Lösungsansätze zu Smarten Quadraten

so ich schreib noch mal den Ausgangspunkt der Aufgabe an die Tafel nämlich wir hatten uns mit Quadraten beschäftigt mit smarten Quadraten und festgestellt also was sind smarte Quadrate wenn ich zwei Quadrate aneinander lege und ein drittes Quadrat entsteht ohne dass kleine Quadrate übrig bleiben oder dazu kommen ne also wir haben hier und dann haben wir eine Lösung gefunden gehabt in dem einen Video schon nämlich 3 qu + 4 qu ist=le 5 qurat ne 3 qur ist 16 4 qur ist chuldigung 3 qu ist 9 4 qu ist 16 und 9 + 16 ist 25 ist 5 qu so okay das war der Ausgangspunkt und eure Aufgabe war weitere smarte Quadrate zu finden wie seid ihr davorgegangen mir geht's jetzt hauptsächlich um die Strategien wie ihr rangegangen seid um die Muster und Strukturen zu finden Lorelei Gilmore bitte kleine Quadrate ausiden und hinzuen okay sehr schön du hast ja viele Quadrate aufgemalt ausgeschneidet und hin ausgeschnitten ausgeschneiden ja wir sind ja Mathematik und nicht in der ganistik ausgeschnitten und hingelegt ja das heißt du hast wirklich die Quadrate hingelegt so wie wir das in Video gemacht haben okay wer ist anders vorgegangen und hat andere Strategien gehabt Walter ja einfach ganz groe Rei okay also hast überlegt es geht ja eigentlich bei den Quadraten was ist ein Quadrat ist ein Rechteck bei dem die Seitenlängen gleich lang sind und der Flächeninhalt darum ging es ja letztenendes ne ist a mal a oder a²adrat und m du hast sozusagen gesagt ja gut ich muss ja gar nicht die Quadrate betrachten ich kann ja eigentlich nur die Quadratzahlen betrachten und zwei Quadratzahlen suchen die addiert eine dritte Quadratzahl geben jetzt kann man sich hinsetzen und irgendwie im Kopf überlegen was waren noch mal die Quadratzahlen und so und dann bist sogar noch einen Schritt weiter gegangen hast gesagt ich schrei mir die Quadratzahlen mal hin um also nicht alle natürlich weil es unendlich viele sind aber so die ersten die ersten zehn okay dann machen wir das doch mal oder schreiben wir mal die ersten Zeh Quadratzahlen hin wo mache ich das mach das hier mal nach rechts muss mal schauen wegen den Platz ja machen wir mal hierhin also 1 x 1 damit fangen wir mal an ist 1 2 x 2 4 3* 3 9 ich ma das jetzt kurz mal ne 4* 4 16 5* 5 25 6* 6 36 7* 7 49 8* 8 ist 64 9 x 9 72 und 10* 10 ist 100 bitte ja aber habe ich Zein Quatsch danke ja ja das war Absicht ich wollte schauen ob ihr den Fehler bemerkt ja auch matheprs verrechnen sich mal ist okay gut okay ähm jetzt haben wir da eine Reihe von Quadratzahlen wie könnt was könnte man jetzt machen als nächstes na wir sind auf der Suche nach smarten Quadraten also was können wir jetzt machen ja genau du hast es einfach geschaut welche zwei von denen ergeben dritte so z.Bp ja 36 + 64 ergibt 100 also 6 qu + 8 qu ist G 10 quadr ne gibt's noch weitere smte Quadrate hier in dem Bereich gibt's noch weitere ihr habt doch welche gesucht zu Hause oder müss noch weitere gefunden haben Coko okay weiter als sag mal wie hast du noch gefunden 5 x 5 5 qu 9 quadr und 12 quadr was ist 9 quadr und 12 quadr ja 144 genau und 81 + 144 ist 225 und das ist 15 qu okay weitere ja 12 qu + 12² + 16² 12² ist 144 haben wir gerade gesagt 16 Quadrat ist 256 kleine seitenbemerkung wir haben schon mal drüber gesprochen ihr müsst gute Kopfrechner innen sein ab nächster Woche könnt ihr alle Quadratzahlen bis 20 Quadrat auswendig okay wer sie nicht kann aufschreiben gut 12 qu + 16 qu also 144 + 256 ist 400 und das ist 20 quadr okay