Der Gruppen-Test: Lineare reelle Funktionen mit Verkettung

okay so herzlich willkommen zur Algebra Veranstaltung wir fühen mal gemeinsam einen Beweis und man wird euch nicht im Video verstehen okay sondern man versteht euch nur leise aus dem Off deswegen wiederhole ich alles was ihr sagt gut zu beweisen war die Menge aller linearen reellen Funktionen mit der Verkettung als Verknüpfung ist eine Gruppe also wir haben eine Menge die Menge aller linearen reellen Funktion eine Operation die Verknüpfung die Verkettung von Funktion und diese Menge mit der Operation zusammen ist eine Gruppe das wollen wir beweisen ähm vielleicht kären wir erstmal die Begriffe was ist denn eine lineare reelle Funktion es dürfen auch alle mitmachen die im Stream zugeschaltet sind ne also gerne hier reinschreiben ich habe den Chat mit im Blick okay was ist eine lineare reelle Funktion kommt ihr habt euch schon vorbereit das wisst Ihr Hexe [Musik] die Potenz von dem X ist nicht größer als 1 okay wie sieht denn die allgemeine Form einer solchen Funktion aus F von x = M mal X + B genau m X + B und X kommt aus den reellen Zahlen für X können wir irgendeine reelle Zahl einsetzen deswegen reelle Funktion linear ist kann x²adr kein x hoch 3 oder irgendwas in der Art könnt ihr vielleicht das Fenster zumachen das glaube ich ein bisschen dam ein bisschen leiser ist okay m und B aus welcher Menge ST m und B das müssen uns auch noch klar machen m und B woraus können wir die nehmen Mixi auch reelle Zahlen genau mit m und B aus den reellen Zahlen so und jetzt haben wir eine Menge nämlich die Menge aller Funktion f mit dieser Eigenschaft okay wir packen alle linearen Funktionen in eine Menge und wir betrachten jetzt diese Menge M mit der Verkettung als Verknüpfung oh ich werde gerade gefragt ob ich heute ohne Ton bin ich bin aber zu verstehen oder Test 123 ich msste zu verstehen sein im Stream falls nicht bitte noch mal melden okay was ist denn die Verkettung von n na okay jetzt für me x eine andere Funktion ein also F verkettet mit also ermal die Verkettung eine Operation die binär ist das heißt zwei Funktionen nimmt und wieder eine Funktion rauskommt dabei ne so ich verkette die beiden Funktionen f von G und F verkettet mit G von X ist was willst du sagen müsste man das jetzt schreiben ja eben m X + okay du hast schon die Formel hier verwendet und hast es eingesetzt wenn ich noch gar nicht so weit gehen würde sondern erstmal n sagen würde F von G von X ganz allgemein gesprochen ist was Hexel F von G von X genau F von G von X so okay F von G von x also F verkettet mit G von X bedeutet ich nehme erstmal die Funktion g Wende die an und das Ergebnis stecke ich in F rein und wende das an kleine Anmerkung manchmal also es gibt zwei unterschiedliche Vorgehensweisen bei der Verkettung in dem Fall hier macht man es häufig so dass wenn man sagt F verkettet mit G von X bedeutet g wird als erstes angewendet und dann F damit ich hier die Reihenfolge nicht ändern muss ne also man könnte sich auch denken erst wird F angewendet und dann g dann würde ich aber hier g von F von X hinschreiben müssen dann würde ich die Reihenfolge ändern müssen also F verket mit G von X bedutet erst g obwohl es hier als zweites steht damit ich das hier drin sozusagen in F einsetzen kann ne dass die Reihenfolge sich nicht ändert von F und G es gibt aber auch manche situationer da kommen heute am Ende der Stunde drauf bei denen man bei F verkettet von G sagt erst F und dann g und das ist halt Konvention ne muss man sich drauf einigen was meint man denn und jetzt in dem Fall meinen wir f von G von X bed F verk g von X bedeutet erst g dann F okay so also wir haben die Menge aller linearen Funktionen mit der Verkettung als Verknüpfung und wollen zeigen das ist eine Gruppe was müssen wir machen um zu zeigen dass diese Struktur eine Gruppe ist Elvis erstmal die abgeschlossenheitüen erstmal die Abgeschlossenheit prüfen und all die anderen gruppenaxiome noch ne es gibt ja wie viele gruppenaxiome gibt's Jessie Jenny Entschuldigung Jenny ja ja es gibt vier plus die