Première Spécialité maths-- Dérivation - Etude d'un troisième degré 2x3-60x2+450x

Bonjour à tous, le texte que je vous propose aujourd'hui, c'est l'étude d'un polynôme de degré 3. Rien de très compliqué, c'est vraiment très classique. Je vous laisse le faire et vous remettez la vidéo dès que vous le souhaitez. F est un polynôme de degré 3, il est donc dérivable sur son ensemble de définitions qui ici est R. Pour calculer F', c'est une somme, donc on calcule la dérivée terme à terme, donc 2 fois 3x², moins 60 fois la dérivée de x², c'est-à-dire moins 60 fois 2x, et ensuite plus 450, qui est la dérivée de 450x. Je rappelle, la dérivée des fonctions affine, ax plus b, c'est le coefficient qu'il y a devant x, ici c'est 450. Ensuite vous développez, vous obtenez 6x² moins 120x plus 450. On va étudier le signe de F' pour pouvoir en déduire les variations de F. Alors F' est une fonction du second degré, on va donc calculer son discriminant. Je prends la calculatrice, je trouve 3600, qui est le carré d'ailleurs de 60. Il y a donc deux racines, x1 qui sera 5, x2 qui sera 15, je vous laisse vérifier les calculs. Il y a une deuxième méthode pour trouver ces racines, on pouvait factoriser F' dès le début par 6. Il fallait le voir, mais souvent quand même il faut regarder un petit peu les coefficients. Comme il y a 450, la factorisation n'est pas évidente à voir. Et ça donne 6 fois x² moins 20x, après il faut diviser 450 par 6, alors vous le divisez par 3 puis par 2, donc par 3 ça donne 150, et on divise par 2 ça fait 75. C'est comme ça qu'on peut diviser par 6, on divise d'abord par 3 puis ensuite par 2. Vous faites après le discriminant, et vous verrez, vous retrouverez ici les deux racines 5 et 15. Je vais le faire comme ça rapidement. Il s'agit maintenant de calculer le discriminant de ce qu'il y a dans les parenthèses, zone 100, et après on n'a plus qu'à formuler moins b. Là c'est un tas sur deux a, et là faites attention, alors quand on fait cette méthode de factorisation, le a est ce qu'il y a devant le coefficient en x². Il ne faut pas remettre 6, puisque 6 a été factorisé. Faites bien attention à cela, et on trouve 5 et 15, les deux mêmes racines. Après quand on fait le tableau, bien évidemment on aura le même, puisque 6 est positif. Alors ça dépend après de votre façon de faire le tableau, mais si vous utilisez le cours, en une ligne vous allez dire que f est du signe de son coefficient en x² à l'extérieur des racines. Ensuite, plus, moins, plus. Ici vous avez l'intervalle de 0 à 20, comme dans le texte. On demande la tabulation sur 0, 20. On place 0, on place 20, on place x1, x2 qui sont entre 0 et 20, et on inscrit le signe plus, moins, plus. La fonction sera donc croissante, décroissante, croissante, et j'ai indiqué ici les valeurs 0, 1000, 0, 1000. Comme on est sur une vidéo, je vais pouvoir vous montrer comment on fait. Avec une casio, on va dans le menu, on va dans citables, on entre la valeur, l'expression de la fonction 2, ici la touche x au cube, moins 60 fois la variable carré, plus 450, x. Voilà. On règle, alors c'est pas ici, pardon, on écrit, voilà, et vous avez, vous tapez ce que vous voulez, normalement vous faites 0, ça fait 0, en 5, ça fait 1000, etc. Vous voyez, comme ça vous avez votre valeur. Pour une Texas, alors j'ai un modèle ici, vous allez dans y en haut à gauche, vous tapez votre fonction, alors il me la faut quand même bien, 2x, ici la touche des x, la touche des puissances au cube, moins 60 fois x au carré, plus 450 x, voilà. Vous validez, et vous allez dans le table qui est ici, donc seconde, votre tableau de valeur s'écrit, vous n'avez plus qu'à descendre, ici, 5000, alors