九上數學 12 比例線段(5)：進階應用題型特訓、歷屆會考基測題精選、講義 23-24 及 57 頁全解析｜何肇忠老師(最新課綱)

歡迎收看數學很簡單,我是張老師 今天晚上我們要上的是九年級國三的數學 目前進度講的是比例線段的第五次上課 我們今天要上的是比例線段的一些應用 在講義的頁數,在第23頁 第八題的題目是說 AB平行C柱平行EF 這三條都平行 然後其中呢 AG比上AF的比例叫做3比8 3比8 AG比AF,你要看清楚喔 哪邊是AG,這邊叫AG 還有什麼,AF AF是全部耶 所以要變這樣子喔,這邊是3的時候 全部AF是8 那我用8扣掉3 原來這邊就是5嘛 我故意這邊寫5好了,比較好用啦 AG是3 AF是8 我用8扣掉3 所以GF這邊是5 那題目說呢 AC長的實際長度就是6 這邊給它寫個6 AC長是6 然後呢GD長是5 這邊的實際長度是5 這是比例喔,3比5 3比5是比例 那不是實際的 那實際的AC是6,GD是5 它要求的是 AB再加上 CE 目標是求AB 加CE 那我們看喔 要求AB怎麼求呢 AB看得到喔 看到之後怎麼去算它 你會發現有平行 有平行的時候呢 因為我們這邊剛好就卡在 相似三角形 跟比例線段 很多題目有一些它會跨範圍 所以這個範圍應該是屬於 相似三角形,那我教你怎麼用 你為了要求AB長 我把AB設X 這邊設X 要求AB長怎麼看呢 要看小比大 因為這有平行啊 所以FGD小三角形 跟FAB FAB這個大三角形 有平行的時候 它可以結比例線段沒有錯 但是你要這樣比喔 小三角形的底邊叫GD 比上大三角形的底邊 是AB 這要對應到小比大 好記得喔 所以小的比上大的 等於小的是FG 比上大的叫FA 所以小的比上大的 等於小比大 有時候不會說是5比S等於5比3 不能這樣比啦 它很明顯這一定比它長嘛 你說5比S又變5比3 3比5還要小嗎 這很明顯比5還要大怎麼會是3 所以大家這樣想喔 小的比上大的對應到小比大 我直接寫過程喔 所以小的呢 GD就是5 GD5比上大的底邊 AB是X 會等於小的 這邊是5 那比上大的是AF 就是8 所以5比S等於5比8 那這很明顯喔 SRN多少答案就是8了 有沒有5比8 所以SRN就是8 SRN8之後代表說 AB長就是8 還有C還沒求 C要怎麼求 我們看這裡 因為有平行就可以解比例線段 我把這C設Y 所以什麼結果呢 3比5等於 6比Y 因為平行線會解比例線段 有沒有 這兩段比 等於這兩段比 3比上5 就等於 6比上Y 就按照幾倍放大 兩倍放大 236 所以Y答案是10 所以解出來 兩個結果 X答案是8 Y答案是10 Y就是C長 他要求AB加C 那就是8加10 所以AB是8 C是10 8加10多少 這也是應用到 平行線解比例線段 的一些方法 這樣有沒有問題 他說 T型的ABCD中 BQ分別 A豬跟BC都平行 平行線 會解比例線段 AB比豬C比較3比4 AB比豬C AB哪邊 這邊是AB 這邊是豬C 這兩個比較3比4 因為用畫的不好畫 AB比豬C 的比例 叫3比4 那另外呢 AP比PB 3比2 AP比上PB比例 3比2 所以這邊是3比上 這邊是2 QC長24 QC 這邊的實際長度是24 這邊是24 實際長24 然後求AP有多長 求到那邊去的 目標是求AP 到底是多長 你看喔 當我知道這邊24的時候 這個DQ會可以算得出來 怎麼算我們就快一點 你有看到嗎 24跟他 跟這兩個有沒有關係 有關係啊 平行線會解比例線段 