kommutativität genau ja ja also es gibt eigentlich vier gruppenaxiome ne und das fünfte Axiom das du gerade erwähnt dass die kommutativität bedeutet ja nur dass dann um eine abische Gruppe handelt oder um eine kommutative Gruppe also wir gucken uns erstmal nur die vier hauptaxiome an Abgeschlossenheit was noch Mixi Assoziativität lilife es gibt ein neutrales Element und Luca vorsicht es gibt nicht ein Inverses Element sondern ja es gibt mehrere wie müsste man je es gibt zu jedem Element in der Gruppe einen versus so okay gut dann fangen wir an mit der abgeschlossenhe hat Elis vorgeschlagen ne machen wir das mal abgeschloss so was müssen wir zeigen bei der Abgeschlossenheit Elvis das bei der Verknüpfung immer noch lineare genau wir müssen zeigen dass durch die Verknüpfung wieder eine lineare reelle Funktion rauskommt das also das Ergebnis der Verkettung wieder in der Menge M drin ist und nicht dass da irgendwie eine quadratische Funktion oder sowas rauskommt okay ähm ja also was müssen wir machen um das zu zeigen du hast es vorhin schon angedeutet was du gemacht hast ne sag ja also wir nehmen jetzt wir sagen vielleicht überlegen wir uns F von X ist MX + B okay oder sagen wir vielleicht vielleicht überlegen wir uns jetzt zwei neue neue Variablen dass das irgendwie das ist ja nur sind ja nur allgemeine Platzhalter ne F von X ist AX + b und G von X ist was CX + D okay so AX + B und CX + D los geht's wir schauen uns F verkettet mit G von X an und schauen ob das was da hinten rauskommt eine lineare Funktion ist und das schon gesagt was wir machen also wir machen jetzt F verkettet mit G von X ist ja gleich nach der Definition F von G V x also F von was soll ich jetzt einsetzen Luca DX + D wie geht's weiter [Musik] Hexe a in Klammern genau das hier wird ja jetzt bei F in das X eingesetzt also a CX + D + B so ist das jetzt eine reelle Funktion die reelle lineare Funktion sieht man vielleicht noch nicht so richtig wir sollten es in diese Form hier bringen ja in etwa in diese oder in diese Form hier m mal X + B was können wir da machen als nächstes willst du weiter + + ACX + ad + B ja genau AC mal X + irgendwas da hinten ne jetzt müssen wir aber noch begründen dass dass der Faktor vor dem X und hinten die konstante beide aus den reellen Zahlen sind ist a mal C aus den reellen Zahlen du nist warumben unsere Funktion die wir benutzen ja auch ja das der Anfang war gut a ist aus den reellen Zahlen und C ist aus den reellen Zahlen das wissen wir also genau da die Multiplikation in den reellen Zahlen abgeschlossen ist muss auch a mal 10 reellen Zahlen sein und das gleiche Argument hinten Aellen Zahlen D sind reellen Zahlen B sind reellen Zahlen also ist auch a mal D + B in den reellen Zahlen weil alle Operationen die wir da verwenden abgeschlossen sind bezüglich der reellen Zahlen okay das heißt das hier ist Element unserer Menge M das was hier rauskommt oder vielleicht schreiben wir ein bisschen deutlicher anders hin so einfach so schreiben F verkettet mit G ist Element m unsere Menge M okay abgeschlossenit haben wir ja gute Frage muss man es jetzt auch noch umgekehrt prüfen g verkettet mit F ähm F und G sind ja zwei beliebige Funktionen jetzt kannst ja vorstellen ich habe f die Funktion AX + B gewählt und G die Funktion CX + D so ich habe jetzt hier vier konkrete Zahlen A B C und D ich könnte ja aber auch für F die Werte wählen die in ich für G gewählt habe und die für G die Werte die ich für F gewählt habe hättest du sozusagen die Situation die umgedreht da F und G total beliebig sind kann ja F jede beliebige Funktion sein und G jede beliebige Funktion also muss ich jetzt nicht den umgedrehten Fall noch mal machen weil sowieso von Anfang an schon nie die beliebige Funktion da reingepasst hat ne okay gibt's gibt's Fragen noch dazu Abgeschlossenheit also jetzt haben wir gezeigt F ist in der Menge g ist in der Menge lineen Funktion und dann ist f verkettet von G F verkettet mit G auch in dieser Menge Abgeschlossenheit gilt was zeigen wir als nächstes ja Tina die Assoziativität zeigen wir jetzt