八下數學 02 等差數列(2)：第n項公式活用、項數快解法、等差中項定義與應用題型｜何肇忠老師 (最新課綱)

歡迎收看數學簡單,我是張老師 今天我們要教的是國二的數學,目前的進度是等差數列的第二次上課 等差數列我們在上次有教了一個等差數列的公式 那公式一定要先背下來 你沒有背下來後面都很難做操作跟使用 那第 n 項公式,我再複習一下 a n a n 稱之為什麼 稱之為等差數列第 n 項的公式叫 a n 如果 a 8 叫第八項,a 9 叫第九項,a 3 第三項 a n 叫第 n 項 還記得嗎?a n 等於什麼? a 1 加 n 減 1 乘以 d a 1 叫首項,再加上 n 減 1 乘以 d 那這個 a 1 是首項,就第一個,就第一項叫首項 那 n 減 1 的 n 呢,這兩個 n 是一樣的喔 如果這邊是 a 8,n 就是 8 如果 a 7,n 就是 7,它同步一起變化 這個 d 指的是公差 小豬,這個小 d,它是公差 還記得喔,公差怎麼求? 公差的求法就是後項減前項,叫後減前 好,這要把它背下來喔 這是第 n 項的公式 好,那簡單複習一下之後呢 如果說你還是沒有什麼概念的話 請把第一堂課先看熟來好不好 不然你這樣接會比較辛苦 那我們看一下那個在講義的第四頁 目前教的就是那個等差數列的一些計算的應用 算蠻基礎的喔 來,我們看那個第二題 這公式我先不要插好了,留著對照 不過這要自己背啦,照理說你公式要先背下來纔能夠做使用 所以這公式你要先背好來 心中有公式好不好,這樣才會保佑到 來,第二題喔 第二題題目說呢 有一個等差數列呢,首項是 5 第 13 項為 77 求此數列的公差為多少 你看喔,它的首項是 5 什麼叫首項,第一項嘛 所以你要這樣寫啊 A1 第一項就是 5 因為首項是 5 第 13 項呢是 77 那你要這樣做記錄喔 叫做 A13 第 13 項等於 77 那麼這一題呢 它要求的是數列的公差是多少 已經跟你說等差數列了嘛 然後求公差,對不對 好了,怎麼做呢 你就直接套用公式知道嗎 什麼公式 這個 AN 等於什麼 A1 加 N-1 乘以 D 那什麼叫 A1 A1 叫首項 首項有沒有,有 5 嘛 所以你要寫喔 所以 A13 套用公式喔 會變成 A1 加 N-1 乘以 D A1 叫首項,首項是 5 嘛 所以 5 再加上 N-1 這 N 就 13 了嘛 所以 13 減掉 1 變什麼 變 12 所以你要寫 12 因為是 13-1 13-1 變 12 12 是嗎 12 D 那有沒有 D 沒有嘛 這樣你求公差不是嗎 所以當然沒有 D 啊 就寫 12 D 等於多少 它說的等於 77 等於 77 就變這樣 然後 這個時候呢 就可以求解了 對不對 你只要解後面就好了 前面不要理它 這 A13 不理它了 解後面這一個 把 5 移過來減 5 所以 12 D 就等於多少 72 12 移過來除 12 啊 所以公差 D 多少 答案就是 6 就是回答 公差是 6 這直接套用公式 就可以把它算出來的 有沒有簡單 不簡單是不是 不簡單是因為你公式你不熟啊 好不好 你公式弄熟一點 你就覺得很簡單了 這是第二題 好 再換那個第三題 第三題 第三題呢 我這邊會帶入一個小公式 這公式 可背可不背 可是我覺得有背之後 威力很強大 因為它很多時候 在算一些題目 應用問題的時候 你在求的速度會加快 所以我建議你們 還是背下來好了 那我先跟你講 有背沒背到底有什麼差 我先算給你看 我們看那個第三題 好 第三題呢 它題目是說 有一個等差數列呢 首項是 10 你看到首項是 10 你不要沒有動作 馬上就寫了 A1 等於 10 A1 就要首項 首項是 10 你這樣表達出來 不要讀完之後都沒有動作 馬上就寫 A1 等於 10 公差為 4 