Mengen von Dreiecken

Dann gehen wir zur nächsten Aufgabe mit den Dreiecken. Wie können wir da vorgehen? Ja, ihr habt, genau, was ist der größte Kreis? Die größte Menge? Ja, genau, die Menge aller Dreiecke. Da sind alle Dreiecke drin. Okay, ich schreibe es mal direkt dran, damit wir das nicht überlegen müssen, was ist was. Also ihr habt euch überlegt, was ist unsere Basis? Das ist die größte Menge, die wir hier vor uns liegen haben, und das ist die Menge aller Dreiecke. Okay, wie geht es weiter? Was habt ihr euch noch überlegt? Können auch Detailüberlegungen sein, wir tragen das jetzt ja alles zusammen, okay? Also die gleichschenkligen Dreiecke sind eine Teilmenge aller Dreiecke, genau. Eine echte Teilmenge? Ja, es gibt noch Dreiecke, die sind nicht gleichschenklig. Also Menge aller gleichschenkligen Dreiecke. Was sind gleichschenklige Dreiecke? Genau, bei einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang. So, wie geht es weiter? Und es gibt offensichtlich Dreiecke, bei denen sind nicht zwei Seiten gleich lang. Dreiecke, bei denen halt die drei Seiten unterschiedliche Längen haben, die sind hier drin. Und hier sind alle drin, die bei den zwei Seiten gleich lang sind, ja? Sehr gut, genau. Du sagst, das ist die Menge aller gleichseitigen Dreiecke. Gleichseitige Dreiecke haben drei gleich lange Seiten und damit auch zwei, ne? Also die Menge aller gleichseitigen Dreiecke, ich zeige dir mal so ein Dreieck hier rein, alle drei Seiten gleich lang. Hier sind lauter Dreiecke drin, wo alle drei Seiten gleich lang sind, so. Und hier sind die gleichschenkligen, bei denen zwei Seiten gleich lang sind. Das könnte fast schon gleichseitig sein, ne? Und dieses Dreieck hier ist aber auch ein gleichschenkliches, weil zwei Seiten gleich lang sind. Es sind sogar drei Seiten gleich lang, okay, ja? Aber jedes Dreieck, das drei gleich lange Seiten hat, hat auch zwei Seiten, die gleich lang sind. Aber nicht umgedreht. Also, heb mal die Hand bei folgenden Aussagen, wenn ihr zustimmt. Zwei Aussagen, alle gleichseitigen Dreiecke sind gleichschenklich oder alle gleichschenkligen Dreiecke sind gleichseitig. Welcher stimmt? Alle gleichseitigen Dreiecke sind auch gleichschenklig. Andere Aussage, alle gleichschenkligen Dreiecke sind auch gleichseitig. Okay, ihr habt es verstanden, sehr gut. Gut, also gleichschenklich würde man sagen, ist eine Teilmenge der gleichseitigen. Ja, wenn eine Menge eine Teilmenge ist, aber keine echte Teilmenge, was ist sie dann? Gleich, genau. Also, die Menge aller gleichseitigen Dreiecke, behauptest du, ist gleich die Menge aller gleichwinkligen Dreiecke, ne? Wie groß, also was ist denn ein gleichwinkliges Dreieck? Ein Dreieck mit drei gleich großen Winkeln, wie groß sind sie denn? Alle drei Winkel sind 60, betragen 60 Grad, warum? Genau, die Innenwinkelsumme im Dreieck ist 180 Grad durch 63 Grad, ja? Das heißt, alle drei Winkel hier im gleichseitigen Dreieck sind 60 Grad und das sind ja dann gerade die gleichseitigen Dreiecke, ne? Also, wenn wir ein Dreieck haben, bei dem alle drei Seiten gleich lang sind, sind auch alle drei Winkel gleich groß, weil, wenn alle drei Seiten gleich lang sind, kann man es ja um 120 Grad drehen und es sieht immer gleich aus. Das sind Symmetrie-Abbildungen, sagt man dazu. Symmetrie, ne? Ich kann jetzt das Dreieck um 120 Grad immer auf sich selbst drehen, das heißt, die drei Winkel müssen auch gleich groß sein. Und andersrum, wenn die drei Winkel gleich groß sind, müssen auch die drei Seiten gleich groß sein. Okay, jetzt fehlen noch die rechtwinkligen Dreiecke, wo liegen die? Ja, also die rechtwinkligen Dreiecke sind eine Teilmenge aller Dreiecke, muss also hier komplett drin liegen, ja. Und jetzt muss man sich überlegen, wie verhält sich diese Menge zu allen anderen Mengen, die man bereits gezeichnet hat. Okay, ich wiederhole mal laut, die Menge der gleichrechtwinkligen Dreiecke schneidet die Menge der gleichschenkligen, weil es kann sein, dass wir ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck haben. Ja, aber es schneidet nicht die Menge von den gleichschenkligen, sondern von den gleichschenkligen. Warum? Weil da ja alle Winkel 60 Grad haben und rechtwinkliges Dreieck hat ja nur schon alle einen Winkel. Die rechtwinkligen Dreiecke liegen so, Menge aller rechtwinkligen Dreiecke. So, also es gibt rechtwinklige Dreiecke, die sind gleichschenklig, nämlich dieses hier zum Beispiel. Der rechte Winkel muss dann hier in der Spitze sein, weil die beiden Basiswinkel gleich groß sind im gleichschenkligen Dreieck. Die beiden Basiswinkel können nicht jeweils 90 Grad sein, weil die dann zusammen schon 80 Grad ergeben würden. Dann würde nichts mehr übrig bleiben für den oberen Winkel. Das heißt, der obere muss 90 Grad groß sein und die beiden Basiswinkel sind kleiner als 90 Grad. Aber sowas gibt es, rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck. Es gibt auch nicht gleichschenklige, rechtwinklige Dreiecke. Könnt ihr euch überlegen, indem ihr jetzt einfach die eine Seite nehmt und länger macht. Ja, also ihr zieht sozusagen die Spitze nach unten. So, dann haben wir hier immer noch den rechten Winkel, aber die drei Seiten sind nicht gleich lang. Und wie du richtig gesagt hast, es kann kein gleichseitiges, rechtwinkliges Dreieck geben, weil im gleichseitigen Dreieck sind ja alle Winkel 60 Grad groß. Also kann ja keiner 90 Grad groß sein. Genau, kann kein rechter Winkel hier drin sein im gleichseitigen Dreieck. Okay.