genau muss gucken wie das mit den Tafeln machen dass es auch zu sehen ist ja ich glaub so passt das die Assoziativität also zu zeigen ist jetzt was schreiben vielleicht mal hin was zu zeigen ist Hexel noch mal F verknüpft mit G lass mal das X mal weg ich verkette die Funktion F und G ja das verketten wir mit H das muss was sein gleiche sein wie ich verkette erst g und h mhm und dann F vorne dran so ne also ich kann umklammern das besagt ja das assoziativitätsgesetz okay ähm oder das Axiom mus man sagen gruppenaxiom gut wie zeigt man so eine Gleichung was macht man da am besten zeigt man ganz aufgleichung mli also du meinst jetzt thermumformung erst in die eine dann die andere Richtung oder ne ach so du machst erst die ein die andere Richtung könnte mein dass man kleiner gleich hat in die eine die andere Richtung und dann ist es gleich oder du du nimmst die Link ah okay du nimmst die linke Seite setzt die Formeln ein die rechte Seite nimmst die Formel okay und formst so lange um und guckst ob das gleich unten rauskommt das kann man machen das ist aber nicht so schön weil zwei Seiten ein der Gleichung so lange umzuformen bis unten sowas rauskommt wie 0 0 oder 1 g 1 oder term gleich term [Musik] m das ist gefährlich in anderen Situationen bei denen dann vielleicht auch Ungleichungen da drin sind kleiner gleich man nicht genau weiß wie man damit arbeiten soll dafür tut man sich leicht und schöne ist es das entspricht aber genau beim Vorgehen eigentlich wenn man auf der einen Seite anfängt und so lange umformt bis man auf der rechten Seite rauskommt und am Ende liest sich das so aber man kann auch von hinten und von vorne und von hinten gleichzeitig arbeiten und schauen dass man sich in der Mitte trifft und dann WD es das was du machen willst das machen wir mal okay also wir beginnen auf der linken Seite F verkettet mit G verkettet mit hle und Form so lange um bis wir auf der rechten Seite rauskommen F verkettet in Klammern e verkettet mit H wir können uns aber auch von zwei Seiten in die Mitte bewegen das so eine typische Strategie beim gleichheitsbeweis so F verkettet mit G verkettet mit H ist was hier oben das dürfen wir alles verwenden Luca ja F von G von X ne kann man das so schreiben ich le gerade ob man das so schreiben darf wegen dem X das ist ein bisschen ungünstig na ja gut machen wir es mal so verkettet mit ha ja also wir sagen ja hier erst wird g angewendet dann wird F angewendet und diese Funktion wird mit H verkettet machen wir es mal so weiter ne und was wäre dann der nächste Schritt genau jetzt wird ja erst h angewendet ne h von X dann wird das Ergebnis in G ein dann wird das Ergebnis in die vordere Funktion eingesetzt also in F von G okay jetzt gehen wir von rechts vor was wird hier als erstes gemacht Hexe F verkettet mit genau g von H von X ja also hier erst wird das in den Klammern ausgewertet das ist g von H von X verkettelt mit F und was passiert jetzt hier genau jetzt wird das Ergebnis von G von H von X in F von X eingesetzt und dann steht das da da und jemand jetzt kommt und den Beweis liest denkt wir hätten uns von links nach rechts durchgearbeitet und wenn ihr matthesript lest steht es meistens so da und ihr denkt wie um alles in der Welt kommt derjenige jetzt an der Stelle darauf diesen Schritt zu machen machen und so ne also man hätte natürlich sie von links nach rechts durcharbeiten können aber oftmals ist es eben so dass man sich auf die Mitte zuarbeitet und am Ende sieht's dann so aus als könnte man sich von links nach rechts vorhangeln und mit viel Erfahrung kann man das auch aber so kann man es natürlich auch machen und das ist ein schöner W sagen schöner Weg zu verhindern dass man beide Seiten so lange umformt bis unten zwei gleiche Therme stehen ne okay was ist verrückt an dieser Gleichung an diesem an diesem Beweis sieht's jemand wir haben eine Sache gar nicht verwendet Mixi ja wie eine Funktion überhaupt aussieht das gilt einfach für alle Abbildung nicht nur für lineare ganz egal ich habe irgend wel Abbildung und die Verkettung von Abbildungen ist