BAC Algérie 2024 mathématiques - Corrigé Ex4 analyse

bonjour à tous alors aujourd'hui on s'intéresse au bac algérien donc le Bac série donc mathématique 2024 c'est le sujet he il y avait deux sujet au choix donc ça c'est le premier exercice donc sur les fonctions la version originale la version donc française qu'on va travailler tout de suite est vraiment dans une étude classique de fonction expression pas très compliquée finalement G2X donc vous avez le tableau de variation on va grâce à ça et bien trouver le signe de GDx donc c'est le premier objectif vous devinez que après il y a une autre fonction f dans lequel g va apparaître dans la dérivée donc entetemps on aura fait des limites et après on va faire une asymptote oblique ici à droite donc Delta d'équation y = x ensuite position relative par rapport à cette asymptote tracer des courbes ensuite on étudier une petite intégrale ici et une somme de termes d'une suite donc on est parti alors le tableau donc c-dessous on vous donne ce tableau il y a rien à démontrer on peut peut-être pour les curieux aller regarder ce que ça donnerait g prime on peut toujours s'amuser donc si je dérive c'est dérivé d'un produit a + 16 donc le + 16 donnera 0 vous aurez donc dérivé - 4 exponenti x + 8 4x exponentiel x donc si on factorise par exponentiel x on aura donc - 4 + 8 - 4x ça fait 4 - 4x exp x on aurait très bien pu vous le faire deviner hein parce que regardez une fois qu'on on a tout dépend donc du sin 4 - 4x parce queexonentiel est toujours strictement positif et 4 - 4x c'est ça s'annule en 1 et c'est plus moins donc ce tableau on naurait vraiment pu vous le demander ça n'aurait pas pris du temps donc on vous le donne alors après avec ce tableau on end très vite les variations de G ensuite bah g alors on vous donne déjà donc la limite en moins l'infini on aurait pu aussi la trouver hein parce que 8 - 4x exponentiel x donc si on sépare en 2 ça fait 8 exponentiel x 4x 2 x en moins l'infini donc l'exponentiel 8 en 0 d'accord là vous avez une croissance comparé X X çaattend aussi ver donc 0 c'est exponentiel qui va gagner quelque sorte et donc ici ben vous avez juste donc ce + 16 qui traîne donc c'est pour ça que la limite ici c'est bien 16 ensuite en en plus l'infini bon en plus l'infini exponentiel vers plus donc là on a moins l'infini donc c'était peut-être pas une bonne idée de développer donc ici on regarde le premier facteur tend vers moin l'infini le deuxème vers plus infini par produit ça donne bien moins moins l'infini donc il reste la valeur donc en 1 je elle est pas donnée on va la calculer g de 1 c'est donc 8 - 4 exponentiel 1 + 16 ce qui fait donc 4e + 16 qui est strictement positif alors c'est pas utile on pe vous demander pouvez vous demander pourquoi est-ce qu'on va pas demander G1 mais parce que G1 était forcément strictement positif effectivement on a 16 ici donc forcément G2 est strictement positif c'est pas la peine de le démontrerer le chercher hein c'est c'est induit parce qu'on a là la fonction g étant strictement croissante à de moins l'infini à 1 et bien g de1 est forcément euh strictement plus grand que la limite en moins l'infini donc ça c'est une chose importante à signaler donc on commence ce sujet montrer que G Dex admet sur R une unique solution alpha alors déjà on va éliminer la partie moins l'infini 1 sur moin l'infini 1 la limite quand x tend vers moins l'infini de GX c'est égal à 16 donc ça veut dire que quel que soit x donc inf ou égal à 1 et bien GX est donc forcément un su égal à 16 d'accord et donc et bien ça veut dire que j'ai dit que c'est strictement positif donc ça c'est une chose on en déd d'ailleurs que donc G1 est aussi strictement positif on va s'enir sur l'autre intervalle 1 plus l'infini donc précisez bien ici que j'ai été strictement croissante croissante aurait suffi d'ailleurs alors sur 1 + l'infini utiliser Terra de la bijection corelaire du TVI donc j'ai est continue parce que vous avez vu je l' dérivé continue les dérivable voir sinon c'est une somme produit de fonctions continue j'ai est strictement décroissante alors c'est annoncé dans le tableau ensuite G1 est strictement positif la limite de G en plus l'infini c'est moin l'infini d'accord ça veut dire que 0 appartient bien à moins l'infini et donc g d'accord donc ça veut dire que on peut appliquer le théorème de la bijection l'équation donc GX = 0 admet sur 1 + l'infini une unique solution qu'on va appeler alpha d'accord et maintenant on va montrer ça c'est assez simple que Alpha est entre 237 et 238 strictement la calculatrice m'indique que g de 2,37 est à peu près donc 