也是動作的啊 公差是誰 D嘛 所以小 D 等於 4 叫公差為 4 它說 58 是這個數列的哪一項呢 比如說 它的首項是 10 那公差不就是 4 所以第二項呢 叫 14 加 4 嘛 第三項再加 4 變 18 第十 第十二項 第三項呢 就變成了 10 加 我講錯了 來 重來一次 第一項是 10 對不對 第二項 14 嘛 過來是 18 過來是 22 到哪一項變成 58 你總不能這樣慢慢加嘛 那很浪費時間啊 所以我們就套用公式了 套用什麼公式呢 我們就不知道說 58 是哪一項 就假設 假設呢 第 N 項是 58 因為我們假設 第 N 項是 58 所以就變成假設這樣寫 假設呢 A N 就是 58 叫第 N 項是 58 對不對 第 N 項嘛 哪一項我不知道 就第 N 項啊 58 然後再來怎麼辦呢 套用公式了 直接套 怎麼套呢 就使用那公式啊 第 N 項公式 被我猜到就要背下來 A N 等於什麼 A 1 加 N 減 1 乘 D 怎麼是 A 1 A 1 要首項 有沒有可能 有 10 嘛 所以 10 加上 N 減 1 乘 D N 是未知數啊 也不能減 所以照抄 就 N 減 1 乘以公差 D 公差是 4 等於什麼 這裡啊 58 因為我把那個 A N 項代公式 把 A N 代公式之後 並這樣寫 A 1 加 N 減 1 乘 D 等於 58 然後求這 N 多少 然後怎麼做呢 先把這 10 移過來減 10 喔 你不要猜括號知道嗎 這不要猜啊 10 移過來減 10 喔 所以 N 減 1 乘以 4 就等於 10 移過來減 10 喔 變 48 還是不要猜括號喔 把這 10 移過來除以 4 喔 把這比較做 乘 4 移過來除以 4 所以 N 減 1 留著 4 移過來除以 4 一定會整除 因為項數都是整數 都正整數啊 所以一定要整除啊 4 移過來除以 4 變 12 你要求 N 不是嗎 減 1 移過來怎麼樣 加 1 所以 N 答案就是 13 代表說呢 這一項哪一項 第 13 項 所以它說哪一項為 58 答案叫第 13 項 怎麼回答 A 13 所以這題答案呢 你可以寫中文 13 項耶 也可以寫 A 13 這一項答案就是 58 題目要求的 這樣有沒有問題 那我們剛好說 這樣的方法 O 不 OK OK 的 是正確的 但是呢 好像覺得這動作比較慢 所以我們換一個方式說 背公式 背一個小公式喔 我教你背 怎麼背呢 我先抄給你喔 然後跟你講那公式怎麼導 我再導給你看 不然我先跟你 先抄下來喔 N 項數 N 這項數 N 喔 就寫一下項數好了 項數 N 怎麼求 有個小公式 叫做末項 你就記末項 末項就第 N 項的意思 末項減首項 除以公差 加 1 好 再背一次喔 求項數怎麼做 末項減首項 除公差加 1 末減首 除以公差 加 1 好 末減首 除公差加 1 有背下來嗎 末項減首項 除公差 加 1 對不對 我們剛剛說喔 它題目是說 首項 10 公差 4 這一項是 58 我就把這一項 58 呢 當作是末項 所以公式我照背 為了要求這個項數 N 怎麼求 有末項 58 58 去減掉首項 首項是 10 除以公差 公差 4 加 1 答案都出來了 58 減 10 變 48 48 除以 4 加 1 48 除 4 不就 12 12 加 1 變 13 所以答案哪一項 第 13 項 這個速度上面 你就會發現快很多 對不對 非常多啊 所以要背下來知道嗎 怎麼背 要求項數 N 怎麼做 末項減首項 除公差加 1 你就多背個小公式 你會發現 你的解題速度會快很多 求項數的時候 會變得非常快 這公式怎麼來的 我現在引導它 這公式怎麼來的 不要只有背而已 背完之後 怎麼來的啊 為什麼這公式 不是老師自己生出來的 他是把第 N 項公式 做個調整跑出來的 怎麼調整 