Toutes les formules cos et sin à connaître (S)

Bonjour Le produit scalaire permet de trouver une formule pour COS A- B dont en découle neu autres c'est la série de formulle la plus impressionnante de tout le lycée je vous montre d'abord comment les retrouver puis comment les retenir efficacement pour trouver cosinus de A- B il faut effectuer deux calculs diff du produit scalaire oa A et B sont de points du cercle trigonométrique la première définition sur laquelle on s'appuie celle avec les normes et le cosinus de l'angle pour pas de problème pour les normes ce sont tout simplement les longueursa et OB et pour l'angle celui-ci il vaut A- B ensuite si l'on se souvient qu'on est sur le sac trigo oa et OB font 1 et donc on a le produit scalaire qui vaut cosinus A- B on utilise maintenant la deuxième définition du produit scalaire avec les coordonnées il nous faut les coordonnées de oa et OB oa a pour coordonné COS a sin a et OB COS B sin B si on applique la formule du produit scalaire on aura COS a COS B plus sin a sin B on a donc COS a - B qui est égal à Cos a COS B + sin a sin B avec cosinus A- B on va trouver toutes ces formules pour cosinus A + B il suffit de penser que A + B c'est tout simplement a-- B ce qui va nous permettre d'appliquer la formule précédente sur A et B on aura donc COS a COS B + sin A sin- B je vous rappelle maintenant que cosinus B c'est cosinus de B alors que sinus B c'est ins sinus de B d'où la première formule pour cosinus 2 a il suffit de penser qu'on l'obtient ici en prenant B = a on a donc COS a COS a sin a sin a autrement dit COS a car Mo sin a car pour trouver sinus A + B à partir des formules de cosinus il faut un lien entre cosinus et sinus et pour cela il faut penser à la formule des complémentaires vous l'appliquez à A + B vous trouvez ce résultat ici il ne faut pas essayer d'appliquer une des formules des cosinus précédents qui vous ramènera à sinus A + B il faut transformer cette différence par exemple comme ceci et alors vous pouvez appliquer cette formule où vous remplacez tout simplement a par pi/ 2 - A vous allez donc trouver cosinus pi/ 2 - A COS B et pour les sinus sinus pi/ 2- a sinus B enfin pour finir vous appliquez à nouveau cette formule des complémentaires vous allez trouver sinus a COS B et COS a sinus B pour sinus 2A on connaît l'astuce il suffit de penser B = a on aura donc sin a COS A+ COS a sin a autrement dit de fois sinus a COS a enfin pour trouver sinus A- B on le pense comme A + B ce qui nous permet d'appliquer la formule précédente ici à A et B ce qui donne ce résultat et puisque cosinus B on l'a vu c'est COS B et sinus B c'est Mo ins sinus B on obtient cette dernière formule on a trouvé que cosinus 2 a c'est COS a car Mo sin a² on sait aussi d'après Pythagore que COS carré + sin carré é= 1 qu'on peut écrire comme ceci on va maintenant ajouter et raire ces deux formules pour trouver 4 nouvelles formules on les ajoute à gauche on a 1 + COS à droite les sinus se simplifient il nous reste donc 2 COS car si on cherche COS car on voit que c'est 1 + cosa sur 2 si on veut isoler COS 2 on voit que c'est 2 COS car - 1 on peut maintenant faire la différence 1- 2 on obtient cette fois 1- COS les cosinus se simplifi les sinus on trouve de Sin car et comme précédemment sin car va faire 1 COS sur 2 et un peu plus subtile si on veut COS on va trouver 1- 2 sinus pour retenir ces 10 formules je vous conseille d'abord de mémoriser ces quatre formules la première chose à constater c'est qu'on a toujours AB AB ensuite il est évident que quand on change le signe à gauche il change à droite que ce soit pour les cosinus ou pour les sinus ce qui nous permet de nous concentrer uniquement sur COS A + B et Sin A + B pour les cosinus on constate qu'il rassemble les cosinus et les sinus alors que les sinus mixt sinus et cosinus enfin il faut constater que pour les signes les sinus conservent les signes puisque plus donne plus alors que le cosinus change les signes plus donne moins par exemple avec cosinus A + B et sinus A + B on peut par étape retrouver toutes les formules on a rapidement COS de a en remplaçant tout simplement B par a on l'a vu de même on a sin de a et si on réutilise la formule de COS de a avec Pythagore on vient de le voir on retrouve les quatre dernières formules enfin pour mémoriser toutes ces formules je vous conseille de retrouver deux mémoires COS A + B et Sin + B puis de déduire toutes les autres comme on vient de le voir