La récurrence réexpliquée pour ceux qui galèrent Un en fonction de n Term Spécialité math un=n

Bonjour à tous, alors aujourd'hui je vous propose une récurrence assez simple, mais c'est vraiment pour ceux qui ont un petit peu de mal et on va vraiment aller doucement et expliquer un petit peu chaque étape ici, ceux qui savent faire vous faites vite vous vérifierez pour les autres, on va aller donc doucement alors, tout d'abord l'objectif c'est bien que vous compreniez qu'est-ce qu'on sait, qu'est-ce qu'on veut démontrer, ça c'est une des premières choses quand on a une question, voilà, donc les données les données du texte, donc c'est des choses que vous pouvez utiliser quand vous voudrez donc données ici, vous avez une suite on sait que u0 est égal à 4 et vous aurez le droit d'utiliser le fait que vous utilisez le symbole pour tout pour toute n appartenant à n et bien on sait que un plus un s'obtient en faisant un plus deux n plus deux, voilà ça c'est une donnée utilisable quand vous voulez ensuite, ce qu'on veut montrer donc, ce qu'on veut démontrer mais c'est une autre égalité, on veut démontrer que quelque soit n appartenant à n, ça commence pareil un égale à n² plus m plus 4 alors, ici ça vous ne le savez pas, c'est ce qu'on veut démontrer, mais en termes de différence entre les deux choses ici, c'est ce qu'on appelle une relation de récurrence donc relation de récurrence relation de récurrence, ça veut dire qu'on a un plus un en fonction de un ça veut dire qu'ici vous avez u0 qui vaut 4 grâce à u0, si vous voulez vous pouvez calculer u1 qui vaudra donc u0 plus 2n plus 2, vous voyez que dans la relation j'ai remplacé ici n par 0 chaque fois que je remplace n par un entier positif, j'obtiens une relation entre un terme et son suivant ici, u1 égale u0 plus 2n vous voyez qu'ici je n'ai pas remplacé n mais dans ce cas là, je dois aussi remplacer n par 0 donc ça ferait u0 plus 2 fois 0 plus 2, toujours bien savoir pour quelle valeur de n vous appliquez la relation et vous obtenez donc, alors u0 vaut 4 plus 0 plus 2 vous obtenez u1 égale à 6 si vous voulez, on va calculer u2 mais ça, vous avez le droit de le faire dès le début du texte, puisque la relation de récurrence qu'on vous donne, elle est utilisable pour toute n à partir de 0, donc ça veut dire que pour n égale 1, je vais avoir u 1 plus 1, 2, égale à u1 plus 2 fois 1 plus 2, vous voyez j'ai remplacé n par 1, donc u2, je viens de le calculer, c'est là l'idée c'est qu'avec u0 j'ai calculé u1, avec u1 j'ai calculé u2, et donc c'est pas forcément les relations les plus pratiques parce qu'on va de proche à proche si je voulais u10, il faudrait que je calcule u9, donc u8, donc u7, etc donc c'est toujours très long à utiliser mais vous voyez qu'on pourrait l'intérêt, c'est quand même d'essayer d'aller calculer u50, u100, très vite sans avoir besoin de tout faire donc on va essayer de démontrer une relation qui est une relation d'un autre type ce n'est pas une relation de récurrence c'est ce qu'on appelle une forme explicite, on connait en ici, ce qu'on appelle un en fonction de n si je vous dis n égale 100, vous pouvez calculer directement u100, donc ça peut être très intéressant d'arriver à démontrer ça. Et le raisonnement qui va permettre de démontrer ce genre de relation, qui s'appelle en fait un terme général c'est le terme général de la suite la formule qui permet de le calculer directement et bien ça, ça se démontre par un raisonnement qui s'appelle donc un raisonnement par récurrence c'est le même mot que dans relation de récurrence parce qu'on va utiliser un petit peu ce même ressort qui consiste à aller d'un rang au rang suivant donc on est parti comment on fait un raisonnement par récurrence la première chose à faire c'est de vérifier que ce que vous voulez montrer est vrai au début on nous propose un égale n carré plus n plus 4 et bien regardons ce que ça donne par exemple en remplaçant n par 0 ça me donnerait 0 carré plus 0 plus 4, c'est à dire 4 effectivement, ça tombe bien parce que 0 vaut bien 4 on va essayer pour n égale 1 u1, c'est donc 1 plus 1 plus 4 et ça fait 6, et vous voyez quand on a calculé tout à l'heure, on a bien trouvé u1 égale à 6, on peut continuer pour n égale 2 u2 égale 2 au carré, donc 4 plus 2 plus 4, et ça me fait 10 et 10, vous voyez, c'est bien ce qu'on avait trouvé par le calcul. Alors le problème c'est qu'on ne peut pas démontrer que cette relation est toujours vraie en essayant toutes les valeurs de n, puisque vous savez que des valeurs de n, il y en a une infinité, donc il faut mettre en place vraiment quelque chose de plus performant et de juste, c'est à dire un raisonnement qui va permettre de démontrer une infinité de relations en même temps, donc une relation ici, ce qu'on appelle un raisonnement par récurrence la première étape d'un raisonnement par récurrence, c'est ce qu'on appelle l'initialisation, c'est ce qu'on vient de faire là et on va le faire uniquement pour n égale 0 donc ici, initialisation on écrit en général l'initialisation on essaye pour n égale 0 pour la première valeur de n pour laquelle vous voulez démontrer la propriété et d'ailleurs, on écrit la propriété juste avant de faire le raisonnement, on veut montrer, et vous mettez qu'est-ce que vous voulez montrer, et pour quelle valeur de n pour toute n appartenant à n on veut montrer que u1 égale n carré plus n plus 4, voilà c'est ce qu'on