombre naturel suivant quoi a donc ça c'est tout à fait juste mais comment le prouver rigoureusement mathématiquement en fait ça c'est la question il ya un pas entre se dire qu'une chose est juste et d'avoir la démonstration mathématique pour le justifier alors en fait le pas on va le franchir aujourd'hui c'est justement dix ans à démonstration pas récurrents ce qu'on peut trouver par exemple qui dira bien une infinité de nom de naturel alors pour ça on a fait on a besoin que de deux choses on a besoin de savoir que n contient 0 que l'ensemble des naturel contient 0 mais ça forcément comme on voit ici bas 0 et bien dans le sens des non naturelle alors là y'a aucun doute on sait bien qu'il en soit dénaturé contre 1 0 donc ça s'est vérifié et on a besoin de savoir une deuxième propriété qui dénombre naturel qui est que si n appartiens à grand peine aux petites haines c'est un nombre naturel et grands thèmes c'est bien d'enchaîner naturel donc ici ce que j'ai noté c'est bien petit n est un nombre naturel alors donc ça c'est l'implication ici alors petit m + 1 est aussi un nombre naturel en d'autres termes à 6 nombreux naturel n et bien si je lui ajoute un j'ai aussi un nombre naturel ça c'est ce que cette proposition l'a dit et bien en fait ici c'est que c'est vrai par construction l'ensemble on voit bien que 0 est un homme naturel donc arrête un homme naturel aussi un +12 est bien naturel aussi de plus qu'à 3 est en fait tous les trois petits points ici indique que chaque fois on peut rajouter à pour obtenir un nouveau dogme naturel donc ces deux propositions la llc on sait qu'elles sont prêts et bien à partir de ça en fait on peut prouver que ça implique que n contient une infinité d'éléments donc on a juste besoin de savoir deux choses sur l'ensemble naturel on a juste besoin de savoir ça et ça et si on sait c'est deux choses là eh bien c'est fini on sait qu'être contient bien une infinité d'éléments alors comment faire la transition de ces deux points ici jusqu'à cette conclusion qui en contient une infinité d'éléments et bien c'est ce à quoi bon s'en va s'intéresser aujourd'hui justement en fait ce pont là il est fait grâce à la démonstration par récurrence alors pour introduire vraiment conceptuellement c'est quoi le problème de la démonstration par récurrence j'ai choisi un petit exemple ici que j'ai appelé la voiture de l'infini alors faisons-le à rouler notre voiture de l'infini on peut la mettre en marche donc comme tu vois en fait être seulement marche un peu lentement c'est une vieille voiture est en fait elle a une batterie que j'ai représenté ici au dessus et on voit qu'au fur et à mesure que la voiture roule sa batterie se décharge jusqu à un certain moment où la batterie tombe à plat ici et évidemment quand la patrie tombe à plat la voiture ne peut plus continuer bon c'est pas de chance parce qu'en fait on avait prévu d'avoir une voiture de l'infini est là pour le coup elle n'est pas allée très loin d'une voiture de l'infini alors comment on pourrait faire en sorte que la voiture de l'infini aller plus loin bon eh bien ce qu'on peut faire c'est qu'on peut la faire rouler et on peut ajouter sur la route des petites bornes de recharge ici donc une petite bande de recharge et tu vois que dès que la voiture passe par la borne et bien sa voix sa batterie est rechargée instantanément et donc elle peut continuer à rouler comme ça alors qu'est-ce que qu'est ce que je fais dans ce cas-ci à ce que je peux faire c'est que je peux disposer sur la route comme ça une infinité de bornes de recharge qui sont suffisamment proches les unes des autres pour que la voiture n'est pas la batterie de la voiture n'est pas le temps de se décharger pour aller d'une borne à la suivante donc est ce que tu sais à partir de ça tu sais que ap à chaque fois la voiture aura assez de batteries pour aller d'une borne à la suivante et donc la batterie ne tombera jamais à plat donc tu sais en fait que la voiture peut continuer à rouler comme ça indéfiniment c'est ce que je représente est ici avec des trois petits points et donc tu sais conceptuellement que la voiture ira à l'infini pourtant tu n'as pas vu avec tes yeux la voiture à l'infini tu sais qu'elle pourra aller à l'infini tout simplement parce que chaque fois elle aura assez d'essence ou en fait ici plutôt de batteries pour aller d'une borne à la suivante donc on n'a pas besoin de voir la voiture à l'infini pour savoir quel attendre à l'infini on a juste besoin de savoir qu'il ya