assoziativ was man da häufig verwendet ist so ein Maschinenmodell guck mal ob ich das hier irgendwo hinbringe ohne in den Chat reinzuschreiben weil den sieht man nämlich auch in dem Bild m ab vielleicht mache ich das noch mal hier oben die Idee ist die folgende so eine Funktion ist wie so eine Maschine ich hab ier eine Funktion f da kommt oben Wert rein und unten kommt F von X raus und wenn ich jetzt Funktion verkette bedeutet das dass ich einfach eine nächste Maschine unten dran hänge oder in unserem Fall ist es h zuerst wird h ausgewertet das Ergebnis h von X kommt in G hinein und das Ergebnis davon wird dann in F reingesteckt ne das bedeutet ich habe F von G von H von X ich steck x in H rein dann kommt hier h von X raus dann stecke ich h von X in G rein dann kommt h g von H von X raus und dann steck ich das in F rein dann kommt h unten F von G von H von X raus so und die Assoziativität bedeutet jetzt nichts als zu sagen ich betrachte das hier als eine große Maschine die F von G Maschine das bedeutet ich klammere diese Maschinen ja also ich betrachte das hier als eine Maschine das ist der geklammerte teil und das Ergebnis von H von X wird da reingesteckt und dann wird F von G ausgewertet oder im anderen Fall betrachte ich das hier als eine Maschine von zwei Maschinen die zusammen gepackt werden assoziativ wird jetzt g von H ausgewertet und das wird dann die f-maschine reingesteckt also man kann die Verkettung von Funktionen als eine Verkettung von drei Maschinen betrachten und einmal packe ich die oberen beiden Maschinen in einen großen Kasten in drin passiert aber nichts anderes als erst die eine und dann die andere kleine auszuwerten oder ich pack die letzten beiden Maschinen in einen großen Kasten was auch nichts bedeutet innen drin sind einfach die kleinen Maschinen ininander gehängt letztenendes wird immer wenn die Maschinen immer die drei Maschinen nacheinander abgearbeitet egal um welche Maschinen ich einen großen Kasten drum rum gebastelt habe ja okay und das sagt praktisch auch diese Gleichung hier so habt ihr dazu Fragen noch okay jetzt haben wir die Abgeschlossenheit und die Assoziativität was kommt als nächstes drittes Gruppenaktion Luca es gibt ein neutrales Element wir müssen also ein Element finden das bezüglich der Verkettung keinen Unterschied macht also nichts ändert ne F irgendeine Funktion f verkettet mit dem neutralelement mus wieder F ergeben und das bedeutet jetzt an der Stelle wir müssen eins vorschlagen müssens eins überlegen also welches Element könnte wahrscheinlich das neutralelement sein so dass es funktioniert hat jemand eins gefunden Mixi genau neutralelement also das können wir ja vielleicht n nennen n von X ist g x das ist deine Vermutung das ist neutralelement okay überprüfen wir es mal wir müssen es von links und von rechts an jede beliebige Funktion dran verknüpfen können und das darf nichts ändern das muss sozusagen die Funktion so lassen wie sie ist also machen wir erstmal F verkettet mit n von X was ist das Hexe F von N von X mhm ja wir müssen noch gar nicht so wir müssen es F jetzt gar nicht auflösen könnte man machen aber wir könnten ja auch einfach Mixi warum ist es einfach F von X n von X = x genau das kann ich ja einsetzen also gleich F V x okay jetzt müssen wir es auch noch mal von der anderen Seite ran verknüpfen weil wir wissen ja nicht kommutativität ist ja nicht unbedingt gegeben ne also wir müssen jetzt schauen ob n verkettet mit F von X auch f von X ergibt was macht man da jetzt was ist n verkettet mit F von X ähm muss noch mal kurz schauen Nala genau n von F von x und jetzt was ist n von irgendwas mhm ja ja also wieder F von X genau also F verkettet mit n von X ist f vonx und n verkettet mit F von X ist f von X fertig bei links und rechts kommt das Gleiche raus okay und jetzt fehlt noch das vierte Axiom zu jedem Element gibt es ein Inverses Element und das ist ein das ist der schwierigste Part jetzt wir müssen jetzt nämlich sagen was ist zu irgendeinem einer linearen Funktion das inverse Element also was welche Funktion muss