veut donc démontrer on n'a pas le droit d'utiliser comme ça directement par contre, ce qu'on va faire c'est d'abord vérifier que pour n égale 0 ça marche donc on refait, vous écrivez pour n égale 0 on sait que u0 c'est donné ça c'est 4, et on va regarder combien vaut 0 au carré plus 0 plus 4 ça ça vaut 4, donc effectivement u0 est bien égal à 0 au carré plus 0 plus 4 donc la propriété elle est vraie pour n égale 0 maintenant on passe à la deuxième étape l'étape dite de l'hérédité on va vérifier que la propriété peut se transmettre d'un rang au suivant qu'est-ce que ça signifie ? prenons une valeur de n, sans préciser quelle valeur on prend, c'est une valeur générique donc soit n appartenant à n on suppose que pour ce n là la propriété est vraie donc on suppose que ce qu'on veut montrer est vrai, mais que à cet endroit là, pas pour toute n, surtout pas c'est uniquement pour ce n là donc vous ne dites pas pour toute n ici ce serait une faute, et on veut dans ce cas là montrer on veut montrer que dans ce cas là en supposant cette relation vraie pour ce n là qu'au rang suivant u n plus 1 ça sera la même formule mais adaptée à n plus 1, donc n plus 1 au carré plus n plus 1 plus 4, voilà ce qu'on veut, c'est à dire passer de ce qu'on a supposé ici, qui s'appelle l'hypothèse de récurrence à ici notre but c'est à dire la même propriété mais qu'on a écrite au rang suivant vous avez le droit donc d'utiliser les données du texte, les données, je vous ai dit, il n'y en a que deux, c'est u0 égale 4, ça on l'a déjà utilisé, c'est aussi la relation ici de récurrence qui définit u n ça vous avez le droit de vous en servir, et on va donc commencer par ça, dans ce type de récurrence, on commence par u n plus 1 ici égale à u n plus 2 n plus 2, effectivement j'ai le droit d'écrire ça puisque c'est données et que mon nombre n est bien entier naturel et là par contre c'est ce qui peut paraître bizarre, je vais remplacer u n par ce que j'ai supposé dans mon hypothèse de récurrence je remplace u n par n carré plus n plus 4 et je rajoute ce plus 2 n plus 2 qui vient de ma relation de récurrence, et là je vais essayer de retourner sur la ligne bleue donc n carré alors ici plus 3 n plus 6, est-ce que ce que j'ai en bleu c'est pareil que ça ? ce qu'on fait en général c'est qu'on développe tranquillement dans un coin la relation qui est en bleu je vais faire un petit peu de place je vais enlever ce rectangle et ici je vais développer, donc si je développe moi il faut que je montre ici donc n carré plus 2 n plus 1 c'est une identité remarquable plus n plus 1 plus 4, donc je dois réussir à montrer que u n plus 1 c'est n carré plus 3 n plus 4 et 1 et 1 plus 6, et ça tombe bien parce que c'est exactement ce qu'on vient de montrer, donc ça veut dire que u n égale à n carré plus n plus 4 implique que u n plus 1 est bien égal à n plus 1 au carré plus n plus 1 plus 4 ça, ça s'appelle de l'hérédité une transmission de la propriété donc d'un rang au suivant donc vous êtes parti de votre hypothèse de récurrence qu'on généralement appelle HR pour arriver à votre but donc vous devez être capable d'écrire toujours l'hypothèse de récurrence et le but et vous utiliser pour démontrer ce passage les données du texte vous écrivez sur votre copie l'hérédité et vérifier et vous passez à la phase de conclusion qui est indispensable pour montrer que vous avez achevé la démonstration. Donc on dit quoi dans la conclusion ? Tout d'abord la propriété qu'on a citée au départ, elle est vraie pour n égale à 0. Ensuite cette propriété est héréditaire, elle se transmet d'un rang au suivant et donc par le principe de récurrence, vous pouvez dire que cette propriété est vraie pour toute n appartenant à N. Je résume par un petit schéma. Votre propriété est donc vraie pour n égale 0. Donc puisque vous avez montré qu'on peut passer d'un rang au suivant elle est donc vraie pour n égale 1. Mais comment on peut passer au suivant ? Vous voyez, elle sera vraie pour n égale 2 et ainsi de suite. C'est ça le raisonnement de préoccurrence, c'est ce raisonnement qui permet à l'aide de la première étape et du passage automatique à la suivante, de généraliser que la propriété est vraie pour toute n appartenant à R. Voilà tout ce qu'on avait à dire là-dessus. J'espère qu'à présent vous aurez compris que d'abord ça se rédige une récurrence qu'il y a des étapes obligatoires qui peuvent varier selon les professeurs mais qu'il faut absolument faire, donc initialisation. Ensuite l'hérédité dans laquelle vous ne dites pas pour toute n, surtout vous supposez pour un n pour un certain n certains changent même de lettre, prennent soit p appartenant à n ou k appartenant à n l'important c'est vraiment de comprendre que vous êtes en train de montrer le passage de la propriété à un rang à la propriété au rang suivant. Donc dans un coin il faut avoir mis le but, je l'ai mis en bleu votre hypothèse de récurrence claire et savoir que les récurrences comme celle-ci s'attaquent par la donnée du texte, c'est à dire la relation de récurrence. Et après vous mettez votre hypothèse dès la deuxième étape et normalement avec un petit développement ça devrait passer. Ensuite n'hésitez pas à dire que l'hérédité est vérifiée, que le but est atteint et vous faites une conclusion, c'est obligatoire et ensuite vous pouvez passer à la suite. Voilà, je vous souhaite une bonne fin de journée à tous, à bientôt.