來我寫這邊好了 我現在引導這個小公式 給各位看一下 我們說第 N 項公式 怎麼背的還記得吧 AN 項 第 N 項公式 AN 等於什麼 A1 首項 再加 N 減 1 乘 D 所以你看 我們這邊的目的 都在求這個 N 項數 N 所以我是要求這個 N 要求這個東西 為了要求這個 N 我把 A1 移過來 減 A1 可以嗎 所以它變成前面這樣寫 AN 減 A1 等於 移過來減 後面都照抄 N 減 1 乘 D 這樣沒錯吧 繼續 我把這乘 D 移過來 是不是除 等量除法 兩邊都除以 D 所以左邊 變成 D 分之 AN 減 A1 右邊就剩下了 N 減 1 那我是要求 N 所以誰不要 減 1 不要嘛 所以我把減 1 移過來 怎麼樣 變加 1 所以右邊就剩下一個 N 了 這減 1 移過來變加 1 所以前面這邊一樣 分數照抄 它是 D 分之 AN 減 A1 減 1 移過來 是變加 1 加 1 變這個結果 你說老師公式沒有一樣啊 一樣的啊 你注意看 N 有沒有 N 等於什麼 末項減首項除公差加 1 再看一次 末項 AN 減首項 A1 除以公差 D 加 1 一模一樣 所以這公式是這樣導引出來的 那這裡有備 有備的話 你再算項數 速度會快很多 所以建議說 你還是把它背下來好不好 把它抄下來 可以抄在第四頁那個 方框裡面 我們把那個公式 都放在框框裡面了 所以包含這 DN 項公式 這個公式 跟這個公式 你都可以把它抄下來 好好去背一下 好不好 我們是寒假的時候 這兩週嘛 至少把這兩公式 把它背下來 好不好 OK 齁 要背齁 下次我抽背喔 再看那個 講到第五頁了 那第五頁的話呢 就是 一系列就是 等差數列的一些小題目 讓同學更熟悉 題目當然多做 你就越熟 如果你題目會不熟 是因為做的慢 就是你不夠熟悉它 你做太少題目了 就不夠熟練了 所以我們這邊題目 盡量還是讓同學 多練習一些 我就多講一些好了 如果你覺得練習 還不夠的話 是可以到一些 像什麼軍醫的網站啊 再找一些題目來多練習 好 我們看一下那個 第五頁的第四題 它說呢 有一個等差數列 有一等差數列 所以它保證是等差數列 它從第一個寫起來 -2 然後呢 -5 然後-8 點點點 然後最後到AN 它說呢 第一題喔 第一小題喔 它說它的首項是多少 公差是多少 會不會回答 容易嘛 首項都第一個啊 第一個不就-2 這是送分的 所以A1首項是-2 它再問你公差為何 公差為多少 公差叫小豬 小豬等於什麼 記得喔 求公差都是後減前 後面那一項 減掉前面那一項 所以你簡單算一下喔 -5減-2 能不能這樣寫 不行喔 記得喔 -5減-2你要這樣寫喔 減-2 有沒有 -5減-2 負負得正 -5加2 -5加2不要再寫-7了啊 要8下去了啊 答案是-3 -5加2 是-3 所以公差是-3 對不對 所以它首項是-2 公差是-3 這第一題好了 好 第二題問你說 那第十五項為多少 所以第二題 所謂的第十五項是a多少 a15對不對 第十五項的a15 a15就馬上套公式的科系的 公式還記得吧 an等於什麼 a1加 n減1乘以d 什麼叫a1 首項 首項有沒有給 有啊 負2啊 所以負2去加上 n減1 15減1變什麼 14嘛 就直接心算好了 14 14d喔 什麼是d d叫公差 有沒有公差 公差負3 乘以負3 所以 a1加n減14 乘以d d是負3 記得先乘除喔 14乘以負3多少 負42 負2再加負42 所以答案是負44 所以第二題喔 它的第十五項為負44 好 第三題 它說如果第n項是負62 第n項 是負62的話 那麼 n答案多少 然後求n是誰對不對 有沒有 求n 什麼意思 求項數啊 所以我剛剛說到公式喔 很好用 怎麼用呢 末項減首項 除公差加1 沒印象 末減首 除公差加1 末項就它了嘛 就把它當最後一項就好了 