chaque fois assez pour aller d'une borne à la suivante et que du coup cette structure va se répéter continuellement alors si tu as compris ça tu as déjà tout l'impulsion de la démonstration par récurrence parce que l'idée de la démonstration par récurrence c'est de faire une infinité de preuves tout simplement en en ayant chaque fois assez pour aller d'une preuve à la suivante donc je vais détailler sa part la suite mais vraiment garde cette idée de la voiture de l'un finit en tête parce que c'est vraiment cette idée qui sous-tend complètement l'idée de la démonstration par récurrence alors maintenant on va voir un exemple dans lequel on a vraiment besoin de la démonstration par récurrence pour prouver quelque chose dégrisement donc je t'avais déjà introduit l'ensemble des naturel est une propriété dans son naturel mais ici ça va vraiment être nécessaire si on veut fournir une preuve rigoureuse de cette proposition là alors j'ai introduit la somme est ce un dix cennes donc la somme est un design c'est zéro + 1 + 2 et ainsi de suite jusqu'à n donc je m'arrête à nc ce que me dit mon petit indice n ici donc en fait j'ai utilisé exactement la même notation que dans le cas des suites arithmétique donc si tu n'as pas vu forcément la vidéo des suites arithmétique et la vidéo sur le site géométriques je t'invite à la regarder maintenant mais si on fait cela commence intéresse si tu as vu cette vidéo tu le reconnaîtras directement que c'est une suite arithmétique deux raisons 1 qui commence à hull 0 égal zéro et en fait on calcule la somme des termes de cette suite arithmétique ici c'est pas plus important que ça parce que je veux juste poser une question je vais juste dire qu'en fait cette somme là je peux l'a calculé différemment en utilisant cette formule si je peux calculer sl donc le rsm que j'ai défini si je peux le calcul en utilisant cette formule là qui est est-ce un disque n égale n fois l + 1 / 2 donc ça c'est la proposition que je dis que c'est vrai j'aimerais bien j'aimerais bien le démontrer mathématiquement bon ce que je peux faire en fait c'est que je sais que cette proposition-là devrait être vrai pour tout n appartenant à grands thèmes donc quel que soit le naturel n que je choisis 7 à 7 cette proposition là doit être vérifiée donc je peux commencer par le vérifier pour quelques cas particuliers donc je peux choisir un différend n appartenant la trentaine et voir si la formule est vrai pour ces différents n donc je peux commencer par calcul et s 0 donc s 0 en fait je sais simplement que par définition je vais m'arrêter à une égale zéro donc s 0 est égal à zéro ça je le sais pas ce que j'ai pu le calcul explicitement maintenant je vais voir si ma formule est vrai dans ce cas ci donc je vais remplacer n par zéro dans ma formule donc il remplace m par zéro g 0 x 0 + 1 / 2 or 0 x seront plus là ça fait bien zéro donc la formule m'a bien prédit la bonne valeur pour s 0 dans ce cas-ci donc la formule marche effectivement pour l égal zéro ça y'a pas de problème alors maintenant je vais faire la même chose pour s1 donc est sympa c'est pareil je fais je prend 0 + 1 où je m'arrête à n égale 1 donc ça va facilement je sais que c'est un maintenant je vais voir ce que ma formule me prédit pour s1 donc ma formule si je remplace m parent elle me donne 1 x 1 + 1 / 2 donc un fois impuissant 1 / 2 donc forcément un plus un c'est d'eux dont je peux simplifiée en plus ça avec deux et il me reste bien un donc comme un forme il m'a dit effectivement la formule exacte dans ce cas si elle m'a donné la bonne réponse donc je peux aussi refaire cette vérification maintenant pour n égale 2 donc ici je prends s2 est égal à zéro + 1 + 2 je sais que je dois m'arrêter à l égale 2 donc ça avait très facilement je peux le calcul et ça me fait bien trois une fois que j'ai trois mais je peux voir maintenant que si ma formule ici s est égale à une fois de plus sera divisé par deux me donne la bonne réponse il suffit de remplacer n par deux donc si j'ai remplacé m par 2 j'ai deux fois de plus sera divisé par deux pareil je peut simplifier les deux ici et j'ai bien trois au total comme un donc ma formule me donne effectivement la bonne réponse pour s2 alors je peux continuer comme ça longtemps un forcément je peux continuer pour lé gars 3 à l'égard de quatre années 4,5 mais du coup en fait je devrais faire une infinie une infinité de vérification si je voulais prouver que c'est que cette proposition là est vrai pour tout en appartenant à ghm