si vous voulez une valeur directement, par exemple la valeur de 20, vous ne pouvez pas taper directement, sur ce genre de modèle, il faut aller, il faut quitter, en allant ici dans table 7, le réglage du tableau, voilà, et vous indiquez, vous pouvez soit commencer le tableau à 0 et aller de 1 en 1, ici ce qu'on appelle le pas, vous pouvez aussi demander, moi c'est en anglais, mais sinon en français c'est auto et demande, vous allez ici lui dire qu'il faut demander, voilà, vous descendez et là, vous lui mettez demande, ce qui fait que quand vous arrivez dans votre tableau, vous n'aurez plus aucune valeur, elles seront à la demande, vous avez juste à taper les valeurs qui vous intéressent, 5, 15, vous voyez, et 20, et les valeurs s'affichent. Donc voilà, pour le calcul de l'équation de la tangente, eh bien on applique le cours, alors le cours qu'est-ce qu'il nous dit ? Je vous rappelle, il nous dit que la tangente à la courbe de f au point d'abscisse x0, c'est y égal, alors un coefficient ici devant x qui est f' de x0, ensuite vous avez une parenthèse à x-x0, et f de x0, ce qui fait que quand vous remplacez là-dedans par x par x0, vous voyez, toute cette terme-là s'annule, il vous restera bien f de x0. Et ensuite on a bien un coefficient f' de x0, je vous rappelle que la dérivée, le nombre dérivé, c'est le coefficient directeur de la tangente au point considéré, voilà. Donc ici, x0 égale 0, on remplace, il faut donc calculer f de 0 qui vaut 0 ici, et il faut calculer f' de 0 qui vaut 450. Je l'ai remplacé dans l'expression de f' 0x par 0. D'où la conclusion, c'est que l'équation de la tangente cherchée, c'est y égale 450 fois x moins 0 plus 0, donc y égale 450x. On est donc amené à résoudre 2x³ moins 60x² plus 450x égale à 0. Alors, c'est une équation du troisième degré, et vous n'avez pas les formules. Donc, quand on vous demande de résoudre une équation du troisième degré sans question intermédiaire, c'est tout simplement parce que ça va être facile. Alors, c'est facile quand il y a une factorisation évidente, et ici, vous voyez, on peut factoriser par x puisqu'il n'y a pas de terme constant. C'est donc ce qu'on va faire. Cette équation équivaut donc à x multiplié par 2x² moins 60x plus 450 égale à 0. Je factorise par 2, puisque tous les coefficients perdent. On a donc un trinôme x² moins 30x plus 225 multiplié par 2x. Je m'occupe d'abord du trinôme, ici. Je calcule sur le discriminant, et je trouve 0. Cela signifie qu'il y a une racine double x0 qui est moins b sur 2a, donc 15. La conséquence de ça, c'est que la factorisation de votre trinôme, c'est x moins 15 au carré. C'est-à-dire que tu n'as pas le cours à multiplier x moins x0 au carré. Et ici, le a, c'est lui, d'accord ? C'est-à-dire a qui vaut 1. Vous avez un produit de facteur qui est nul, soit 2x égale 0, ça donne x égale 0 soit x moins 15 au carré vaut 0, c'est x égale 15. Donc on a deux abscissolutions, 0 et 15. Maintenant, on va passer au tracé de la courbe. Je vais utiliser GeoGebra et le faire en direct. Voilà notre GeoGebra. Première étape, c'est régler une fenêtre acceptable. Les valeurs de x sont entre 0 et 20. Je vais me placer entre 0 et 20. Je vais quand même réussir à récupérer 20. Et ensuite, on est au niveau des y, entre 0 et 1000. Là, je vais avoir un petit travail pour faire descendre tout ça. J'ai cliqué sur là, ce petit symbole, et ensuite je vais là jusqu'à tanquer la flèche et je réduis l'axe. Il y a d'autres méthodes, mais ce qui me paraît le plus facile. Voilà, on a donc notre échelle. Ensuite, on va placer sur une copie, je fais comme si c'était une copie, les points. Vous avez le point 0, 0. Vous avez le point ici, 5000. Pour