所以負62 叫末項 減掉首項 首項是負2喔 減負2加1 再除以公差 公差是負3 除完之後再加1 末項減首項 除公差加1 直接算 這樣比較快喔 那負62減掉 欸不對 這邊要負負得正 變化了 負62加2 負62加2是負60 負60除以負3 正20 20加1 欸答案就21 所以第21項是負62 我相信你這樣寫的話 速度上面會快非常多喔 所以這公式把它背下來 一定要背啦 上我課都要背 上面那課就不管了 我的課就一定要背 因為這太好用了 把它背下來 看第五題 第五題一樣是 等差數的一種應用 我們看第五題 如果你有講義同學 可以先試看看 你會發現這個題目 都是很類似的 就讓同學多練習而已 我們看第五題 第五題題目也先下定義了 他說這個就是一個等差數列 有1等差 設1等差數列 就是說這個是等差數列 第五題 等差數列 他說這邊是 2 5 8 11 一直到後面 又是AN 是一個等差數列 第一個問你說 它的第十項為多少 第十項為多少 什麼意思 A10 A10不是第十項 它要求A10是多少 第十項是多少 好那你在寫的時候 因為一開始我們不熟悉 大家公司的用法 所以建議說你把那個 每一項你知道都把它寫出來 我們說那個DN項公司 AN等於A1 A1是誰 A1是第一個2 所以A1是2 把它先記錄一下 還有一個公差 公差是誰 公差後減前 有沒有 5減2的答案是3 所以你要求A10好不好求 很好求 A10就等於 同時要默背一次 AN等於A1 加N減1乘以1 什麼叫A1 首項 有沒有2 2再加上N減1 10減1多少 9 所以加9 9什麼 9D D多少 D是這邊3 有沒有 9乘以3 再看一次 AN等於A1是2 加N減1 10減1是9 9D 然後把它乘一下 9327 2加27 答案是29 我們手指黑黑的 因為今天在弄印表機 手黑掉了 沒有洗乾淨 那墨水洗不掉 這第一題 好 再來那個第二題 第二題的話呢 它題目是說呢 假設這一箱AN 加101的話 那麼N答案多少 對不對 有沒有覺得很熟悉這個題目 第三次做了對不對 要求N N加像素 求像素 用的公式啊 哪一個公式 我剛剛說的 末項減首項除以公差加1 這個公式超級好用的 所以N怎麼求呢 用末項 所以把它當末項知道嗎 末項是101 就是它是最後一項 所以101 減掉首項 首項是2 減掉2 除以公差 公差我們剛剛說答案是 最後再加1 這樣末項減首項除公差加1 這個樣子的速度 會比你直接帶DN項公式快很多 所以這個一定要背下來 101減2 99除以3 33 33加1 34啊 所以答案是34項 所以AN的N多少 N答案34 這是第二題 有沒有覺得很快 求很快對不對 簡單又快 來再看那個第六題 現在吃飯時間是嗎 感覺看直播的人變那麼少 來再看那個第六題 第六題呢 等差數列的公差是5 第8項16 它求首項多少 不過我們108課綱的課綱 是有調整一下 它說現在開始 題目都不適合去引導去求首項 講這樣講 考試也不照考 所以老師基本上還是都講 第六題 它的等差數列呢 公差 你就寫D D就是5 第8項叫A8 第8項16 然後反推首項 那這樣的考法在習俗的課本 不會出現 因為現在不這樣子問題目 但是事實上在應用的時候 還是有可能叫你去求首項 所以我們還是把它拿出來做練習 好那這邊呢 我們就直接帶那個DN項公式 帶哪一個 A8 這邊唯一的只有D8項 叫A8 所以A8 A8 A8D8項 等於什麼 公式照套 A1首項 可是沒有首項啊 就給它寫A1 A1再加 N減1是8減1變7 7D有沒有D D是5嘛 7乘5 等於什麼 題目說A816 所以等於16 這邊就要寫 A1加N減1 8減1乘D D是5 等於16 我們要求A1喔 所以這前面都不要看喔 所以A1留著 那7535一塊減35 變16減35 