antenne a donc forcément tu te doutes que c'est pas ça qu'on va faire on va utiliser une stratégie qui est un peu plus intelligente qui est justement la stratégie pas forcément de la démonstration par récurrence alors ici donc ce qu'on a envie de faire revoir mulon ça de façon un peu plus abstraite le but ici se démontrer une propriété une propriété que j'appelle paix domp et pour propriété et je veux vérifier que la propriété paix est vérifiée pour tout n appartenant à grand peine donc la propriété vrai pour tout l appartement raconte m alors comment je note cette façon abrégé parce que c'est assez c'est assez embêtant un démon à noter chaque fois comme ça eh ben je note que pour toute aide appartenant à grand peine donc pour tout naturel m on a fait de n donc si on ap de haine ça veut dire que la proposition est vérifiée pour n donc quelles que soient la nature ellen que je prends je veux que paie de haine soit vérifiée donc que la propriété soit vérifiée en laine alors ici la propriété c'est quoi p2m bas ici dans ce cas-ci p2 nc cette formule si donc la proposition que je veux vérifier pour ncsm est égale à une fois n + 1 / 2 donc paix de haine dans ce cas ci c'est cette égalité ci est forcément l'idée c'est que je veux remplacer n par n'importe quel naturel et de voir que cette propriété bien vérifier quelles que soient la nature est reine que j'ai choisi alors comment mettre en place ça avec heureusement mathématiquement eh bien on va se baser sur l'analogie avec les dominos qui est généralement assez utilisé pour expliquer ce genre de concept alors regarde ici donc j'ai aligné mais domino et qu'est-ce que je peux faire avec ces dominos pas forcément je suis directement tenté de pousser ce domino là pour renverser tous les dominos est forcément bassimon système de dominos et bien fait 1 tous les dominos vont se renverser ils vont continuer à se renverser indéfiniment donc en fait le fait d'avoir poussé le premier domino ça va permettre de faire une de renverser une infinité de dominos forcément si j'en ai mis une infinité alors pourquoi je te parle de ça on va des composés ce qui s'est passé en fait et on va faire l'analogie avec la démonstration par récurrence par la suite donc d'abord des composants ce que je viens de faire tout d'abord j'ai fait ce qu'on appelle l'initialisation donc initialisation cg renverser le premier domino donc forcément pour renverser tous les dominos la première chose à faire c'est de renverser le premier domino donc ça c'est ce que j'appelle l'initialisation ensuite j'ai un lien deuxième chose qui s'est passé qui s'appelle l'hérédité et forcément qui est nécessaire pour que tous les données 2009 renverse eh bien il faut forcément que chaque domino renverse suivant si ces dominos la renverse le suivant et que celui là est le suivant et que cela remplace le suivant excellent la roja se suivant en fait tous les dominos compte renverser donc c'est bien ce que j'ai envie c'est d'avoir chaque fois tous les domaines qui sont renversés et que ça continue comme ça indéfiniment donc si ces deux propositions là sont vérifiées donc si j'ai renverser le premier domino et si chaque domino proverbe suivant alors je sais que ces trois petits points si je peux les mettre et que les dominos vont continuellement se renverser à l'infini en fait donc maintenant pour expliquer ça un peu enfin pour faire le lien avec la démonstration pas récurrence puisque je vais faire c'est que je vais commencer par numérotés mais domino donc ici j'ai le numéro le domino numéro zéro donc c'est le premier domino que je note zéro ensuite j'ai le deuxième domino de domino que je note 1 ensuite le troisième un domino et ainsi de suite comme ça et finalement en fait à quel que soit le n naturel donc je prends un nombre naturel n est pas forcément le domino n est toujours suivi du domino est le plus ingrat sama numérotation que je vais introduire alors pourquoi j'ai fait ça bien tout simplement pour reformuler à ces deux propriétés ici donc l'initialisation à l'hérédité je vais être formulée en termes un peu plus mathématique donc en utilisant des nombres donc en fait la première proposition c'est que le premier domino ont renversé donc le domino 0 et renverser donc ça c'est évident c'est juste la numéro une numérotation de jade introduites j'ai juste traduit sans entrain de cette numérotation là la deuxième propriété c'est chaque domino de renverser suivant et c'est là que ça c'est intéressant je vais pouvoir utiliser justement