10. Klasse Gymnasium – Schaffst DU es?

hallo ihr Lieben heute habe ich euch diese Geometrieaufgabe aus der zehnten Klasse am Gymnasium mitgebracht schauen wir uns das ganze einfach mal gemeinsam an von einem gleichschenkligen Dreieck ABC sind gegeben Alpha ist genauso groß wie Beta und zwar 65° und wir bekommen den Flächeninhalt des Dreiecks mit 11,5 quzm gegeben die Frage ist wie lang ist die Basis ab okay vielleicht zeichnen wir erst mal unser gleichschenkliges Dreieck das bedeutet dass zwei Seiten gleich lang sein müssen also die hier soll genauso lang sein wie die hier und dann schließen wir das Dreieck hier unten mit der Basis ab die Basis soll ab sein also starten wir hier mit A B und hier oben haben wir unseren Punkt C die Winkel sind gegeben und zwar Alpha und Beta mit 65° das können wir dann hier beim Punkt A einzeichnen und auch beim Punkt B und ansonsten bekommen wir noch den Flächeninhalt dieses Dreiecks gegeben nämlich mit 11,5 quadatzenm das ist alles was wir haben vielleicht bezeichnen wir die Seiten unseres Dreiecks mal noch die Basis ist ja gesucht das nenne ich mal ganz klassisch x und die beiden Schenkel sind ja gleich lang dadurch dass es eben gleichschenkliges Dreieck ist also sage ich mal die Seite heißt y und die ist eben genauso lang wie diese Seite hier okay dann starten wir einfach mal mit dem Flächeninhalt würde ich sagen wie würde man den Flächeninhalt denn berechnen in unserem Dreieck dazu müssten wir die Höhe einzeichnen wir nehmen x mal als unsere Grundseite und die Höhe ist dann eben von der gegenüberliegenden Ecke zur Grundseite einmal hier so schön senkrecht runter und von der Formel hätten wir ein/b mal die Grundseite also in unserem Fall x mal die zugehörige Höhe h die wir hier schön eingezeichnet haben das ist die Formel für den Flächeninhalt und der ist hier jetzt schon mit 11,5 gegeben wir haben hier also jetzt eine Gleichung in der unser x vorkommt was wir herausfinden wollen das Problem ist nur dass da noch das H drin steckt über das wissen wir noch nichts deswegen schauen wir mal was wir über das H herausfinden können dass wir das hier einsetzen können und danach dann diese Gleichung nach x umstellen können damit wir das eben herausfinden was in der Aufgabe gesucht ist also wie sieht's aus mit H wir haben h ja jetzt eingezeichnet und dadurch ist ein rechtwinkliges Dreieck hier entstanden von dem wir einen Winkel haben rechtwinklige Dreiecke Winkel das läuft alles auf sinus cosinus und Tangens hinaus vielleicht zeichnen wir unser linkes Dreieck hier erstmal ab damit wir da die Bezeichnungen reinpacken können da haben wir hier unseren 65° Winkel hier die Seite y hier die Höhe h und die Länge dieser Seite hier unten wie lang ist dieses Stückchen hier die ganze Seite ist ja x lang dadurch dass wir ein gleichschenkliges Dreieck haben ist das ganze hier symmetrisch aufgebaut das heißt dieses Stückchen hier ist einfach die Hälfte der ganzen Seite also das Stück was wir hier unten haben ist eben die Hälfte von X also x halbe und an diesem Dreieck wenden wir jetzt sinus cosinus oder Tangens an je nachdem was uns da behilflich ist vielleicht schauen wir erstmal wo die Hypotenuse liegt die liegt ja immer gegenüber von dem rechten Winkel also in unserem Fall ist y die Hypotenuse was nicht so praktisch ist also y damit würde ich jetzt nicht gerne arbeiten weil wir über y gar nichts wissen wir haben ja h und x in unserer anderen Gleichung gehabt und mit denen würde ich gerne arbeiten also y ist raus das heißt Hypotenuse ist raus der Sinus und der Cosinus benutzen aber die Hypotenuse also sind die beiden raus und wir nutzen einfach den