weitere ja 5 quadr und 12 quadr okay 5 qur ist 25 12 qu 144 25 + 144 169 und das ist was 13 Quad genau so okay also ihr seht das ist eine gute Strategie sich die aufzuschreiben aber vielleicht wä es eine gute Strategie sie sich bis 20 Quadrat aufzuschreiben damit man noch mehr findet ne und wenn man dann fertig ist und keine weitere mehr findet könnte man sich die Zahlen bis 30 Quadrat noch mal aufschreiben und dann schauen ob man noch weitere findet um eine schöne Liste von smarten Quadraten zu haben ja Einstein [Musik] Einstein ja ja wie hast du es denn [Musik] gemacht ja genau ja also man könnte ja jetzt noch keine Ahnung 3 qur + 5 Quadrat probieren 3 qur + 5 qu 9 + 25 ist 34 aber 34 ist keine Quadratzahl also sind keine smarten Quadrate wir haben jetzt nur die aufgeschrieben bei den es geklappt hat und steht ja noch die Frage im Raum gibt's unendlich viele ne wir haben jetzt ja nur ein paar gefunden okay wie könnte man weitermachen um zu begründen dass es unendlich viele gibt Herr Nielson wir T wie man den diese dann zwei okay sehr schön also erstmal wir haben einfach ein bisschen rumprobiert ist eine gute Strategie ja also nicht scheuen einfach mal ein bisschen rumzuprobieren aufzuschreiben oftmals sitzt man vom Blatt Papier und macht nichts weil man denkt man will nichts falsches aufschreiben aber das ist ja keine gute Strategie ihr schreibt einfach alles auf was euch einfällt und versucht es zu zeichnen und so weiter und dann sieht man vielleicht etwas also lieber etwas hinschreiben statt es nicht hinzuschreiben so ihr habt jetzt Bilder gemalt und daran versucht Formeln aufzustellen machen wir mal wie sieht denn so ein Bild aus kannst du es mal versuchen zu beschreiben erstm also ihr Zeichn das 4 auf 4 Quadrat das zeichne ich jetzt hier mal hin okay m so ihr habt das vikreuz 4 Quadrat hier und hier rum kann ich das 3 Kreuz 3 Quadrat legen die neun ne ich schib das mir hier rein also hier ist vier da ist vier am Rand so warum passt jetzt hier neun rein warum kann ich die neun da passend rum rumlegen ja so genau hier liegen vier da liegen vier am Rand also jeweils ich leg jeweils vier an die Seiten des Quadrats und dann ist noch eine Ecke unten übrig das eine letzte Quadrat ist da reinlege das habe ich meine drereuz 3 ne Quadrate drum rum gelegt okay klappt das noch mal mit etwas anderem hier ja wir haben das auch so gemacht haben dann direkt gesagt dass man eine Formel machen kann mit der man dann eben nach and okay man könnte sich daraus eine Formel basteln nach der man mit der man nach anderen Quadraten suchen kann wie habt ihr das gemacht Einstein zwei Form einmal für gerade und ungerade zah okay wen hier haben dann die Formel also x ne 2a + 1 okay also wenn wir hier an den Seiten die Seitenlängen a haben beim Quadrat ne dann kann man sich ja direkt ableiten wie groß das andere Quadrat sein muss nämlich A + A das an den Seiten gelegt ist + 1 das heißt hier diese Fläche hier ist a²r und die Fläche am Rand wie wie lautet die Formel ja your amazingness was ist 2a + 1 ja und wie könnte man das formelmäßig beschreiben ja b²r b² 2a + 1 das heißt wenn ich ein a habe kann ich schauen ob 2a + 1 ein Quadrat ist manchmal ist das der Fall manchmal nicht ja also z.B hier wenn ich 6 nehme also 6 als a dann hätte ich hier 36 und dann setze ich hier 6 ein in die Formel 2 x 6 + 1 ist 13 kein Quadrat okay kein smartes Quadrat gefunden ja wenn ich hier die 9 einnehme 9 Quadrat h 81 jetzt setze ich hier mal 9 ein 2 x 9 + 1 ist 19 auch kein