16減35多少 答案是-19 所以它首項是-19 那這個是第六題喔 用那個DN項公式 來去反推首項格 不過這個 這樣的做法 以後 直接命題的機會很少 因為不能這樣考啦 現在不允許這樣考了 但是在應用問題可能會遇到啦 好看那個第七題喔 好第七呢 也是一個等差數列呢 很明顯喔 你看它問什麼東西 我把題目先寫一下 你如果說你在公司喔 老師講的你都把它 好好的記下來 你會發現 真的都很好用 那題目出出來都很好笑 這種題目也敢出 對不對 來看第七題喔 等差數列的 的部分呢 它是寫45 42 39 咚咚咚咚咚 一直在推 它說第幾項 是6 哪一項是6啊 第多少項 它答案是6 對不對 那你當然不能一項一項 這樣剪下去啊 所以即使你剪得到啦 可是也不要這樣做啦 那感覺就很不優雅了 我們做題目還是要很優雅 去處理它 45 42 39 越拼越小對不對 所以有一天 總會數到這個答案是6 跑出來 可是我們不能這樣數啊 這樣數的感覺就 就很暴力解喔 我們要優雅處理它 所以這題你看一下 有沒有首項 有嗎第一個啊 45啊 所以A1交45 有沒有公差 公差 公差後減前嘛 有公差啊 42減45 答案是-3 對不對 好你看喔 它說哪一項是6 我也不知道 所以怎麼做 假設第1項是6 所以就要這樣寫啦 AN等於6 第1項就是6 我們設第1項是6 那假設好之後 又來了求N 求N求什麼 求像數耶 對不對 大家同學都很厲害了啦 像數怎麼求 我們剛剛背過第5遍了 末項減首項除公差加1 對不對 末項是誰啊 你說末項是誰 就它這6啊 末項就它這6啊 6減掉首項就45啊 除以公差 公差是-3 最後答案再加1 末項減首項除公差加1 用這方式求像數超級快 快到自己嚇一跳了 6減45變多少 6減45變-39 除以-3再加1 記得這要先除 除的時候不要忘記要變號 你那像數算出來絕對都正的 你不要算出來答案變負的 那就很奇怪你知道嗎 像數都是正整數 像數最小就是A1 叫首項 像數沒有分數的 也沒有負數的 所以這邊你在算的時候 如果你算到答案是負的或分數 你就要想是不是你算錯了 相除喔 負負得正 39除以3 答案13 13加1多少 變14 所以答案就第14項 所以這一題喔 答案要寫第14項 答案是6 這邊有沒有問題 再看第8題 第8題這樣的考法 也是我們在後面的課程 在108課綱 他把這樣的題目 略為說不適宜這樣除 可是坦白說 在應用問題的時候 難免還是會遇到 類似的一些技巧 所以這個計算的技巧 老師還是要講解 來看第8題 好第8題 第8題呢 他說等差數列 第10項是14 第18項負2 然後呢 要求首項求公差 還要求第13項 再一次喔 他的第10項是14 你看完不要無動於衷 看完就要表達出來 第10項什麼意思 叫A10 A10等於14 這題目的意思喔 第18項負2 怎麼寫 那就A18嘛 等於負2 這A好醜喔 把它擦掉 看起來不爽 怎麼那麼醜的A 醜A 擦掉 寫個好看的A出來 好 第10項14 第18項是負2 求首項 求公差 還要求第13項對不對 這時候呢 你就想了喔 我們就直接把它公式化 什麼公式化呢 我們有背那個DN項公式 AN等於什麼 A1加 N減一乘D 對不對 那就想A10啊 A10 把它換成公式化 它是A1 A1首項不知道 我們要寫A1 A1加上 10減1 N減1喔 9 公差也不知道 9D 等於什麼 等於14 所以這是A10啊 A10跑到這邊來 A10換成 A1加9D 等於14 好那 A18呢 一樣到公式啊 好A18一樣是A1 A1加上 18減1 17 所以是17D 等於什麼 等於Full 寫完之後就感覺很眼熟 就是那個沒有錯啦 連立解啦 連立解解過吧 連立解是 國一下的課程啊 不要跟我說不會啊 目前是國二課喔 這是國一下教連立方程式求解的嘛 