所以3比2 對應過來 所以你看喔 2變24放大幾倍 放大12倍 這個乘12變24 那把它乘12多少 答案36 所以DQ長36 用的方法叫做平行線解比例線段 按照比例放大 因為有平行所以3比2 對應過來一樣3比2 我把這2乘12變 24是他題目給的 所以2乘12變24 那3乘12變36 如果你叫他寫過程 就這樣寫 DQ比上24等於3比2 再利用內乘內外乘外 整理一下 這個DQ長答案36 求DQ的目的呢 是要用這邊來求AP 怎麼說 他說AP比DC3比4 我就把AB長設X 我把那個AB長設X 如果AB長設X的話 那麼變X比上DC 所以X比DC 誰要DC DC有實際的長度啊 把它加起來 36加24 答案是60 所以S比60 這邊是60喔 就是X是AB比上DC DC是60 等於3比4 你可以按照比例放大 4放大幾倍變60 60除以4 答案是15倍放大 所以你的S答案多少 一樣把這個3乘15倍 答案是45 或者你用內乘內等於外乘外 去求解 一樣都是45 那解出來45都是答案嗎 不是啊 這45是誰啊 我是把AB設X 所以AB的全長 全長這邊是45 現在要求哪裡 他要求的只有AP 那AP很明顯全部有幾等份 3加2五等份 AP長佔三等份 所以你要求AP長 AP長怎麼求 用45去乘上 五分之三 為什麼五分之三我再說一次 5是因為3加2 全部是五等份 3是因為AP長佔三等份 或者你說老師 我設R也可以啊 3R加2R等於是15 求R的解 R解出來是9 你這樣約分完之後 5跟45約不就9 所以93就27 所以AP長一樣都是27 方法是很多種 都可以用 這是第九題 那個乘法公式 很多東西都需要背 你忘記的話趁暑假好好複習 那的確基礎公式 一定要背熟來 什麼和的平方公式X的平方公式 甚至還有幾個變態公式 那個都要背一背 你沒有去碰他久了就忘記了 你隔越久去碰他就忘得越徹底 就越難做複習 所以複習一定要打鐵乘人 你不要隔太久 像你是現在準備要升國三 國二剛學過的 就快點做複習了 你不要到國三下你再複習就很辛苦 因為基本上你隔得越久就忘得越徹底 忘得越徹底就等於重新再學過 你就很辛苦 那趁你還忘得還不多 印象還很深刻的時候再複習一遍 你就會學得比較好 所以國三的確是要 三不五時就把前面東西再看一看 尤其你越怕越弱的 就趁這個時候好好再複習一次 看第二十四頁 看第十題 題目是說 如圖三角形的ABC中 GF三點分別在 BCAB跟AC上 而且四邊形的AEDF 為菱形 什麼叫菱形 四邊等長 但是沒有四個角直角 但四邊等長叫菱形 然後他說AB長是9 快點把它寫起來 AB長這裡是9 因為跨AB跨到1去了 我就會這樣畫起來寫9 然後那個AC長是10 這邊全部是10 你說這邊寫11很奇怪 寫F上面寫11我覺得還是很怪 所以我會這樣拉起來這邊寫10 然後BC長14 這邊是14 他要問什麼 他要問問問問 他要問BE加CF BE加CF 你看喔 這個BE跟CF 剛好都跟S有關係 跟菱形有關係 A BE AE是菱形 那AB長9 然後他要加CF AF是菱形的一個邊 所以AF加FC 答案是10 所以跟菱形有關係 我就把菱形的邊長給他寫X 如果AE我是X的話 AF也是X 沒錯吧 一定沒錯的 因為菱形四邊等長 所以我直接先另 我們先假設 菱形的邊長AE長是X 那這個時候你發現 這裡不是9嗎 扣掉X這邊剩多少 第一長會變成9減X 這樣對吧 因為全部是9 扣掉上面不要 那AC長是10 扣掉上面不要的FC 