le fait que le domino elle sera versée renverse le domino elle plus sain donc en fait c'est exactement ce que j'ai noté ici chaque 2002 doit renverser le suivant je peux noter sa mathématiquement domino n renversé implique domino elle plus à renverser en d'autres termes si j'ai le domino haine qui renversait alors je peut en déduire comme domino l + 1 va être renversé aussi donc ça c'est vraiment la façon mathématique de noter l'initialisation et l'hérédité alors forcément maintenant tu vas demander quel est le lien avec la démonstration par récurrence pourquoi je te parle de ça eh ben on va justement faire l'analogie avec la preuve qu'on avait envie de faire pour chaque n appartenant à grand peine alors on va encore faire un tout petit travail pour reformuler ses deux propositions là en fait déjà avant de commencer sa ce que je peux dire c'est que je sais que domino n0 renverser des dominos n renverser un pic domino est puis sera reversée ça implique que tous les dominos rond sans renverser donc ça c'est évident ça implique que tous les deux 1920 sait si j'ai deux si j'ai fait lisa sion et je suis j'ai fait la réalité j'ai bien que tous les dominos vont être remplacés comme je te lei montra auparavant donc ça je peux le noter aussi mathématiquement tous les dominos sont renversés c'est pour tout en appartenant à grand peine le domino n est renversé donc ça ça me dit bien que quel que soit le numéro du nominaux que je choisis eh bien ces dominos soir entre sera renversée donc ça c'est la façon un peu plus mathématique de noter alors je te rappelle que le but qu'on s'était fixés c'était de démontrer que pour tout n appartenant à grand-peine hong ap de haine mais ça tu vois bien que ça ressemble assez fort à ce que je viens de tei si on est à noter que pour soutien appartenant à grand peine le domino n est renversé c'est similaire à pour toute l appartenance d'un grand thème on appelait de haine en fait ici dans ce cas-ci paix de haine ça serait domino elle renverser ça ce serait notre proposition qu'on a envie de démontrer pour tout en appartenant à grand peine alors on va faire l'analogie donc on va traduire l'initialisation en fait initialisation cij a traduit ici deux minots renversé 0 renversé basse et domino n est égal à zéro renversé donc c'est payé 2 0 si j'ai fait ces traductions si j'utilise ces traductions que je viens de faire donc domino 0 renversé c'est bien payé 2 0 par l'analogie que je viens de faire ensuite deux minoenne renversé implique domino elle plus à renverser et bien en fait ça c'est la réalité je peux traduire en 2000 aurel elle remercie simplement paix de haine par rapport à l'analogique que j'ai à te dire et domino n + a renversé ben c'est simplement p2m +1 donc les réalités ça se traduit par p2 n implique pas de l'âne plus tard en d'autres termes si je suppose que p2 n est vrai donc si je suppose que gp de haine alors j'ai aussi p d'olympus 1 donc pas de haine devrait impliquer de l'aisne +1 et alors ben je vais traduire la dernière application donc en fait on a dit que ça ça dans le cas des dominos ça implique que tous les dominos sont reversés donc pour tout en appartenant à un grand ennemi noël renversé et bien je rappelle que domino est de renverser c'était simplement paix de haine dans ce cas-ci donc ici si je traduis ça en terme de nos du pays que je vient d'introduire pour tous terrains appartenant à l'antenne on ap de haine or c'est exactement le but qu'on s'était fixés on avait concédé fixé le but de démontrer que pour tout un appartement à grant l on ap deux n est ici par cette analogie on vient de comprendre que si on veut démontrer ça on peut simplement démontré deux choses qui sont l'initialisation p20 donc il faut démontrer que paix et vérifieront n égale zéro et la réalité qui est que six gp de haine alors j'ai aussi p même plus je suppose que p2 n est vrai et je montre que ça implique que p2m +1 est vrai aussi donc en fait là on vient vraiment d'introduire le principe de la démonstration par a commencé maintenant je peux le noter mathématiquement la démonstration par écran c'est simplement une stratégie c'est une technique pour démontrer qu'une propriété p2 n est vérifiée pour total appartenant à grand peine donc comment on fait pour démontrer sa est bon en fait simplement l'initialisation et l'hérédité comme pour les dominos donc l'initialisation c'est p 2 0 donc je me démontre que la propriété b et vérifier en égal 0 et ensuite l'hérédité je démontre que si la