Exponentialfunktion - Einführung, Prozentuale Zu- und Abnahme | LehrerBros

Moin Leute! Herzlich Willkommen auf unserem Kanal MatheLight gemacht. Wir starten in diesem Video die Playlist Exponentialfunktionen. Wir kennen ja alle schon lineare Funktionen und quadratische. Und bei der Exponentialfunktion ist es jetzt so, da ist das x im Exponenten. In diesem Video machen wir eine kleine Einführung, wir zeigen euch was a und b bedeuten und gehen dann besonders auf die prozentuale Zu- und Abnahme ein. Eine der wichtigsten Eigenschaften von Exponentialfunktionen ist, dass sie ganz schnell und ganz stark steigen und das zeigen wir euch mal anhand dieses Beispiels. Wir können es ja mal probieren. Werdet ihr nicht hinkriegen und wenn ja, dann was machen wir dann? Lassen wir euch zum ersten mal ein. Es geht darum, ein Blatt Papier schafft ihr nicht mehr als sieben mal in der Mitte zu falten. Probiert das mal, wenn ihr Lust habt. Es klappt nicht. Und warum, sagen wir euch. Es ist halt exponentiell. Ich habe ein Blatt Papier, das ist eine Schicht, ich falte es in der Mitte. Dann sind es zwei Schichten, dann falte ich es wieder. Dann sind es vier Schichten, dann acht, dann sechzehn. Es verdoppelt sich immer. Deswegen steht hier die zwei. Genau. Und dieses Exponential heißt halt, dass sich etwas sozusagen immer wieder um den gleichen Wert vergrößert. Und in diesem Fall ist es halt verdoppelt. Wenn wir das dann nachher sieben mal gemacht haben, haben wir 128 Schichten. Könnt ihr ja immer nachzählen, wenn ihr darauf Lust habt. Glaube ich auch nicht, dass ihr darauf Lust habt. Und ihr seht mal, wir haben hier das mal so eingetragen in unserem Koordinatensystem. Hier auf der x-Achse haben wir die Faltungen. Auf der y-Achse haben wir die Schichten. Und je mehr wir das falten, seht ihr, die Schichten steigen viel schneller. Genau. Das ist so die Charakteristik der Exponentialfunktion. Jede Funktion hat eine Funktionsgleichung. Das kennt ihr ja von linearen Funktionen, von quadratischen Funktionen und hier auch. Hier seht ihr, haben wir a mal b hoch x. Das x steht halt oben im Exponenten. Und man kann es f von x nennen oder man nennt es einfach y. So nennt man einfach eine Funktion. a, seht ihr, ist der Startwert. Das ist ganz wichtig, da geht es halt los. Und dann haben wir dieses b noch. Das ist der Wachstumsfaktor. Der ist ein bisschen komplizierter. Das heißt halt, wie stark etwas wächst oder es kann dann sogar auch fallen. Und so sieht mal so eine Beispielfunktion aus. 3 mal 2 hoch x. Aber wie gesagt, der Wachstumsfaktor, der hat es ein bisschen in sich. Den müssen wir uns genauer angucken. Genau. Kannst du mal erklären? Wir stellen uns einfach mal vor, wir haben 100€. Wenn wir aus 100€, 101€ machen, haben wir 1% Wachstum. 1% sind 1€. Wir rechnen also 100 mal 1,01. Das ist ein Wachstum von 1%. Und landen dann bei 101€. Jetzt können wir uns überlegen, was passiert bei 2% Wachstum. Welchen Wachstumsfaktor brauchen wir dort? 1,02. Und so geht es weiter. So kann man dieses Spiel immer weiterspielen. Wenn man jemandem sagt, wir haben jetzt ein Wachstum von 6%, kann man daraus den Wachstumsfaktor bestimmen, 1,06. Und rechnen diesen Grundwert mal 1,06 und kommen dann auf das, was beim Wachstum herausgekommen ist. Ihr seht, es geht immer weiter. Wir gehen immer von 1,00. Und wenn wir dann zum Beispiel ein Wachstum von 10% haben, müssen wir rechnen mal 1,10. Oder 1,1. Genau. Und es geht immer weiter. So kann man immer weiterspielen. Und jetzt geht es nach unten noch. Was ist, wenn das Wachstum fällt? Das heißt, man hat eine Abnahme. Dann geht man auch von 1,00 aus. Also geht 1 runter, ist man bei 0,99. 1% nimmt es sozusagen immer ab. Und das kann man auch weiterspielen. 2% Abnahme, 3, 4, 5, geht sozusagen immer weiter. Immer von 1,00 ausgehen. Und dann hat man diesen Wachstumsfaktor ganz gut verstanden. Und das ist immer ganz wichtig. In den meisten Aufgaben muss man diesen Wachstumsfaktor irgendwie ermitteln. Wenn da steht, das fällt jetzt um 6%, dann weiß man es. Hier haben wir nochmal eine kleine Übersicht gegeben. Da sehen wir so, was heißt das jetzt? 1%, 1,01. Und das heißt, wenn man das immer anwendet, nicht nur einmal. Das heißt, man wendet es 2, 3, 4, 5, 6 mal an. Deswegen macht man dieses Hoch X. Hoch X heißt, wie oft wendest du etwas an. Und jetzt sind wir schon bei der Exponentialfunktion. Dieses A mal B hoch X. Und B hoch X beschreibt sozusagen, wie doll es wächst. Oder es kann, wie gesagt, auch fallen. Und ihr seht in der Tabelle, 1,1 sind 10%. 1,12 wären 12%. 0,5 sind 50% weniger. Weil ich muss ja von 1,00 ausgehen. 0,96 hatten wir auch schon. Und jetzt nochmal ganz interessant. Was passiert, wenn es 150% wächst? Dann bin ich beim Wachstumsfaktor bei 2,5. Ich muss ja von 1,00 ausgehen. Und 150 wären 1,5 obendrauf. Dann wäre ich bei 2,5. Üben wir den ganzen Spaß nochmal. Ihr habt eine Tabelle, ergänzt die mal und pausiert. 6%, das ist glaube ich recht klar. 1,06, ich gucke mir nur die letzte Stelle an. Und dann bin ich bei 6%. Jetzt haben wir 15%. Wir fangen bei 1,00 an. 15 drauf ist 1,15. Genau, dann haben wir 0,75. Es fällt auf jeden Fall. Und es fällt um 25%. 0,25 weniger, also 25%. Jetzt fällt der Spaß um 80%. 1,00 minus 0,8 ist 0,2. 1 ist halt gar nicht. Es fällt nicht und steigt nicht. Und minus 1,5%. Gut, müssen wir jetzt wieder 0,00 minus 0,15 rechnen. 0,015, genau. Und dann sind wir bei 0,985. Die häufigsten Fehler dabei sind, dass man nicht von 1 ausgeht. 1,00, genau. Damit man immer von 1,00 ausgeht. Dass man z.B. sagt, 3% ist irgendwie 1,3. Das ist falsch. 3% sind 1,03, das ist ganz wichtig. 30% wäre 1,3. So, meine Lieben. Im nächsten Video rechnen wir ein bisschen was dazu. Also dranbleiben. Ciao.