就是10減X 那你再想喔 菱形有沒有平行 有啊 他對邊互相平行 那我們有說過 平行線會結比例線段 所以我們先這樣看喔 如果你看這個方向的時候 你看這個方向的時候 有沒有注意到 E珠AC有平行 平行線怎樣 結比例線段 我把那顏色分開畫 讓你看得更清楚 所以AE比上EB 平行等於C珠比上B珠 所以AE會對到這邊來 然後BE對到這邊來 所以AE比EB 有沒有 對過來 C珠比珠B 沒錯對不對 再看喔 這個時候因為這樣子平行 我用咖啡色畫一下 綠色綠色 這裡跟這裡 是不是又平行 那平行的時候怎麼樣 又結比例線段 所以這兩段筆折過去 對過來 平行線結比例線段 不是這樣對過來嗎 對過來的時候會變成 CF比FA 換句話說 C珠比珠B 等於CF比FA 我畫顏色給你看喔 C珠我用紅色 對到這邊來 所以這個比上這個 等於對過來 等於這一段比上這一段 藍色對藍色 有看清楚嗎 因為它有平行 所以AE比EB AE比EB 會等於 這邊對這邊 叫C珠比珠B 這邊的理由是為什麼 理由就是因為 AC平行E珠 因為菱形四邊都平行 因為A珠 AC平行E珠 所以就是 平行線結比例線段 所以AE比EB 對過來 C珠比上珠B 再來喔 因為綠色的平行 F珠跟AB有平行 所以對過來 變成C珠比上珠B 等於CF比FA 我用寫的 C珠比珠B 等於CF 比FA 理由是為什麼 理由也是因為 因為F珠 平行AB 這裡有平行 所以我用顏色畫給你看 這兩個對過來之後 又對到這邊來 所以你的AE最後對到哪邊去 CF去 AE對到CF EB對到FA 所以我把它頭尾接一起 AE比EB 等於C珠比珠B C珠比珠B是接過來 等於CF比FA 所以頭尾把它接起來 AE比上EB 會等於CF比FA 是不是接過來了 那這個時候AE有多長 AE我們剛剛不是給它4X嗎 所以AE4X 比上EB EB是9-X 比上9-X 會等於 CF CF是4-X 等於4-X 我剛剛認住了一下 比上FA FA就是X 那再利用這個式子 內乘內外乘外 內乘內的話 就是9-X 9-X 乘上4-X 等於外乘外 SX 叫S平方 然後這個時候我們就很耐心的 把它展開來 好好的算一下 這要耐心慢慢乘 享受一下乘法樂趣 拆括號 9乘10 -X-9X 換手了 -X乘以10 就是-10X 那-X乘-X 會得正 SX 關於這個呢 是屬於二項式展開 如果你忘記 去看乘法公式前面的部分 怎麼樣把它乘出來 可是你已經忘記了 你要去複習 這個時候我們發現 等號兩邊都S平方 把它給消去掉 整理一下 左邊這邊 它是90 我把-9跟-10合併 變-19X 移過等號變正的 所以等於19X 那麼S的解多少 把19移過來除 叫做19分之90 我感覺快寫不下了 再來它要求 BE加CF 你看BE誰啊 所以呢 BE長度就是9-X 再加上 CF多長 10-X 所以變成 9加10叫19 然後-2X 也就是說 我把X換成19分之90 那我把上面擦掉 因為我這邊感覺 越寫越寫不下了 去規劃一下板面空間 全部都擠在一團 我把這邊擦掉 如果說你剛剛沒有抄到沒關係 之後你再把它 回帶 抄下來 我把這個寫到這邊 這邊接過來寫 你們自己考試的時候不要這樣接 這是很糟糕的寫法 你們自己在寫考卷的時候 邊邊拉來拉去 老師找半天找不到 我是不得已了 你們沒有不得已 寧可擦掉寫過都不要拉來拉去 然後-19-2X 所以2去乘上 19分之90 所以變成19 減掉 19分之180 那就同分了 19它叫做1分之19 1分之19 