0,17 que j'ai de 2,38 est à peu près de 0,42 donc eff 0 et bien entre g 2,38 et g de 2,37 donc si vous bien compris g 238 est strictement plus petit que g de Alpha qui est strictement plus petit que g de 2 37 et comme j'ai est strictement décroissante sur 1 plus l'infini il a conservation de l'ordre les antécédents donc sont dans le l'ordre inverse donc ici il faut que je pense à changer on a donc ceci inversion de l'ordre des antécédents par stricte croissance et donc on a bien montré que Alpha est entre 237 et 238 strictement alors pour trouver le tableau SIG c'est bien de faire un tableau comme ça et donc là on a les variations et on va mettre une ligne pour le signe on voit bien qu'ici on est on est au-dessus de 16 là où ça il va se passer quelque chose c'est ici en alpha d'accord donc iciit é0 avant alpha on a donc ici une zone où c'est plus grand que 16 donc là c'est positif 2 1 jusqu'à alpha strictement on est sur une zone positive bien sûr je vais rédiger ça après ici on est décroissant on part de Alpha donc on sera plus moins ça veut dire qu'ici on va montrer que G est négatif pour Al pour X strictement plus grand qu'Alpha et positif pour X strictement plus petit que Alpha donc sur Alpha plus l'infini g de Alpha é= 0 d'accord pour tout x strictement plus grand que Alpha et bien comme G est décroissante strictement quand on compose g Dex va devenir strictement plus petit que g de Alpha donc GX sera strictement négatif ça justifie ce moins qui est ici sur 1 alpha on a bah g de Alpha est toujours égal à 0 pour tout x donc entre 1 et Alpha qu'est-ce qu'on a G est décroissante strictement toujours sur cette zone ça veut dire que quand je compose par G g Dex va être strictement plus grand que g de Alpha donc GX est strictement positif donc ça justifie déjà un plus ici et il y a une dernière zone sur moins l'infini 1 g est strictement croissante limite de G = 16 en moins l'infini et donc pour tout x donc plus petit que 1 GX est donc supérie strictement à 16 d'cord on pas besoin d'être si précis que ça mais c'est donc super ou égal à 16 si vous préférez et donc strictement positif voilà maintenant s'intére donc aux limite limite de F en moins infini ça c'est très simple on va quand même le faire proprement donc tout d'abord on rappelle que la limite en moins l'infini de l'exponentiel c'est 0 donc ça veut dire que la limite du numérateur donc exponentiel x + 4 exponentiel est tend vers 0 et a donc le 4x ça tend donc vers moins l'infini c'est par somme la limite du dénominateur l'exponentiel qui tend vers 0 vous rajoutez 4 ça tend vers 4 donc ça ça n'est pas une forme indéterminer on a moins l'infini 4 donc la limite de F en moins l'infini c'est donc égal à moin l'inini/ 4 ça fait moins l'infini 4 est un nombre positif voilà en plus l'infini al maintenant on regarde rapidement bien qu'en haut ça tendra vers plus infini en bas aussi donc on a une forme indéterminé il faut donc transformer un petit peu alors on va factoriser en haut et en bas par le plus fort c'està-dire l'exponentiel en plus on n pas beso de prendre de précaution puisque c'est toujours différent de Z0 donc ici quel que soit x appartenant à r FX vous pouvez factoriser directement en haut et en bas je laisse les exponentiels mais ils vont se simplifier ça fait 1 + 4 X X sur de X met tout de suite une forme qui nous permettre d'utiliser les croissances comparées exponenti x 1 + 4 sur e2x donc il me reste 1 + 4 X X sur X sur 1 + 4 sur E x et là on a terminé parce que la limite quand x t vers plus l'infini de X sur X c'est 0elle les fameuses croissances comparéexonentiel domine en plus l'infini il est prépondérant et donc làhaut vous avez une limite qui sera 4 x 0 donc 0 et donc vous avez une limite au numérateur qui est ég à 1 donc la limite de 1 + 4 X X sur e de X c'est donc égal à 1 ensuite on a la limite de 4 sur E de X qui est égal à 0 parce que l'exponentiel tend vers plus l'in j'ai pas encore dit on va quand même être complet voilà on utilise ceci donc par inversion et multiplication par 4 ça fait pardon ça c'est plus infi donc par inversion et multiplication par 4 ça tend bien vers 0 il y a le 1 donc la limite du numérateur du dénominateur 1 + 4/ X en plus l'infini ça fait donc 1 et donc par quotient la limite donc de F en plus l'infini elle est égale à 1 c'est ce qu'on veut al interprétation elle est très simple c'est une asymptote horizontale qu'on a en plus infini on écrit CF ADM en plus infini une asymptotte horizontale d'équation y é= à 1 alors regardez à quoi ressemble la courbe on a ceci n trac horizontal on la voit bienez si je trace la courbe