Tangens denn der benutzt keine Hypotenuse also der Tangens von 65° ist dann nichts anderes als die Gegenkathete geteilt durch die Ankathete die Gegenkathete liegt gegenüber von diesem Winkel also das ist in unserem Fall h und das wird einfach geteilt durch die Seite die an unserem Winkel anliegt das ist x halbe und dann haben wir hier eine schöne Gleichung die wir nach H umstellen können denn für H wollten wir einen Ausdruck finden damit h alleine steht müssten wir diesen Bruch hier auflösen also wir könnten diesen Nenner einfach auf die linke Seite bringen indem wir mal x halbe rechnen denn hier steht ja durch xhbe und wenn wir mal xhbe machen dann hüpft das eben auf die linke Seite das heißt da steht dann der tangensil und wird multipliziert mit X halbe und das löst hier diesen Bruch auf und nur das H bleibt dann stehen damit haben wir die Gleichung nach H umgestellt das habe ich jetzt noch mal hier unten hingeschrieben und wir wollten das ja hier in dieser Gleichung von unserem Flächeninhalt wollten wir hier dieses h ersetzen und das machen wir jetzt auch 1/b mal x lassen wir so stehen aber für das H jetzt das ein was wir gefunden haben das war dieser Teil hier und das ist da nichts anderes als 11,5 und damit haben wir eine größere Gleichung gefunden in der aber nur noch x als Unbekannte vorkommt ne also dieser Tangens von 65° das kann man ja einfach in Taschenrechner eintippen das sind nur Zahlen und X und diese Gleichung lösen wir jetzt nach X auf fassen wir mal ein bisschen was zusammen vielleicht erstmal die Zahlen wir haben hier ein ein halb mal und hier hinten steht ja noch mal ein/b x ne also ein/b mal ein/b könnten wir zu ein Viertel zusammenrechnen dann x mal X ist einfach nur x² und dann bleibt noch dieser tangenssteeil übrig den wir einfach in Taschenrechner eintippen können und rechts da stehen nur die 11,5 das ist ganz nett okay dann wollen wir diese Gleichung nach x auflösen das heißt alles andere muss verschwinden ein Viertel verschwindet indem wir mal 4 rechnen dann bleibt nur das X der xteil und der tangensteil erstmal auf der linken Seite stehen und rechts haben wir 11,5 x 4 was 46 ergibt dann wenn wir weiter nach x auflösen wollen muss der Tangens hier noch verschwinden also teilen wir durch diesen Tangens von 65° dadurch steht unser x²adrat dann endlich mal alleine auf der linken Seite und rechts haben wir die 46 geteilt durch diesen Tangens dann sind wir fast fertig und stört nur noch das Quadrat aber bei so einer Gleichung können wir einfach die Wurzel auf beiden Seiten ziehen müssen nur beachten dass dabei dann zwei Lösungen rauskommen bei so einer Gleichung eine positive und eine negative das heißt unsere erste positive Lösung ist die Wurzel von diesem Bruch den wir da haben das können wir alles einfach in Taschenrechner gleich eintippen und dann mathematisch gesehen bekommt man eben noch eine zweite Lösung eine negative Lösung also minus die Wurzel von dem was wir da stehen haben das Ding ist nur eine negative Lösung macht bei uns jetzt hier gerade bei der Aufgabe keinen Sinn denn x war ja eine Seitenlänge und eine negative Seitenlänge brauchen wir hier in dem Fall jetzt nicht aber mathematisch gesehen gehört halt eben zur Lösung dieser Gleichung dazu aber für X1 also für die positive Lösung können wir das einfach in Taschenrechner eintippen und bekommen einen Wert von 4,6 raus als Lösung für die Länge unserer Basis und damit haben wir die Aufgabe geschafft dann bin ich gespannt wie ihr vorgegangen seid schreibt eure Lösungswege gerne in die Kommentare ansonsten habt noch einen wunderschönen Tag und wir sehen uns beim nächsten Video macht's gut