Loi binomiale : Les formules (L)

bonjour dans cette vidéo je vous propose de retrouver ensemble les formules associées à la loi binomiale on jette un D trois fois de suite et on se demande la probabilité de n'obtenir aucun 6 alors on va noter x le nombre de 6 obtenu donc ici on cherche à résoudre px = 0 faut commencer par rater on a C chances sur 6 de rater et puis il faut à nouveau rater et puis donc on multiplie et puis encore raté à nouveau 5/6e 5/6e au cube ce résultat se retrouve très facilement avec un arbre où on note 6 et ne pas faire 6 6 bar et les probabilités associées à présent probabilité d'obtenir exactement un 6 alors on cherche ici p de x = 1 il faut commencer par réussir une chance sur 6 et puis on rate et on rate à nouveau donc on obtient 16 x 5/6 Carr attention ce résultat est faux car on a uniquement calculé la probabilité de réussir 6 au premier lancé on peut également le réussir au deè lancé ou au trè lancé on peut noter que dans les trois cas on obtient le même résultat on obtient ou bien au premier ou bien au deuxè ou bien au 3è donc on va ajouter ces résultats donc on obtient TR fois ceci d'où le résultat cherché ici je ne m'intéresse pas au résultat numérique car mon but c'est de reconstruire la loi binomiale d'autre part il est très intéressant de savoir qu'on peut retrouver ce 3 en comptant le nombre de chemins qui me permett d'obtenir un 6 il y en a un ici également un là et enfin un dernier ici donc il en a bien tr à présent on se demande quelle est la probabilité d'obtenir exactement de 6 on suit la même démarche il faut commencer par réussir réussir à nouveau puis rater mais il faut voir qu'il y a d'autres ordres possibles on peut les obtenir en comptant le nombre de chemins dans l'arbre il y en a trois si on se demande maintenant la probabilité d'obtenir 36 aucune difficulté il faut réussir réussir et à nouveau réussir donc un 6e au cube enfin la probabilité d'obtenir au moins 6 on pense automatiquement au contraire d' moins 1 qui est aucun donc on va traduire px supérieur à 1 par 1 - px = 0 et px = 0 on l' obtenu ici on jette à présent non pas trois fois mais 10 fois le D on se pose les mêmes questions si on veut s'appuyer sur l'arbre on aura des difficultés puisquil y a beaucoup trop de branches on va donc plutôt raisonner donc la probabilité d'obtenir aucun 6 px = 0 il faut rater rater rater 10 fois donc 5/6 puissance 10 probabilité de réussir exactement un 6 il faut réussir une fois et ensuite rater et ensuite rater 9 fois de suite en tout donc 1/6 x 5/6^iss 9 mais attention on ne réussit pas forcément le premier on peut réussir le premier ou bien le 2è ou bien le 3è et cela jusqu'au 10e donc il faut faut pas oublier de multiplier par 10 à présent réussir exactement deux fois donc on cherche px = 2 il faut réussir deux fois échouer 8 fois donc 1/6e carré x 5/6e puiss 8 mais attention les deux succès n'ont pas forcément lieu au début on peut réussir le prer et le deuxème ou bien le prer et le 3è et ainsi de suite jusqu'à 1ier 10e mais aussi 2e 3e ou bien 2 2 4e et cetera et cetera pour obtenir ce résultat vous pouvez utiliser la combinaison que vous obtenez avec une calculatrice nous verrons les détails sur les combinaisons dans une prochaine vidéo si on veut généraliser cette formule pour répondre à la question exactement K6 on va résoudre px = k il faut réussir k FO 1 6e pu k rater 10- k FO et ensuite il faut noter le nombre de façon de placer les succès choix de cas parmi 10 enfin réussir au moins 1 6 on pense le contraire de au moins 1 c'est aucun comme d'habitude donc c'est le contraire de 1- px = 0 d'ù le résultat suivre maintenant on va finir de généraliser notre formule afin de retrouver la loi binomiale on va commencer par remplacer 10 par un nombre quelconque de répétition n donc dans les formules tous les 10 sont remplacé par N le 9 devient n - 1 et le 8 n - 2 maintenant on n'est plus uniquement sur des lancé d on s'intéresse à une expérience quelconque à deux issus on peut réussir ou échouer réussir on va le noter S comme succès échouer sera noté s̅ et la probabilité de réussir sera noté P donc l'arbre représentant la situation sera équivalent sauf que tous les 1/e seront remplacés par P et les 5/6 par 1- P ce qui sera également valable pour les formules par exemple p x = 0 c'està-dire tout échoué c'est échoué n fois de suite réussir exactement une fois il faut réussir une fois rater le reste du temps mais ne pas oublier que ce n'est pas forcément le premier qu'on réussit d'où le N réussir exactement deux fois il faut réussir deux fois échouer le reste du temps mais il existe de nombreuses façons de placer les deux réussites d'où la combinaison ceci nous permet d'obtenir la formule générale de la loi binomiale il faut réussir qu'à fois échouer le reste du temps et la combinaison pour le placement des cas succès enfin réussir au moins une fois c'est le contraire de tout rater d'où la formule suivante on dit que cette formule est associée à une loi binomiale de paramètres n et p n correspond au nombre de répétition de l'expérience et P à la probabilité du succès on peut la noter BNP enfin X est le nombre de succès pour l'utiliser il faut toujours vérifier les conditions l'expérience est à deux issues elle est répété à l'identique et les résultats sont indépendants cette formule est impressionnante mais elle est très facile à appliquer imaginez que vous tirez des penalties qu la probabilité d'en marquer exactement 7 si vous en tirez 10 alors il faut marquer se fois probabilité de marquer c'est 80 % la probabilité d'échouet 20 % si vous en marquez exactement 7 vous en ratez TR et vous ne marquez pas forcément les se premiers d'où la présence de la combinaison enfin très bonne nouvelle pour l'Espérance inutile de construire tableau et de faire des calculs compliqués il y a une formule très simple d'ailleurs elle est intuitive si vous tirez 10 penaltis vous pouvez espérer en marquer en moyenne 8 puisque vous en mettez 8/ 10 ce qui correspond à 10 x 08 autrement dit n x P c'est une formule à retenir ainsi que la formule de la variance qui est beaucoup plus rare et admise mais néanmoins à connaître tout comme la formule générale