上下都乘19 它是19分之多少 19平方是361 19乘19 361 你忘記了也回去背一下 那個畢氏定理那些 什麼的平方數啊 11的平方12的平方 19的平方 然後減掉這個 19分之2乘9是180 361減掉180 19分之181 所以BE加CF 等於19分之181 能不能約分 你自己想一想能不能約 答案就是這個 這是第十題 花了一點時間 可是這個題目真的很漂亮 再來看第十一題 這邊會講到一些三角形的面積比例 三角形的面積比 我們分為兩種情況來看 如果說三角形 它在等高的時候 高相等的時候 面積比會是 底邊的邊長比 就不用加平方 如果是等高的話 高都一樣的 面積比就是底邊的邊長比 那什麼時候要加平方呢 它有點像那個 放大縮小的感覺 那個形狀很相似的時候 因為三角形還沒上到 那屬於下個單元 但是我們這邊有些會用到 所以我就先跟同學講解一下 我們先判別一下 什麼情況下用什麼方法 不然有些同學看不到出來 會容易弄錯 我這邊講解一下 比如說呢 這是三角形的 ABC 對這個不熟悉可以抄下來 這個是豬 假設B豬比C豬 叫4比3 另外一個情況 三角形 這個是ABC 豬一 豬一比BC 豬一平行比C 所以你看喔 這兩個情況完全不一樣 你有沒有注意到 AB豬跟AC豬有長很像嗎 一點都不像 但是有個特點就是 兩個的高都一樣 A豬C 所以AB豬 AC豬好了 AB豬這一個 AC豬這一個 這兩塊面積比 因為它等高 等高的時候面積比 就是底邊的邊長比 4比3 不要平方 那這個情況就不一樣了 如果它是豬一 會平行比C的話 那這個時候呢 三角形的A豬一 去比上三角形的 ABC 這兩個面積比 你就絕對不能只有寫 3比4 你說A豬一底邊是3 BC底邊是4 不對 你看喔 A豬一的高跟ABC的高又不一樣 它的高也是一樣 會按照比例放大 所以變成這個時候呢 它的面積比就變成 底邊的平方比 那個形狀很相似 這個ABC有沒有把A豬一放大的感覺 把A豬一放大 就變成ABC 它有放大感覺的時候呢 它的面積就是平方比 所以3平方是9 4平方是16 那這個東西是屬於相似三角形的範圍 不過我們這邊可能會用到 所以我一併都講解 這樣有沒有問題 再把它抄下來 這很重要 你不要把它混在一起 因為那邊有寫平方比 你只要寫3比4 你就會掛掉了 所以這千萬不要弄錯 那我把它抄下來 我們看24月的第11題 11題的題目是說 在三角形的ABC中 AB等於AC 等麼 因為 二維不能畫 AB等於AC 那個弧度多化 把它擦掉 因為題目說它是等麼 AB等於AC 我們在麼上面打兩撇 表示相等 它說珠是BC的終點 那太完美了 如果這個終點 這一邊等於這一邊 我們有學過全等性質 SSS三邊對應全等 因為 這邊對這邊 中間共用邊 SSS全等 全等完之後面積就一樣大 AB珠面積等於AC珠 它要問什麼 它要說 A1比珠12比3 A1比例2珠1比例3 比例2比3 然後問你說 這樣子情況下呢 三角形ABE的面積 你找一下ABE 在筆上三角形ABC 的面積比 是幾比幾 你會發現ABE是哪一塊 ABE就是小小的這一塊 ABC呢 就全部這一大塊 那怎麼做 太容易了 這兩個三角形 它的面積比 是2平方比3平方 還是2比3 因為等高 頂點都是B 你從B畫垂線畫的高 就是B珠 因為等高三角形 畫中線的時候連起來這裡有垂直 所以你這個B珠1三角形的高 如果底是珠1 高就是這邊 那ABE三角形的時候 如果底是A1那高還是B珠 因為它是一個鈍角三角形 