好那怎麼解呢 可以使用 一定可以使用相減消學法 它的A1肯定會被減掉 你就用力減就好了喔 等一下編好了 編第一式 編第二式 怎麼減比較好減 我個人偏好大減小比較好減 所以用第二式減第一式 因為17比9大啦 所以用第二式 減掉第一式 那A1減A1 A1就沒了不要理它 17D減掉9D 答案是8D 8D等於什麼 -2減掉14 -2減14 是-16 是減跑要小心喔 所以D多少呢 8一塊除以8 公差是-2 公差算出來-2之後帶回去啊 看你要帶哪一個 帶第一式好了 感覺第一式數字比較小一些 代入1 所以把這-2帶過來 變成說 這D要換-2 所以9乘-2 9乘-2變-18 所以A1照抄 -2喔帶過來 9乘-2是-18 A1減18 18 怎麼寫的跟唸的不一樣 等於14 然後減18一塊加18 所以A1答案多少 A1答案叫32 所以我很快的算得出來啊 它的首項 就是32 它的公差 就是-2 這是第一個答案 那第三個答案呢 它問說求A13 第13項 要求A13 就直接把它公式化 套公式了嘛 一樣是A1加 N減1乘D A1 在這邊 32 32加上N減1 13減1 12 乘以D D是公差我們剛好求多少 -2嘛 有沒有 再看一次喔 A13套公式 A1 32 加N減1 13減1變12 12D D就是公差 公差是-2嘛 那記得先乘除喔 12乘-24 -24 所以32減24 32減24答案是8 所以第13項答案是8 那這題是比較特例喔 會用到那個 連立方程式求解 好那目前這個是第8題喔 這樣有沒有問題 沒有的話第9題你看 是不是可以自己寫 它題目就差不多 來我們看第9題喔 如果等差數列呢 它的第6項是20 第2項是90 那求它的首項公差 也是求第13項對不對 那你說老師有沒有別的做法 其實有別的做法耶 我們要不要試一下 試試看別的做法 可以喔來 我們試一下好了 因為我們剛剛如果講 一樣方法講兩次 好像只會這一招 沒有別招了 我們換個別招試一下 好不好 我們換個別招來試看看 所以我們剛剛那個 其實8跟9的題目 是同類型的題目 但講第9題呢 老師換一招啦 我們就不用連立解了 換個方式來試看看 但是連立解也可以解啦 你用剛剛講那個方法 第8題方法 直接連立解 也是OK的喔 那我換個方式來講 好看那個第9題喔 第9題呢 它說A6 第6項 是20 A20 就第20項嘛 是90 它要求首項公差 還有第13項對不對 那你看喔 從A6到A20 到底有幾個公差 什麼意思你看喔 這邊是A6 這是A7 這是A8 這是A9 我們假設喔 A6到A9 到底有幾個公差 我們說往後推加公差 加一個公差 又加一個 加幾個 加三個公差 所以A6這個答案 加三個公差會變成A9 沒錯吧 所以你這樣想喔 A6跟A20呢 有幾個公差 20-6 有14個公差 所以 A6 加14個公差 就會變成A20 對不對 對嘛對不對 我們剛剛這樣推的沒錯吧 那可是A6跟A20 我都知道答案了啦 所以我把那A6 A20呢 換成數字 換了之後變這樣寫喔 所以A6就是20啊 20再加14個公差 14D 等於90 請求D 21-20啊 所以14D 等於70 所以D多少 D答案是5 所以公差5算出來了 那公差5算出來的時候 沒有首項啊 首項還是要求啊 怎麼辦呢 你就挑一個來處理好了 A6好了 A6這一個對不對 你看A6 A1跟A6的比較 A1跟A6 怎麼做比較 你會發現 A1到A6 是差5的公差 所以把A6扣5個公差 就變A1了嘛 想法這樣想沒錯吧 好隨便這樣子喔 所以你要求A1喔 我就用A6 去扣5個公差 減5D啊 不就可以了 對不對 那 好繼續喔來 好再來A6有沒有答案 A6是20啊 20減5個公差 公差大概答案是5耶 所以減5個公差 5乘5 因為公差是5喔 