Définition par récurrence et définition explicite (L)

Les suites permettent de décrire des phénomènes économiques, biologiques, physiques. Elles sont aussi très présentes dans les tests de logique de nombreux concours. On vous demandera alors de trouver comment elles sont construites. Dans cette vidéo, nous verrons ensemble les deux types de construction les plus classiques que nous appliquerons notamment aux suites arithmétiques et géométriques. Dans un test de logique, on peut vous demander de compléter cette suite. Si on l'observe attentivement, on peut voir qu'on passe d'un terme au suivant en multipliant par 3. Ainsi, le premier terme manquant sera 162, 54 x 3, et le suivant 162 x 3, donc 486. Si l'on veut définir proprement cette suite, je vous conseille d'utiliser un tableau en indiquant les indices associés aux différents termes et de le compléter avec Un et Un1. Ainsi, en écrivant la relation entre deux termes successifs, c'est-à-dire entre Un et Un1, vous obtenez Un1 égale 3 Un. Si vous rappelez que U0 égale 2, vous obtenez la définition par récurrence de cette suite. Dans ce deuxième exemple, il est très difficile de passer de 1 à 1,5 et de 1,5 à 1,3 et de 1,3 à 1,4 avec une même opération. Par contre, on peut constater que ce sont les inverses de 1, 2, 3 et 4. On va donc trouver très facilement les deux termes suivants, 1,5 et 1,6. Pour trouver la définition mathématique de cette suite, on va utiliser la même méthode que précédemment. On complète le tableau et on cherche la loi qui explique la construction de cette suite. Nous l'avons vu, il s'agit d'inverser l'indice pour trouver le terme. Donc Un va être égal à 1 sur n. On a ainsi obtenu la définition explicite. Notez bien ici que le premier terme A pour indice 1, il faut le préciser. Notez bien que la définition par récurrence relie deux termes successifs et qu'avec ce type de tableau, elle se lie horizontalement, tandis que la définition explicite relie indice et terme et se lie verticalement. Enfin, repérez bien que définition par récurrence et explicite auront dans cette vidéo chacune leur couleur. Parmi ces deux suites, l'une se définit facilement de façon explicite et l'autre par récurrence. Regardons la première. On reconnaît des carrés, les carrés de 2, 3, 4 et 5. On en déduit donc les deux termes manquants. Pour la deuxième suite, on peut constater qu'on passe d'un terme au suivant en mettant au carré. On obtient donc 16 au carré puis 256 au quart. Donc, je construis et je complète mes deux tableaux. Ici, on a constaté qu'on obtient UN en prenant le carré de l'indice. On a donc une définition explicite, UN égale N carré, avec, on note, N supérieur ou égal à 2. Dans le deuxième cas, même chose, on construit et on complète notre tableau. Ici, on passe d'un terme au suivant en mettant au carré. On a donc une relation de récurrence, UN plus 1 égale UN carré. On n'oublie pas de rappeler le premier terme, U0 égale racine de 2. Notez que, de façon générale, la définition par récurrence est plus facile à trouver. Par contre, elle a un très gros inconvénient. Elle ne permet pas de trouver un terme donné. Pour trouver U100, il faut le terme précédent, U99. Si vous ne l'avez pas, il vous faut U98, etc. Alors que la définition explicite vous permet directement de trouver un terme par le biais de son indice. Pour trouver U100, il suffit d'appliquer la formule pour le nombre 100. Pour les suites arithmétiques, qui font partie des suites les plus simples, il est très facile de passer d'un terme au suivant. Ici, il est clair qu'on passe de 5 à 8 ou de 8 à 11 en ajoutant 3 et de même pour passer de tout terme au suivant. On a donc obtenu la définition par récurrence. On n'oublie pas de préciser U0 égale 5. Maintenant, comment faire pour obtenir la définition explicite ? La technique consiste à déterminer U1, U2, U3, etc. à partir de U0 jusqu'à voir apparaître la formule. J'exprime U1 en fonction de U0, j'ajoute 3. Surtout, je n'effectue pas le calcul car je ne cherche pas U1 mais une formule. J'obtiens U2 de la même façon en rajoutant 3 et encore 3. J'obtiens U3 en rajoutant 3 fois 3 à U0. De même pour U4 que j'obtiens 5 plus 4 fois 3. J'ai ici l'idée de la formule, je peux donc exprimer n'importe quel terme. U10 va être égal à 5 plus 10 fois 3. La formule générale est donc UN égale 5 plus N fois 3. Ainsi, les suites arithmétiques ont une définition par récurrence très simple à trouver. UN plus 1 est égal à UN plus quelque chose qui s'appelle la raison. N'oubliez pas de préciser le premier terme. Leur définition explicite consiste à exprimer que l'on obtient UN en partant de U0 et en rajoutant N fois la raison. Ces formules sont à connaître par cœur ou à retrouver rapidement. Je vous rappelle que pour les suites géométriques, on passe d'un terme au suivant en multipliant par un même nombre, ici 2. On obtient ainsi facilement la relation de récurrence. UN plus 1 égale UN fois 2. On n'oublie pas de préciser le premier terme. Pour obtenir la définition explicite, on utilise exactement la même méthode que pour les suites arithmétiques. UN est obtenu en partant de U0 que l'on multiplie par 2. U2, 3 fois 2 fois 2. De même pour U3, pour U4, on généralise. Une série de multiplications génère une puissance, ici 2 puissance 4. On a à présent l'idée qui permet de retrouver n'importe quel terme. Pour U10, 3 fois 2 puissance 10. Et de façon générale, UN égale 3 fois 2 puissance N. Pour les suites géométriques, on passe d'un terme au suivant en multipliant par Q. Et si on précise le premier terme, on a la définition par récurrence. Et pour la définition explicite, on part de U0 et on multiplie N fois par la raison Q. On obtient donc U0 fois Q puissance N. Ces formules sont bien entendu à connaître par cœur ou à retrouver rapidement. Que retenir ? Tout d'abord, il faut bien distinguer pour une suite termes et indices. Il faut également savoir qu'il existe deux types de définitions, l'une qui décrit le passage d'un terme au suivant, la définition par récurrence, et l'autre qui décrit le passage d'un indice au terme, la définition explicite. Dans une définition explicite, UN est directement exprimé en fonction de N. Son étude sera relativement simple. C'est beaucoup plus compliqué dans une définition par récurrence, car UN plus 1 est défini en fonction du terme précédent. Nous avons vu que pour les suites arithmétiques et géométriques, on passe très facilement de la définition par récurrence à la définition explicite. En revanche, pour d'autres types de suites, ce passage de définition par récurrence à définition explicite est beaucoup plus compliqué. C'est d'ailleurs très souvent l'objectif principal des exercices de suite.