propriété paix et vérifier en n donc quel que soit mon aide je prends simplement je garde la notation avec n alors elle est aussi vérifié pour n + 1 alors donc là en fait maintenant tu peux te demande tu peux demander comment ces deux choses permettent d'affirmer que p2 n est vérifiée pour tous telle appartenant à l'antenne et on va voir comment ça marche donc en fait nous ce qu'on a envie de faire c'est vérifié p2m tout est derrière par tiendra compte est donc on a envie de vérifier les 2 0 et 2 1 et 2 2 p de trois et ainsi de suite comme ça jusqu'à l'infini alors l'initialisation elle me permet de vérifier qu'on a payé 2 0 donc p20 est la propriété bien vérifié pour en égal zéro donc et 2 0 on sépare l'initialisation donc j'ai mis un bleu ici pour te rappeler que l'initialisation permet d'affirmer que p20 est vérifiée or maintenant par l'hérédité on sait que si ap de haine donc si ps vérifiant n alors paix devait vérifier ans et plus 1 en d'autres termes si je remplace n par zéro ici gp2 zéro implique p20 +1 donc p20 implique p2 1 donc si j'ai des 2 0 donc si la propriété vérifier en égal zéro alors elle est vérifiée en est légal un hors jeu c'est qu'elle vérifierait n'égale 0 grâce à l'initialisation de grâce à l'initialisation je peux affirmer que grâce à une nation initialisation et à la réalité je peux affirmer que ap 2-0 et vérifiées et donc pellerin et vérifiez aussi alors maintenant je peux continuer à utiliser la méditerranée finalement ce que je peux dire c'est que même si je remplace maintenant anne parent donc n égale 1-1 alors implique p2 en plus inquiets p2p 2 1 ap 2 2 alors je sais que p2a et very et donc je sais faire à part les qualités que je peux continuer à bouger à droite ici j'ai écopé de grimper de 2 et si je peux continuer à faire ça indéfiniment de grâce à l'hérédité ce que je peux faire c'est je peux toujours me déplacer par la droite et affirmé que chaque fois en fait les propres de les propositions les propriétés va être vérifié donc comme ça indéfiniment donc en fait grâce à ça j'ai bien démontré donc en utilisation utilisant uniquement l'initialisation et l'hérédité j'ai démontré que je peux continuer comme ça indéfiniment a démontré que la propriété les frais donc c'est exactement le but qu'on s'était fixé est ici si tu te rappelles le cas de la voiture de l'infini on a vraiment un fonctionnement qui est analogue qui est que à chaque fois donc on commence à poser une ici l'équivalent ça serait l'équivalent d'une borne qu'on a posé l hérédité c'est simplement le fait que chaque fois on la voiture a assez de batteries pour aller d'une borne à la suivante et ça permet à la voiture comme ça de continuer à progresser finalement pour atteindre l'infini donc tu n'as pas besoin de faire une infinité de preuves comme tu n'as pas besoin de voir la voiture à l'infini pour savoir que la propriété va chaque fois être vérifiée à quel que soit le haine que tu as fixes et donc en fait c'est vraiment ça l'essence de la démonstration pas récurrents ce site a compris ça tu vas vraiment compris a vraiment compris tout le principe de la démonstration par récurrence alors maintenant ce qu'on va faire c'est qu'on va commencer à appliquer cette principe d'admiration pas récurrentes et on va voir comment faire des preuves en utilisant ça donc on va retourner à l'exemple que j'ai donné au début qui s m est égal à zéro + 1 + 2 et ainsi de suite jusqu'à n donc je veux démontrer que pour tout en appartenant à quand l on as n est égale à une fois n + 1 / 2 donc ça je te rappelle que cp de haine dans ce cas-ci donc pas de haine c'est cette formule est vérifiée antennes alors je peux faire l'initialisation donc je vais commencer par faire une initiation qui elle paie 2 0 donc je veux bien vérifier que cette formule est vrai en n égale zéro donc je peux noter j'ai en fait on l'a déjà fait mais je vais le refaire rapidement la foule informé l'antenne égal 0 cs go again 0 donc ici et la formule me dit que dans ce cas si je dois trouver à 0 x 0 + 1 / 2 or 0 à 0 + sera divisé par deux eh ben ça fait bien zéro parce que le zéro et absorbants et donc la formule est bien vérifier en égal zéro ça ça marche il ya aucun problème donc l'initialisation est vérifiée on a fait la moitié du travail on a démontré l'initialisation maintenant un peu plus compliqué on va devoir démontrer l'hérédité l'avait dit et c'est je subis 11 que p2 n est vérifiée et donc j'utilise ça pour démontrer que paix de l +1 et vérifiez aussi donc si je suppose