Quadrat okay so kann man sich natürlich jetzt beliebig oft versuchen smarte Quadrate zu finden und findet sie nicht sieht jemand einen anderen Weg mit der Formel sofort endlich viele smarte Quadrate finden kann CR7 also was wir gemacht haben diese Form wir auch diese Formel bekommen wir haben diese Formel als Funktion in GeoGebra eingegeben okay ah ihr habt die als in GeoGebra eingegeben also habt ein computerwerkzeug benutzt sagen wir mal um euch dann die ganzen Lösungen anzeigen zu lassen okay a eine gute Idee ja das könnte man machen ja okay du hast die Formel UMG genau du gehst andersrum vor ne also gehst vom B aus und bestimmst das a also a = b² -1 durch 2 also wenn ich von der von dieser Formel ausge B Quadrat g=ich 2 + 1 da kann ich hier beliebige as einsetzen finde manchmal raus dass es ein Quadrat ist manchmal nicht und dann ja ist es halt sehr mühsam du gehst andersrum vor und suchst dir B Quadrate und bestimmst das a da draus für welche B Quadrate funktioniert diese Formel ja ungerade warum weil qu wenn man hat und dann ein ab dannt man wenn man ein A genauenn B qur ungerade ist ich zieh ein ab dann ist im Zähler eine gerade Zahl nur die kann ich durch zwe teilen und dann kommt eine natürliche Zahl a herus ja also nimmt mal ein ungerades B qurat Z 9 9 - 1 8 durch 2 4 also a = 4 a² = 16 das haben wir noch nicht stehen ne 9 qur nee 9 ach ne doch das haben wir das war das hier 3 qu + 4 qu genau oder wirh anderes b²r z.B 49 nehmen wir das mal hier haben wir noch nichts mit 7 stehen ne nehmen wir mal b² = 7² das ist ein ungerades Quadrat 49 wir ziehen 1 ab 48 durch 2 24 das heißt a ist 24 also müsste 7 qu + 24² auch ein smartes Quadrat sein was ist 24 zum Quadrat ja 576 schreib mal drunter 576 7 qu 49 das heißt in der Summe kommt raus na wir müssen 50 addieren ne 576 + 50 626 und noch eins abziehen weil wir eigentlich nur 49 aderen mussten also 625 und 625 ist 25 zum Quadrat cool nur weil wir hier ein ungerade Quadratzahl genommen haben ein abgezogen durch 2 geteilt schon haben wir das a rausgekriegt für das andere Quadrat kann jetzt jemand begründen warum es unendlich viele smarte Quadrate geben muss ja weil es unendlich viele Zahlen gibt unendlich viele welche Zahlen unendlich viele ungerade Quadratzahlen ja 1 9 25 49 81 und so weiter jede zweite Quadratzahl ist eine ungerade Quadratzahl jede zweite Quadratzahl kann ich hier einsetzen und ein smartes Quadrat rauskriegen schön sind das All smarten Quadrate Reisende wir schell man ja zwei Seiten nehmen kann od vier Seiten deswegen von Anfang an die 2a + 1 Formel und eine 4a + 4 Formel [Musik] genau genau sehr schön also ihr habt noch folgende folgende Überlegung ich fasse es noch mal laut zusammen also das ist nur ein mögliches Bild dieses Bild hilft dabei unendlich viele smarte Quadrate zu finden indem wir von den ungeraden Quadratzahlen ausgehen es ist aber nicht die einzige Möglichkeit man wird hier noch smarte Quadrate finden die nicht dem da entsprechen z.B hier 12 qu + 16 qu eins von beiden müsste ja ungerade sein um dazu zu passen ist es aber nicht 12² und 6 das muss irgendeine andere Struktur haben oder hier 6² + 8² = 10 qu das passt auf eure zweite Struktur ne und die zweite ist ich nehme das a Quadrat und leg drumrum das andere Quadrat komplett in einer Reihe dann habe ich hier a a a a und wie lautet die Formel 4 b² = 4 x a plus die vier einzelnen hier in der Ecke neue Struktur gefunden ein neues Muster gefunden in den smarten Quadraten ja diese beiden hängen viel enger