高從這邊畫垂線下來 所以高一樣等高 等高的時候這兩塊面積比 就是底邊的邊長比 這邊2比3 所以ABE 就給它設面積2R 這邊面積就設3R 因為面積比是底邊的邊長比 2R加3R多少 5R 所以ABE珠是5R 那AC珠也是5R 為什麼5R 因為這個高全等 所以這邊5R這邊5R 面積會相等 那你的ABE呢 ABC面積多少 全部加起來4R 然後在2比10約分一下 用2去約分 1比5 所以ABE比上ABC 面積比加1比5 這題我們就簡單回答一下 如果你要補過程再去敘述一下 它為什麼會這樣寫 看來第12題 題目是說呢 AP比PB 的比例是 6比5 AP是6 PB 5 6比5 然後呢 AQ比QC 又是5比2 這兩段比又是5比2 寫比例符號 然後呢它問什麼 它問說這樣子三角形 的PQB 比上三角形 的APQ 再比上三角形 面積比PQC 的面積比 你要怎麼寫 我們先看一下 怎麼去處理它 BPQ 是這一塊 然後APQ就接這一塊 所以你發現這兩塊我可以直接回答了 怎麼說 這兩塊三角形 頂點都是Q 你的BPQ 頂點是Q APQ頂點還是Q BPQ 這個三角形頂點是Q APQ 三角形頂點還是Q 畫的垂線都一樣的高 等高的時候呢 面積比就是 底邊的邊長比 所以BPQ的面積 比上APQ的面積 就是底邊比 底邊比多少呢 你看喔 BPQ這個底邊是 5 比上APQ APQ底邊是6 5比6有點草率 所以你可以寫 假設 BPQ5R 三角形APQ面積6R 面積是5R跟6R 我們剛剛是看 這一邊對不對 我沒有去畫它 我現在開始畫了 它還有一個比PQC的 是這一塊 PQC這塊我還沒假設 可是上面那一塊 你知道答案了 這塊面積答案多少 我們剛剛不是說設6R APQ面積是6R 所以是PQC面積還沒有假設 我把它的面積 給它設X好了 三角形的PQC面積 我用X先來表示它 那這個時候呢 這兩塊面積的比例 紅色比藍色 是不是等於5比2 因為等高啊 你的APQ頂點是P 你的PQC頂點還是P 畫的高都一樣 等高的時候呢 這兩塊面積比 就是底邊的邊長比 所以三角形的 APQ 去比上三角形的 PQC 它的面積比 就是底邊的 AQ比QC 這好像把數據套過來 知道了把它套過來 其中呢 APQ面積有 這邊6R的 紅色是6R 所以6R去比上 PQC我剛剛說是X 我就不要寫英文字母了 等於AQ比QC AQ是5QC是2 也就是說這兩塊面積比 就5比2啦 一樣利用內層內外層外 目的是求X 不是求R 所以內層內呢 外層外 我再說一次 我是要求X不是要求R 你不要把12移過來 移錯方向的 你要把誰移走 把5移走 所以S3多少呢 5分之12R 所以這個PQC面積呢 就X S3多少5分之12R 所以PQC面積我這邊寫 5分之12R 好開始了 5R比6R比5分之12R 第一步R就全部都約掉了 全部都水 然後再來怎麼樣 全部都乘5 因為我要去分母 乘525乘530 後面乘55沒了 剩分子12 所以這三塊面積比 叫做25比30比上12 所以答案這樣寫 這題OK嗎 題目是說呢 如圖三角形的ABC中 跟FGH中 ABC ABC大的這個 FGH小的這個 它要形容圖的位置 注意兩點在ABC上 F點在注意上 就是講圖的位置 重點是說 注意平行BC 這邊有平行 另外呢FG平行AB 還有呢 FH平行的AC 這樣也平行 然後BG比上GH比上HC BG4比6比5 然後它主要是問說 三角形的A注意 去比上三角形 的FGH 的面積比是多少 那因為這一題正確來說 