que p2 est né ferait donc si je formule si je suppose que cette formule est vrai pour elle alors l'airé de l'hérédité nos demandes de démontrer que en faisant cette supposition là la formule est vrai si si je remplace elle parraine +1 donc ici en fait je vais supposer que cette formule est vrai pour n et je vais démontrer que cette supposition me permet de prouver que la plana là que la formule est aussi vrai pour elle plus d'un alors comment comment faire ça en fait ce que je vais essayer de faire c'est que je vais prendre la formule pour n plus sain et je vais essayer de faire apparaître la formule pour n à l'intérieur donc ça va être plus clair quand je vais te montrer l'exemple donc ici en fait je veux démontrer que la preuve la formule est vrai pour n + 1 en supposant qu'elle est vraie pour elle alors donc si je note est m + 1 vga plus de +3 et ainsi de suite sauf que maintenant je m'arrête plus à rennes mais je m'arrête à n + 1 donc forcément maintenant je veux utiliser le fait que je sais que la formule est vrai pour m donc je vais essayer de trouver sn à l'intérieur de cette somme que je viens d'écrire dans monde de droite mais on sait très bien qu'en fait sncm premier terme un + 2 + 3 et ainsi de suite jusqu'à n eh bien ça représente bien est saine donc en fait je peux bien ce que je peux faire c'est que je peux utiliser paix de haine donc je suppose que p2 n est vrai pour démontrer que paix de l puis cela est vrai donc je suis je vais utiliser la formule en scène donc je vais remplacer sm par l x n + 1 / 2 donc ça en fait j'ai supposé que la formule était vraiment m pour pouvoir démontrer qu'elle est vraiment l plus sain et c'est ce que je en train de faire donc je vais utiliser est saine donc je vais utiliser paix de haine dans ce cas ci alors donc renault ton sm donc sncm fois n + 1 / 2 donc remplaçons sn par iphone puis sera divisé par deux donc maintenant que j'ai noté ça parce que je peux vous ce que je vois directement c'est que gdn +1 ici que je peux mettre en évidence donc si je mets une puissance en évidence il me reste l + 1 x and me +1 donc forcément je me tout mettre sur le même dénominateur ici donc un ennemi plus sage pour noter sa peine plus de 10 me donc j'ai tout misé sur le dénominateur et que ce que je vois en fait je vois que j'ai bien obtenu la formule est saine plus sain est égal à 1 + 1 re fois être plus de 10 2 or ça en fait si je reformule sa cp de m + 1 donc ici ce que j'ai bien démontré en utilisant est saine donc j'ai utilisé la formule pourrait scène et j'ai démontré que si je suppose que la formule est vrai pour n alors elle est aussi vrai pour être plus un donc j'ai bien démontré que p2 n implique paix de l + 1 j'ai supposé paix de haine pour démontrer paix de l'âme +1 c'est vraiment ça le mécanisme de la démonstration par récurrence donc là en fait je te rappelle que je viens démontré du coup initialisation et l'hérédité et maintenant que les deux sont garantis on a une démonstration rigoureuse mathématique qui permet d'afrique d'affirmer que sn est égale à une fois l + 1 / 2 donc b2en et vérifiées pour tout n appartenant à grand peine donc ça c'est démontré il ya plus de problèmes maintenant on a démontré grâce à la démonstration pas récurrents ce qu'on avait envie de faire au début de la vidéo donc maintenant en fait je vais te montrer un autre exemple dans le cas c'est utile d'utiliser la démonstration pas récurrence mais qui est complètement différent donc le but c'est de montrer qu'à démonstration pas récurrence ça sert pas que a parlé de suite ou de somme ça sert aussi à par exemple a parlé de dérive et donc je peux faire des belles démonstrations de formules de dérivés grâce à démonstration des récurrences donc ici je te demande de démontrer que pour tout n appartenant à grand peine donc pour tout naturel petite haine on à la dérive et par rapport à x 2 x explosion n est égale à une aine fois ex 1x exposants et de -1 donc ça en fait dans ce cas-ci cp2 np2 n la proposition en scène c'est bien cette égalité si j'ai envie de démontrer que cette égalité est vrai pour toutes à la partie noire grands thèmes alors donc je vais commencer par une citation je vais démontrer que les vrais en égal 0 donc je vais montrer payer 2 0 donc je demande que la dérive et par rapport à donc en fait j'ai commencé par faire le calcul explicitement et je vais voir si la formule me donne bien le bon résultat dans le cas n égale zéro donc si j'utilise pas de formules donc si j'utilise sigean