zusammen als man denkt warum man kann das Bild umstrukturieren dass es so ähnlich aussieht wie das hier äh also ich glaub was du mein dass obere a L A äh Rechte a und a genau ich mal mal das Bild wie es hier ist okay A1A und jetzt kann ich doch hier noch das andere a Anlegen von oben und das hier das linke nach rechts holen und dann hier unten die anderen drei einzelnen noch dranlegen jetzt habe ich a² und das sind 4a + 4 und jetzt kommt man auf den Gedanken wie die weiteren Strukturen noch alle aussehen könnten warum nicht hier unten eine weitere Reihe dranlegen und noch eine weitere ranlegen und so weiter und so weiter wir beenden das hier okay ihr könnt euch beliebig tief in diese Aufgabe hier eindenken die kommt so ein bisschen unscheinbar daher so ja wir legen da so Quadrate zusammen dann gucken wir mal ob ein drittes Quadrat rauskommt aber an dieser einen Aufgabe und deswegen setze ich die schon am Anfang ein kann man unglaublich viel Mathematik machen und lernen wie man Mathematik macht was habt ihr gemacht ihr habt versucht Muster und Strukturen zu finden ihr habt Bilder gemalt um die Strukturen zu sehen hier sieht man wunderbar eine Struktur ihr habt auch Formel aufgestellt ne die Formel hier und das Bild hier sind praktisch identisch könnte man sagen ne die Stellen denelben Sachverhalt da hier kann man sich schön vorstellen mit Quadraten hier ist mir eher in der Welt der Algebra mit Quadratzahlen ist aber praktisch das gleiche man kann sich an dem Bild und an der Formel dann tatsächlich auch herleiten begründen dass es unendlich viele smarte Quadrate gibt dummerweise findet man mit dieser einen Formel nicht all smarten Quadrate weil es noch andere Strukturen gibt okay und jetzt könnte man versuchen die ganz allgemeine Formel zu finden die Formel mit der man sofort alle smarten Quadrate ausrechnen kann wer Lust hat kann es machen wir beenden das hier weil es mir nur darum ging mit euch die Strategien mal einzuüben und kennenzulernen ähm Bild Zeichen Skizze machen was jetzt nicht gemacht haben ist eine Tabelle das geht schon sehr stark in die Richtung Tabelle wir h noch eine Tabelle machen können mit a BC und die Werte eintragen also Tabellen machen Skizzen machen versuchen Formeln aufzustellen und anhand der Strukturen die man gefunden hat zu versuchen bestimmte Dinge zu begründen das sind die Grundtechniken die ihr jetzt auch braucht bei den weiteren Aufgaben z.B beim neuen Kapitel wenn es darum geht Muster in Zahlen folgen und in Rechnungen zu entdecken also denkt dran wenn ihr neuen Aufgaben bearbeitet Tabelle machen Skizze machen Versuche mit Tabellen und Skizzen die Struktur zu erkennen und dann zu versuchen das vielleicht sogar noch in eine Formel zu schreiben s dass man die Struktur sozusagen mal allgemein abstrakt ausgedrückt hat so das ist das Werkzeug dass ihr bei den weiteren Aufgaben braucht wer an der allgemeinen Formel interessiert ist und es nicht selbst ausprobieren möchte da kann man sich schon bisschen länger mit beschäftigen der kann das auch googelen die smarten Quadrate haben nämlich eigentlich einen richtigen Fachbegriff klar die heißt nicht smarte Quadrate in der Mathematik sondern das sind sogenannte pythagoräische zahlenrippel ihr habt euch wahrscheinlich schon gedacht Pythagoras muss da irgendwas mit zu tun haben wegen a² + b² = c² ne pythagoreische Zahlen Trippel und da könnt ihr mal nach Google und gucken wie findet man die alle da gibt's Formeln mit denen man beliebig viele finden kann ja okay