CORRIGé du concours GEIPI polytech 2024 maths - QCM Exercice I -

bonjour à tous aujourd'hui le corriger donc du sujet 2024 du concours GPI Polytech concours très intéressant on va s'intéresser aujourd'hui au QCM et l'exercice 1 donc les règles du QCM en 2024 ce sont les suivantes à chaque fois il faut dire si c'est vrai ou faux aucune justification n'est demandée une réponse fausse sera pénalisée par des points négatifs d'accord et aucun point N enlevé en l'absence de réponse donc c'est par exercice que vous aurez les points d'accord donc il faut faire très attention vous pouvez par exemple avoir deux bonnes réponses mais si tous les autres sont fausses vous pouvez comme ça perdre tous les points que vous avez engranger par contre sur un seul exercice vous n'aurez pas un compte négatif donc on est parti ça commence assez doucement mais c'est toujours comme ça dans ces concours il faut se lancer un petit peu première question il s'agit d'un travail sur les exposants les petites règles simples que je vais rappeler si vous avez un produit à la puissance n chacun des facteurs est à la puissance ensuite si avz ici un exposant et bien pour le changer d'étage et bien l'exposant change de signe donc ça veut dire que ce que j'ai en bas je peux le mettre en haut en changeant le signe de l'exposant donc on y va 2√ 3 car on a dit que ça faisait 2 Carr x la AC 3 au carré ça c'est la base une √ 3 au caré ça fait 3 ensuite 12 on va d'abord aller doucement 12 c'est 3 x 4 donc 2 au Carr c'est 4 x 3 le tout au cube x 3 au Carr ensuite de 3^- 4 qui est dessous je le monte il devient 3^ 4 le √2 devient √2 puiss - 4 alors G 2 au car G3 g 2^ 6 d'accord 2 au car au Cu c'est r ça fait 2^ 6 3 au³ 3 car x 3^ 4 tout de suite on peut mettre 3^ 6 on gagne un peu de temps ensuite ici √ 2 je vous rappelle que Racine c'est puissance 1 demi donc ça c'est 2^ 1/2 à puiss- 4 donc les exposants vont se multiplier la règle c'est que si on a à puiss n à la puissance m ça fait à puissance n x m et j'ai aussi utilisé la dernière propriété a puiss n X a puiss m quand on les multiplie et qui a la même base et bien les exposants s'ajoutent il y a l'exposant c'est n la base c'est a donc là j'obtiens 2 puissance 4 x 1/2 ça fait 2 donc 2^iss - 2 il n'y a plus qu'à compter donc déjà on peut remarquer les choses simples 2 au carré c'est nul ici d'accord donc il me reste quoi des de j'en ai 6 ici donc il me reste 2^ 6 x 3^ 10 donc on a un petit problème parce que moi on me propose 3^ 10 x 2^ 8 comme il y a unicité de la décomposition en produit de facteur premier bien ça veut dire qu'ici le 8 est faux donc là a est fausse première affirmation fausse deè affirmation ici un travail sur euh une identité remarquable ensuite les simplifications des racines carrées donc 27 c'est 9 x 3 donc le 9 va pouvoir sortir sous forme d'un 3 là je vais mettre donc au carré donc j'ai 2√3 au carré alors je vais aller doucement moins le double produit 2 x 2√3 + 1 donc ça donne le 9 sort sous forme d'un 3 ce qui fera 6√3 Mo alors 2√ car ça fait 4 x 3 puisque le r√ 3 donc va être au carré ça fait 4 x 3 12 ensuite moin x moin+ 2 x 2 4 3 - 1 ça me fait 6 et 4 10√3 - 13 exactement ce qu'on me donne donc là c'est vrai 3è question question la C c'est un travail sur le logarithme je rappelle que quel que soit a et b strictement positif ln a sur B C LNA ln B et on va aussi utiliser un produit donc lnab CN a + ln B donc ici on utilisera que des nombres positifs donc le premier je transforme ln 2 ln 4 le 2e al c'est ln d'un inverse une propriété encore plus rapide qu'un quotient c'est ln 1/ B c'est ln B parce qu'on utilise en fait le fait que ln 1 vaut 0 donc il reste ln 9 e plus ici je sépare ln 36+ ln e c'est une des façons de faire je vous montre après une méthode beaucoup plus rapide donc ça ça fait 1 ln 4 pour l'instant je vais le laisser comme ça ln 9 e ça fait donc ln9 + ln E ln 36 c'est 4 x 9 donc ln 4 + ln 9 + 1 donc qu'est-ce qui me reste 1 ln 4 ln 9 LN2 qui vaut 1 + ln 4 + ln 9 + 1 vous voyez que et bien ici les ln s'annule le N9 s'annule ça ça s'annule il me reste égal à 1 donc c'est effectivement une affirmation qui est vrai mais il y a beaucoup plus rapide comment peut-on faire et bien au lieu de séparer plein de petits log on regroupe en un seul gros logarithme c'est une somme de