所以20扣25 答案就-5嘛 所以首項是-5 所以公差是5 首項是-5 再來求第13項 第13項的話 我們就直接套公式啦 這樣比較順手啦 因為再怎麼推都奇怪啊 你說你從那個 A6推到A13 那加7個公差 也是可以啦 你說如果A20推到A13 減掉7公差 也是可以啦 因為剛好在中間喔 中間 欸這點 這個題目也可以用 等差中項來說 好所以呢 我們就那個 直接套公式好了 A13 A13等於什麼 A1加N-1乘D A1加首項-5 所以-5再加上 N-1 13-1 變成12 12D D是公差 公差是5啊 對不對 那變成-5怎麼樣 再加上 12乘5是60喔 所以加60 -5加60 答案是 55 差點寫錯 好這樣有沒有問題 這是那個 從 等差數列 知道這兩項 然後去反推 其他項的過程 這兩題的解法 老師給不同的方法 讓你們去試一下喔 第8題用年曆解 第9題我們是用推的 用推論的方式喔 好那剛好帶到範例五 同學們可以看這邊來喔 我們剛剛說的等差中項 會冒出等差中項 那是什麼東西 你注意看這兩個喔 A6跟A20 它的中間項是誰 A6 6加20 除2 6加20 26 26除2呢 變13 所以 如果你要求它的 第13項A13的話 有個方法很快 兩個項加除2 因為這兩個項數 相加除2是13 所以這兩個項加除2 也是A13答案 你試看看喔 20 加90 除2 會是55嗎 會耶一模一樣 有沒有一模一樣 老師我們引導到下一個單元 講的就是等差中項 這個東西呢 就稱之為 這兩個的等差中項 好來 那我把這個擦掉喔 等差中項就是說 它是等差數列的 中間那一項 然後被簡化 簡稱為等差中項 等差中項是說 等差數列的中間項 就稱之為 等差中項 那等差中項呢 有個小特性 小公式 大家可以記一下 你把它寫在那個 在第七頁的上面有個框框 那是放公式的地方 那個不是插圖 同學可以把公式 放在那個框框裡面去 我這邊寫好了 你自己抄一下 如果ABC乘等差 乘等差數列 ABC乘等差數列 那中間這個B呢 B就是 則B為等差中項 B為等差中項 所以有公式耶 什麼公式呢 就是中間這一項的B 會等於旁邊兩個相加除了 二分子A加C 這是等差中項的小公式 如果ABC乘等差的話 B就是中間項 所以B的算法怎麼求 A加C除了 所以你看我們的講義 有寫個平均數對不對 那什麼概念 其實等差中項有一個概念 所謂的概念 你不要直接對等 它的概念就很像是平均數一樣 概念就是平均數 等差中項那個答案那個位置 就很像求平均的概念 求平均 等差中項 這概念式啦 那我舉個簡單例子 後面這邊都先不要講 先講例子 一樣放在那個方框裡面 公式大概抄一下 假設 比如說 A1 A1與A11的 等差中項 A1與A11的等差中項 是哪一項 為多少 A1與A11的等差中項是誰 誰 誰誰誰 12除2 1加11多少 12除2 6 所以答案叫A6 所以 A1與A11的等差中項是A6 那A6跟他們兩個有關係嗎 有關係啊 所以A6這個答案呢 它可以透過A1與A11 相加除2而來的 這樣有概念了嗎 這樣就稱之為等差中項 這個很重要 自己抄下來 好了之後來我們看一下那個 底下題目 範例五的第一題 這題目多簡單 但是你要懂它的概念 才覺得說 這樣就是為什麼 來 我們看一下那個 在講一個 第七頁 第七頁底下的第一題 我們應用一下那個 等差中項的部分 其實我們那個第一之一 公式很少 就剛剛說的第二項公式要背 還有項數n公式要背 再來就是這個公式啊 你說這有公式嗎 有啊 就相加除而已啊 這也是要背啦 那就沒了好不好 所以一之一的公式就結束了 那要怎麼去用它 來我們看那個第一題 它說呢 在12跟48 差了五個數 成為等差數列 求最中間的項 它的項 它的值為多少 你看喔 12是這一個 48是這一個 