le calcul juste par la définition la dérive et par rapport à x 2 x exposants 0 c'est un dérivé par rapport à x21 parce que x 2 0 ça me donne un quel que soit ce donc ça en fait on sait bien que c'est zéro parce qu'elle arrive d'une constante ça fait zéro donc petit aparté en fait si tu n'as pas encore vu la vidéo vidéo sur les dérivés je t'invite à aller regarder d'abord pour comprendre cet exemple si bon ici c'est juste une illustration c'est pas vraiment fondamental pour comprendre la démonstration cinq ans mais si tu veux vraiment profiter de cet exemple je t'invite à regarder la vidéo sur la dérive et et les vidéos sur les rives et parce que je vais utiliser quelques propriétés sans vraiment les re démontré ici donc en fait ici ce que j'ai bien démontrer c'est que dériver par rapport à x 2 x 0 ça fait zéro et maintenant je vais voir si ma formule me donne dans ce cas-ci pour vérifier si la formule me donne bien le bon résultat donc si je remplace m par 0 en fait j'ai zéro x x exposants 0 - 5 alors je sais que la multiplication par 0 et absorbantes quel que soit le x que choisit ici donc en fait je sais bien que mon résultat à l'as toujours être 0 donc en fait ma formule m'a bien donné de bons résultats à dans ce cas ci il n'y a pas de problème s'est vérifiée grâce au fait que bach 0.60 moins ça fait bien zéro donc la virtualisation et fait maintenant deuxième étape donc on a bien vérifié ni sa nation maintenant on va vérifier l'hérédité a beaucoup qui est un peu plus difficile forcément donc là il avait dit et je te rappelle que c'est supposons que la formule est vrai vrai antennes alors ça implique que la formule est vrai aussi en plus un donc je vais faire ce calcul ici maintenant je vais vérifier si la formule est vrai ans et plus 1 et comme précédemment ce que je vais faire c'est que je vais essayer de faire apparaître n la formule pour n dans la formule pour n + 1 pour pouvoir utiliser le fait que j'ai supposé que la formule est vrai pour n alors comment faire ça ben en fait maintenant ce que je vais utiliser c'est la formule du produit à la formule du produit pour les dérivés donc il ya une vidéo sur tp dia pour sur lesquels on parle la formule du produit pour les dérivés donc je t invite à la regarder si tu vas pas encore regardé ici je vais utiliser cette formule du produit sans l'a démontré donc si tu veux vraiment comprendre cette formule regarde la vidéo d'abord alors en fait ce que je veux faire c'est que je vais dire que la dérive et par rapport à lille the xx explosion m + 1 bah je peux récré sa dérive et par rapport à x 2 x exposants n x x pour faire apparaître mon n à partir de mon air plus sain donc là je peux utiliser formule du produit parce que j'ai produit un x exporte entre x exposants rennes et x donc si j'utilise la formule le produit je peux écrire écrire ses dérivés comme ça donc c'est un dérivé par rapport à x 2 x explosion n x x plus laïque s'exposant à une fois la dérive et par rapport à x 2 x est là en fait ce que je peux faire c'est que ben j'ai subi ekpe de haine est vrai et je veux démontrer que p2m +1 est vrai aussi alors qu'est-ce que je peux faire ici je peux simplement utiliser p2 n donc à dériver par rapport à x 2 x exposants elle alla est donné par pedro à nous est donnée par cette formule si et ensuite la dérive et par rapport à x 2 x bats c'est simplement un donc je vais écrire ça je vais remplacer x explose le remplacer sa part 1 et je vais remplacer sa part n x x x faisant elles - 1 parce que je suppose évidemment que p2 elle est vérifiée donc faisons ça remplaçons sa part n foi et espoir est de -1 et remboursera remplace au sapin j'obtiens ceci ok qu'est ce que je peux faire avec ça maintenant ben simplement x exposants est de -1 1 x x c'est bien x exposants m maintenant forcément jennerex explosant mi6 et un exposé en elle là je met en évidence au mexique ce faisant elle et je me retrouve avec ed + 1 x x x x 100 m or dérivés par rapport à x 2 x exposants n + 1 est égal à m + 1 x x exposants n c'est exactement la proposition p2 n + 1 donc si je remplace elle parraine plus dans cette formule là j'obtiens vers cette formule si donc je viens bien démontré qu'en supposant paix de haine en supposant cette formule si et ben alors j'ai bien p2 n + 1 donc en fait j'ai bien démontré que p2 n implique pas de haine plus sage et bien démontré l'hérédité donc ça y est c'est fini gelly signalisation et l'hérédité donc je sais que pour tout en appartenant à grand peine et bien