log c'est donc le logarithme du produit donc ici en haut je vais trouver le E le 1 et le 36 e et en bas je trouverai le 4 le 9e donc qu'est-ce qu'il me reste ici on simplifie les E se simplifie 36 en haut 4 x 36 en bas il me reste LN2 il me reste voyez c'est beaucoup plus rapide donc pensez-y on passe à la question d alors là il y a encore une fois plein de façons de faire on peut utiliser un jeu sur les exposants il y a une somme ici d'accord hein je rappelle qu'exonentiel de A + B c'est exponentiel de a fois exponentiel de B donc ici je peux séparer voilà ensuite il y a une règle exponentielle de a c'est 1 sur exponentiel de a donc ici je peux dire que c'est 1 sur exponentiel de 2 ln 5 d'accord alors là on a aussi une propriété exponentielle de 2A c'est exponentiel de a au carré très important toujours pour A et B ici réel là ça marche partout tout ça donc regardez exponentiel 2 N 3 c'est donc e de ln de 3 au carré e de n 5 on l'a vu précédemment hein pour tout x donc et bien strictement positif on sait que E de ln x c'est x donc ici ça veut dire que on va pas remplacer par 3 ça fera 3 au carré ça fera 9 e de n 5 ça fait 5 donc ça fera 9 x 5 45 ici on aura 1 sur ln 5 au carré qui fera 1/ 5 au Carr donc 1 sur 5 au car donc j'obtiens 5 x 9 45 + 1/ 25 c'est évidemment différent de 20 donc l'affirmation d elle est fausse donc ici il fallait mettre faux pour ceux qui préfèrent des propriétés sur le logarithme on peut aussi procéder en travaillant les exposants le 2N 3 vous pouvez le transformer en ln de 3 car c'estàd ln 9 d'accord ici il y a un moins devant il y a un 2 on peut rentrer ça fait moin l 5 au carré je vais traiter le moins juste après ça fait moin Len de 25 et moin l de 25 vous allez voir ici je vais dire que c'est ln 1/ 25 ici ça fait ln 9 x 5 45 c'est une somme de logarithme c'est logarithme du produit et donc comme tout à l'heure e de 45 ça fait 45 + 1/ 25 on arrive sur la même chose c'est différent c'est toujours fa travail ici sur des fonctions ration expressions ici avec desominateurs en X donc on va tout mettre mêmeinur ça veut dire ici que bien on va m des parenthèes qui n ét pas on multiper le premier quotient il faut quand même remarquer pas dit mais que X- 4 c'est x + 2 X- 2ord donc si je celui-ci est déjà le prier je vais multiper en en bas par X- 2 et le deuxème en haut et en bas par X + 2 donc quand je mets au même dénominateur et donc en bas x + 2 x x - 2 en haut qu'est-ce que j'aurais 2 x x - 2 1 x x + 2 + 8 d'accord on n'oublie pas les moins et les plus qui sont entre chaque terme et maintenant on regarde alors en haut on va aller doucement x + 2 x - 2 je développe donc 2x - 4 - x - 2 + 8 donc il me reste 2x - X X 8 - 6 ça fait de X + 2 sur X + 2 sur X- 2 on peut simplifier puisque x + non nul il va me rester 1 il me reste 1/ X- 2 donc c'est effectivement ce qu'on propose donc la E est tout à fait vraie le F donc une égalitaire il y a deux façons de faire vous pouvez aller de gauche à droite ou de droite à gauche si vous allez de gauche à droite c'est la façon la plus difficile il faut remarquer absolument que le haut est une identité remarquable que c'est le développement de e de X + 1 au Carr effectivement il faut savoir que de X au carré on l'a déjà dit mais c'est e de 2x donc ici vous avez dit qui redonne ça donc vous voyez qu'après e2x + 1 au Carr x + 1 x x + 1 on simplifie une fois c'est non nul he de X + 1 puisque de X est strictement positif e de X + 1 est donc strictement plus grand que 1 donc il me reste ici exponentiel de X + 1 donc l'affirmation voyez elle est vrai donc ici on met vrai si vous partez du côté gauche et bien vous devez mettre sous la même forme que le côté Dr si vous partez du côté droit vous devez mettre de la même forme que le côté gauche donc vous allez multiplier de X + 1 le et puis donc en haut et en bas par e de X + 1 comme ça vous aurez le bon dénominateur et vous remarquez en haut et bien vous avez justement un développement à faire c'est un carré mais sinon double distributivité e de X au carré qui donne e 2x + E de X + E x + 1 c'est exactement ce qu'on a ici hein d'accord toujours cette propriété e de X au Carr é= e de 2 voilà donc pour ce premier exercice et les C premières questions donc c'était faux vrai vrai faux vrai et vrai si premières questions