faire un point sur GeoGebra, on ouvre une parenthèse, on met 5, et on écrit 1000. Vous voyez, c'est à dessiner en bleu. Ensuite, on a le point 15, 0. Et vous avez le point 20, 1000. Voilà, on a nos 3 points. On peut aussi faire des tangentes horizontales. Souvent, on met des petits vecteurs pour faire beau. Ici, je trace un vecteur ici. Il y a des petits points en trop, vous verrez comment on les annule. Donc vous avez ici des tangentes. Non, elle n'est pas ici, celle-là, pardon. Donc éditer, j'annule les 2 derniers vecteurs que j'ai tracés. La deuxième tangente, la dérivée s'annule 2 fois, donc une fois là-haut, et une fois ici. Je fais mon deuxième vecteur. Pour changer les couleurs, il faut afficher la fenêtre algebra. Voilà. Je clique sur vecteur, je note tous les vecteurs en même temps. Vous allez dans propriété, et vous changez les couleurs de votre vecteur. Là, c'était un peu long, donc ça va. Les couleurs, par exemple, je vais mettre rouge. Et ici, pour afficher l'objet, c'est bon. Et vous allez voir sur mon dessin, mon vecteur est rouge. Les points des vecteurs, on va les enlever. C'est les 4 points pour enlever un point sur l'algebra. Celui-là, il ne faut pas l'enlever. Voilà, j'ai un petit vecteur rouge. Si vous voulez refaire ce que je viens de faire sur les autres, vous avez un outil ici qui s'appelle Copier le style. Vous cliquez d'abord sur le vecteur qui vous intéresse, et après, le programme appliquera la même transformation. Ensuite, qu'est-ce qu'on avait d'autre ? Pas grand-chose. Après, vous prenez votre stylo, et vous allez arrondir ici, vous avez une courbe. Ce n'est pas grave si ce n'est pas parfait. Moi, ça sera évidemment parfait puisque le programme va le faire. Je tape 2x puissance 3, moins 60x au carré, plus 450x. Ce qu'il faut faire après dans un sujet, c'est enlever les parties de courbe qui ne vont pas sur l'algebra. On tape fonction, et on va lui dire de tracer la courbe uniquement de 0 à 20. Et on va lui dire d'enlever la première qui était verte. Il n'y a que la courbe qui intéresse, alors la couleur. Qu'est-ce qu'il reste à faire ? La tangente, sur une copie, il faut donner les valeurs que vous utilisez pour la tracer. Ici, j'ai pris 0,0, et j'ai remplacé x par 2, c'est 2 et 900. Vous faites 0,0, 2 et 900. Vous placez votre point en 2 et 900. Votre point est là, et je n'ai plus qu'à relier en utilisant l'outil ici à droite. C'est comme ça. Le point i, vous pouvez le laisser. Et voilà ce que vous devez avoir sur votre copie à la fin. Avec la calculatrice, qu'est-ce que ça donnerait ? Avec une casio, qu'est-ce que ça donne ? Vous allez dans graph, vous rentrez la formule, et ensuite il faut régler la fenêtre avant d'afficher. Je mets une fenêtre qui correspond à l'exercice. Il faut que x aille de 0 à 20. Je mets toujours un peu de marge, de moins 1 à 21. Parfois, si vous mettez 0, vous n'aurez pas forcément l'axe. Je vais faire dans l'absolu. Et ici, je ne prends aucune marge. 0, et vous mettez draw. Voilà, vous avez exactement la bonne courbe. Parfois, s'il vous manque un bout d'axe, vous décalez un peu. Avec une texas maintenant. Vous allez rentrer la fonction de x. Normalement, elle a déjà été rentrée dans le sujet. C'est-à-dire que quand on fait un sujet, on rentre tout de suite la fonction pour calculer des valeurs. Voilà, vous mettez ça. Et ensuite, vous allez régler la fenêtre window ou fenêtre. Vous mettez 0, 20, et vous mettez y égale 0, et 1000. Et vous n'avez plus qu'à appuyer sur graph. Et le tour est joué. Cette vidéo est terminée. J'espère qu'elle vous a plu. A bientôt sur d'autres vidéos. Et n'oubliez pas de liker si vous pouvez. Merci encore à vous.