中間差了五個數耶 五個數 五個數什麼意思 你就這樣寫啊 五個啊 一個兩個三個四個五個 差了五個 差五個之後呢 它要求最中間的 中間中間中間 這個啊中間 有沒有這是它 什麼意思 整個等差數列的中間項 就是等差中項啊 那怎麼做 相加除二就好了 所以答案就是12 加48 相加除二 多少 60除2 答案是30 有沒有 就變那麼簡單 可是你要先懂 為什麼這樣做 因為它等於是要求 等差中項 求那個等差數列中間項 可以用最旁邊兩個 也就是說來什麼意思呢 你看喔 除了說12加48除2 變30以外 這邊30 我還會知道喔 知道什麼呢 知道說 這兩個相加除2 也30啊 這兩個相加除2也30 所以你有沒有注意到 這個30這個答案 等於整個數列的平均數耶 有沒有 概念就變這樣子了 所以那個等差中項的概念 就很像平均數 你這樣想 很多題目都很好解 好不好 好我再看那個下一題喔 第二題 第二題就很白了啊 那要直接問了 它會說呢 72跟-36的等差中項 那就相加除2就好了啊 它就問你說 72跟-36的等差中項 題目如果這麼白的問你 你就這麼白的回答 相加除2就好了啊 對不對 等差中項沒什麼嘛 相加除2 72 正負得負 72-36 36 36除2 答案就18 所以等差中項為18 好再看那個下一題 第三題 第三的這一題要說明 剛好這裡講完差不多 我們就今天上到這裡 你們等下課等很久對不對 忍耐一下 我們把這裡講完 好第三題呢 有一個等差數列 它的首項是5 A1是5 第十三項是35 它說要說明喔 說明什麼呢 說明說 A1跟A13的等差中項是A7 然後呢 該項要等於多少 好來 它叫我們去說明 說明什麼呢 說明我們已經知道的東西了 但是還是要說明它 它的等差數量呢 等差數列 它的首項是5 然後它的第十三項 是35 然後去說明說 A1跟A13的等差中項是A7 你說那不是已知嗎 那就1加13除2就是7 你不能這樣講 你這樣講老師會生氣喔 你要說明給他看 你要說明說 為什麼A1跟A13 它的等差中項會是A7呢 難道是巧合嗎 當然不是啊 好來 怎麼做我們就這樣寫 把這兩項相加除2 看它變成什麼結果 對不對 那其中呢我們看喔 A13可以再改一下 怎麼改 改成A1加幾滴 n減1乘d 12滴 所以我們變這樣寫喔 二分之 那個沒有改的 一樣的顏色 A1 A1再加上 我把A13換掉 換成A1加 n減1乘d A13換掉 換成一般項 第二項 A1再加上12滴 因為n減1嘛 13減1變12 變12滴 然後把它整理一下喔 整理之後呢 分母一樣是2 分子合併 分子喔 A1加A1 兩個A1 對 再加12滴 好 可以除2嗎 可以除啊 兩個都除2喔 這個除2變什麼 變A1 後面這個除2之後呢 變6滴 這什麼東西 再看一次什麼東西 A1加6滴等於誰 那就是A7啊 有沒有 因為A7 就等於A1加 n減1乘d 7減1不得6 6滴 所以得證 得證什麼 得證說 這兩項的等差中項 就是A7 好 所以你說那麼無聊幹嘛 它就叫你說明嘛 就要這樣說明喔 這不是無聊啦 就是說你很清楚的知道說 它的邏輯 是這樣子過來的 那再來會問你說 那A7是誰 你就相加除2嘛 所以A7答案多少 A7答案就這個啊 相加除2啊 所以是 A1加A13相加除2啊 等差中項不是嗎 所以就是2分之什麼 2相加 5加35 5加35變40嘛 40除以2 20 所以A7是20 等差中項是20 有沒有覺得很簡單 很簡單可是很重要 等差中項 考出來都很簡單 可是超級重要的 一定要把它學好來好不好 那我們今天上到這裡 剩下課程我們禮拜五再接續囉 要記得公式要去背 DNN項公式還沒背 要背下來 還有那個項書N的求法 要背下來 包含今天講的這個 等差中項 都要把它背下來 下禮拜 禮拜五上課 我會再抽問一次喔 好 掰掰