ich mit F von X verketten so dass am Ende n von X rauskommt was muss ich in M mal X + B reinstecken damit am Ende x rauskommt kommt ich glaube da muss man sich mal ein bisschen rantasten also wir wollen also vielleicht schreiben wir das erst noch mal hin wir wissen F von X hat irgendwie die Form A* X + B und jetzt brauchen wir eine Funktion f hoch -1 von X die Umkehrfunktion also nicht die umkehrfunktionchuldigung sondern das vielleicht benennen wir es mal anders fer von X als Inverses Element mit CX + D und F verkettet mit F quer muss x ergeben hat da jemand Idee oder umumgebast wie das aussehen könnte wie könnte man das rauskriegen nixhm also F verkettet mit F qu von X muss n von X ergeben und n von X ist ja x ne okay was ist denn F verkettet mit F quer das was vor schon das hier ne genau ja das wir haben die Variablen ja gleich benannt also ist das A CX + D ah nee ähm nehmen wir doch die Variante hier entschuldigung das hier ne wir können das umgeformte schon nehmen das glaube ich besser das ist also AC X + ad + B und das muss gleich x ergeben ja wir weitermachen dafür mus a C = 1 und ad + B = 0 dazu muss A* C = 1 sein und ad D + B = 0 genau was bedeutet das jetzt also für f² von x CX + D wie sieht das hier aus mhm also 1 dur a mal x mhm und d - B dur a genau 1 dur A* X - B dur a das ist jetzt die Behauptung dass das hier das inverseelement zu F von X ist und wir wissen auch dass es funktioniert mit F verkettet mit F quer wir müssten jetzt nur noch zeigen dass exakt das gleiche Element auch das inverse ist wenn wir es anders rum machen also F quer verkettet mit F von X oder wir können gleich aufhören und sagen es ist keine Gruppe warum nicht man könnt jetzt jetzt auch an die auf die Position begeben und sagen wir haben alles geprüft aber an der Stelle tut uns leid ist doch keine Gruppe weil es gibt Funktionen bei denen gibt es dieses inverse nicht warum euch müsste was komisch vorkommen ein ungutes Bauchgefühl wenn ihr so eine Gleichung seht ein ein a mal x- B dur a es gibt Funktionen f von X bei denen gibt es dieses inverse nicht warum Elvis wenn a = 0 ist das haben wir nirgendwo ausgeschlossen aber Funktionen bei denen jetzt in unserem Fall hier oben m = 0 ist gibt es dieses inverse nicht okay könnte man sagen keine Gruppe wir können aber sagen okay wir fordern jetzt mal da oben dass M ungleich n0 ist okay wir fordern das jetzt mal und dann zeigen wir dass das tatsächlich das inverse zu all den Funktionen ist und zwar links und rechts dran verknüpft rechts dran verknüpft haben wir es schon jetzt müssen wir es nur noch zeigen dass es auch funktioniert wenn wir es links dran verknüpfen und das machen wir mal F quer von F von X GLE was also wir hoffen jetzt dass dann x hinten rauskommt was was müssen wir machen [Musik] FQ von F von X genau das können wir jetzt ja einfach einsetzen ne das ist FQ von AX + B und das ist gleich F f² von X ist ja das hier 1 dur a mal AX + B B dur a ne ich habe jetzt F von X in FQ von X eingesetzt wie geht's weiter mach mal 1 dur a mal a mal x das hier ist x und dann hinten B dur a = 0 B + A - B dur B dur a b dur a - B dur a = 0 also kommt x raus also kommt n von X raus neutralelement noch mal wiederholen was haben wir gerade gemacht wir haben gezeigt zu jeder Funktion gibt es ein Inverses Element das heißt die Funktion verkettet mit dem der inversenfunktion sozusagen ergibt das neutralelement das wir hier oben bestimmt haben nämlich x und um zu zeigen dass es jeder Funktion eine inverse Funktion gibt mussten wir eine uns zurecht basteln wir muss gucken wie ist denn die inverse Funktion ne und haben festgestellt durch die Bedingungen die wir gestellt haben dass die inverse Funktion sein muss 1 dur a mal X - B dur a das funktioniert hier schon weil wir auf diesem Weg F verkettet mit f² von X die Funktion hier aufgestellt haben jetzt müssen wir nur noch schauen dass es auch im umgedrehten Fall funktioniert und haben festgestellt da funktioniert's auch aber nur unter der Bedingung dass A ungleich Null ist Jubel okay habt ihr Fragen zu den Beweisen hier