cette formule ci sera vérifiée il n'y a plus aucun problème alors donc maintenant c'était le karaté récents les dérivés mais je te propose quelques exercices donc à faire par toi même donc je veux je te demande de démontrer que pour tout est la partenaire à grand peine on a les résultats suivants donc pour une suite arithmétique humaine est égal à zéro + 1 x rsn nos classes homme a des problèmes premier terne la suite elle puisse un premier temps de 28 arithmétique est égal à 1 + 1 x 2 x euros + nr divisé par deux et la même chose pour la suite je me trompe je demande de démontrer la formule terme par terne et la formule de sommes donc si t'as pas vu les vidéos sur les supérettes meetic et la suite géométriques te conseille de les regarder d'abord et ensuite peut-être comme exercice à d'essayer de faire sa démonstration la part récurrence donc c'est des résultats que je t'avais a déjà annoncé dans ces deux vidéos a donc la vidéo sur le site arithmétique et la vidéo sur le site géométrie et on l'avait démontré une certaine façon mais tu peux voir quand il ya moins le faire peut-être même plus facilement grâce à la démonstration par récurrence donc maintenant je te propose une première petite piste pour aller plus loin donc qui est notamment le cas de la récurrence sur les parties de donc comment un énoncé un énoncé adapté à sa serait formulée ça sera par exemple montré que pour toute haine plus grands égale à 6 on a quelque chose donc pour tout est naturel forcément un plus grand régal assiste donc je commence plus à une égale zéro je commence à m et galsi alors comment adapter la stratégie que je vais t'expliquer par rapport à ça et ben en fait il suffit simplement de faire l'initialisation à l égale 6 donc su commencer par démontrer p26 au lieu de p 2 0 donc si j'ai ça en fait je vais commencer à démontrer que c'est vrai en égal 6 et donc la propriété sera bien vérifier ici et par là l'idée comme avant je vais pouvoir démontrer que p 2,7 et vérifier p28 est vérifiée p29 et vérifiées et ainsi de suite grâce aux deux trois petits points donc en fait la propriété sera vérifiée juste à partir de est négative est alors une deuxième piste pour aller plus loin en fait c'est le cas de la démonstration a pas récurrents sur z donc maintenant je joue je fonctionne sur les ensembles l'ensemble des entier de plus l'ensemble est naturel donc l'ensemble des sentiers c'est 0 1 2 3 4 mais aussi tous les noms négatif donc moins 1 - 2 - 3 - 4 donc si tu veux tu prends un miroir en n égale zéro de l'ensemble est naturelle et ajoute tous les noms que tu obtiens dans ce miroir donc en fait qui obtient aussi - 1 - 2 - 3 - 4 et ainsi de suite donc ça c'est l'ensemble des sentiers donc en fait du coup l'énoncé ressemblera quelque chose comme ça dans ce cas ci ce serait démontré que pour toute aide appartenant à transat donc pour tout entier z on a une propriété alors comment adapter sa stratégie de la démonstration par à 46 6 m en fait il suffit juste de faire une hérédité dans les deux sens donc on va comme avant démontré que p2 n implique p2 est plus un mais on va avoir une deuxième année dit on va avoir besoin d'une deuxième année dit est parce qu en fait l'ensemble des entiers et ben il est infini dans deux directions différentes si je peux partir par la droite et avoir une infinité dentier mais je peux aussi partir par la gauche et avoir une infinité dante et donc j'ai besoin aussi de démontrer que p2 aide implique paix deuxième mois saint et qu'est ce que ça va me permettre de faire ça en fait bah je sais que p2 aide t 2 0 sera vérifié si j'ai fait une initialisation et grâce à l'arrêt dit eh ben je vais déjà pouvoir me déplacer vers la droite donc je vais devoir démontrer que p2 avoue rapplique p2a qui implique p22 qu'implique p3 et ainsi de suite mais grâce à la deuxième partie de l'airé dit et je peux aussi utiliser le fait que p2 un pic paie de moins simples qui implique p 2 - 2 qui a impliqué deux - trois et ainsi de suite et ainsi de suite donc en fait grâce à la vérité ici je vais pouvoir démontrer quelque chose sur z et non plus uniquement sur l'ensemble est naturelle donc voilà j'espère que cette petite vidéo sur la démonstration par écran sera plus donc forcément je t'invite à ta bonne à la chaîne à laisser des commentaires et alec et notre vidéo aussi si tu s'il en veux tu en prends tu peux nous soutenir sur tipi à et moi d'ici la prochaine vidéo tout ce qui me reste à te dire c'est à bientôt sur qu'il peut dire [Musique]