這一題是考到相似形的概念 所以會講到 它的面積比 會是底邊的平方比 那怎麼用它呢 來我們這樣用 因為呢 這樣子平行 所以四等份的對應過來 注意一場也是四等份 因為對邊等長 平行四邊形對邊等長 那這邊也是 FH平行EC 那FE又平行HC 也是一個平行四邊形 對邊等長 五對應過來 這邊也是五等份 這邊四等份 五等份 注意 然後呢FGH的底邊 叫GH 所以我找底邊比 注意比上GH 那注意有多長 我們剛剛說4加5當然是9 GH多少答案是6 9比6約分之後呢 用三約3比2 可是你不要忘記喔 A注意三角形 跟FGH三角形 它是個相似形 屬於放大縮小概念 這個時候它的面積比 就是底邊的邊長比 所以它面積比怎麼寫 你要這樣寫 3的二次方比上2的二次方 答案叫9比4 所以回答9比4 理由是因為 相似形 面積比 如果你這邊寫81比36 你沒有寫錯要約分 約到最後一樣這個9比4 這樣知道嗎 這樣子OK 這是第一題 我們再一題 第二題要說呢 三角形的ABC中 注意兩點分別在ABC上 而且A珠比珠B 等於C1比1B 都是2比3 那我就畫錯了 我也沒有平行 有平行喔 A珠比珠B 會等於C1比1B 為什麼要這樣寫的時候 我就說它有平行 因為我們有說過 平行線會結比例線段 比例線段就會跑出平行線 有沒有比例線段 A珠比珠B 是2比3 就這麼巧你說C1比1B又是2比3 2比3 這兩個2比3 所以珠1平行AC 所以有平行喔 珠1是平行AC的 但它平行不會告訴你 它有比例線段 你就知道有平行 那有平行之後 它會問三角形 的珠BE面積 去比上 三角形的 A珠C面積 我們找一下珠BE哪一個 看到了喔 還有A珠C哪一個 差很多耶 這個珠BE是這一個 A珠C是這一個 這兩個完全都沒關係耶 它也不相似 它也沒有等高 所以沒辦法這樣對過去 但是好再來 這個珠BE我先生面積3R 所以C珠1面積設計R 對2R 因為這兩塊是等高 等高的時候面積比等於什麼 底邊的邊長比3比2 我是3R這邊就2R 那3R加2R變多少 5R是誰的 C珠B的 所以三角形的C珠B 會變成5R 這很重要 因為我要把這個5R設定好之後 我求A珠C 就有希望了啊 B珠C A珠C有沒有等高 有並且都是C 所以這兩塊面積比等於3比2 對不對 我直接用寫好了 所以三角 三角形的 B珠C 比上三角形的 A珠C 他頂點都是C 所以面積比多少 3比2 那其中B珠C我知道了 就C珠B B珠C就C珠B C珠B跟B珠C 名字沒有取到一樣的 真尷尬 一樣的東西 順序沒有寫到一樣的 這個C珠B就B珠C 就5R 所以5R 去比上這個A珠C的 三角形的A珠C 面積比等於什麼 3比2 然後再利用內乘內等於Y乘Y 如果你要設X 也比他要寫 就直接這樣內乘內 內乘內就是 三倍的三角形A珠C 是不是內乘內 內乘內 2乘5R 等於10R 所以三角形A珠C多少 我把那個3移過來 除以3他就要3分之10R 對吧 所以A珠C的面積 出來了 他叫做3分之10R 這邊叫做3分之10R 那題目是問這個 珠B1比上A珠C 我拉箭頭寫了 我們盡量不要這樣拉 這樣拉很難看 所以珠B1比上A珠C 珠B1我剛剛要設3R的 比上A珠C 我們剛剛整理出來 叫做3分之10R的 第一個動作都有R 可以把R約掉 RR約掉之後呢 兩邊都乘以3 前面乘以3答案是9 後面乘以3約分之後答案是10 所以這兩個面積比 就是9比4 這是第二題 那我們就今天先上到這裡 等一下要上理化課了 講到這邊掰掰