d'équation y enfin la droite d'équation y he la voici hein donc ici on va mettre un petit peu de couleur ça donne ceci donc vous voyez bien que très vite la Cour va se presque confondre avec cette asymptote hein et on peut même plus différencier ici sur notre schéma donc maintenant la deuxième chose qu'on peut remarquer sur le graphique c'est cette forme ici hein la courbe semble être droite donc il y a certainement la présence de ce qu'on appelle une asymptote horizon oblique et donc ça va être l'objet d'une étude hein dans C dans ce problème mais avant ça on va d'abord aller chercher l'expression de la dérivée donc tout d'abord on va on va être rigoureux la fonction KX associé exponentiel x + 4x et la fonction KX associé exponentiel x + 4 elles sont évidemmentue dérivable sur R il y a aucun problème ce sont des produits les sommes de fonctions qui sont Contin sur R en fonction ici identique exponentielle et fonction constante égale à 4 il y a pas de problème ensuite pour tout x appartenant à r exponentiel est strictement positif donc exponentiel de X + 4 est strictement positif c'est plus grand que 4 ça veut dire que ici bien on peut dériver donc F en tant que quotient f est dérivable sur R quotient de deux fonctions dérivables sur R avec un déominateur qui ne s'annule pas donc vous connaissez la formule on va faire ça direct pour tout x appartenant à r f Prim x c'est donc alors on va faire c'est du U sur V donc u prime je dérive le haut donc exponentiel x + 4 ça c'est la dérivée d'en haut fois le bas exponentiel x + 4 apparaît ici un carré ensuite moins donc la dérivée du bas exponentiel fois le haut divisé par v² c'est-à-dire le déominateur qu'on avait au carré je rappelle que j'ai utilisé la dérivée de U sur V qui est donc u Prim V moin V Prim U ou U V prime sur v² donc normalement en développant on va trouver ce qu'on nous donne qu'il faut retrouver g donc je développe tout d'abord tranquillement alors je ne touche pas au dénominateur c'est un carré donc pour le tableau de signe ça sera parfait donc là exponentiel X au carré alors je vais l'écrire directement normalement vous pouvez le faire exponentiel x FO exponentiel x c'est donc exponentiel x + x ça fait exponentiel 2x d'accord c'est l'exponentiel de X au Carr donc là j'ai exponentiel 2x ensuite j'ai j'ai un carré donc je vais avoir 4 e2x + 4x donc + 82x plus ce carré de 4 16 moin l'exponentiel x FO exponentiel x donc exponentiel 2x là ces deux termes vont s'annuler et il me reste - 4x e de X donc au final au dessous j'ai E x + 4 au carré en haut j'ai donc 8 x - 4x je factorise par exp x j'obtiendrai donc 8 - 4x E x + 16 regardez l'expression de G je l' remise en haut on retrouve exactement GX sur donc exponenti x + 4 au Carr c'est ce qu'on voulait démontrer maintenant déduire le sens deation et dresser le tableau donc tout d'abord quel que soit x donc appartenant on a dit exponenti x + 4 est donc différent de 0 parce que c'est strictement positif donc ça veut dire que quand on car exponenti x + 4 et bien ça donne un nombre strictement positif ça veut dire que donc F prime est du signe de son numérateur et donc du signe de de X donc on va le signe on l' làhaut CELI de je vais pouir le recopier ça veut dire qu'ici on a donc x f Prim Mo infini alpha plus l'infini donc F prime sannule en alpha est positif négatif donc on en déduit effectivement que F je vais faire le tableau tout de suite on va faire des phrases après on vous demande le sens de varation donc on va faire des phrases donc là les variations de f ou de FX en fonction X c'est donc croissant puis décroissant avec ici voz un maximum alpha donc ce qu'on peut dire c'est que sur moins l'infini alpha donc la dérivée est toujours strictement négative sauf en alpha où elle s'annule donc on a F qui est donc strictement croissante et sur Alpha plus l'infini F est strictement décroissante puisque sa dérivée est strict négatif sauf en alpha où elle s'annule vous savez qu' une fonction la dérivée peut s'annuler en des points isolés he si si la fonction la dérivée est positive et s'annule uniquement des points isolés la fonction reste strictement croissante voilà donc ici pas de problème on a strictement croissant strictement décroissant alors les limites ici rappelez-vous on avait trouvé moins l'infini là on a trouvé l' symptotte horizontale 1 il reste ici donc F de Alpha alors f de Alpha on va pas encore pouvoir le calculer exponentiel alpha + 4 alpha sur exponentiel alpha + 4 donc sur une calculatrice ça donne ceci la courbe j'ai fait ça rapidement vous pouvez chercher quand même ici maximum ici donc on trouve le alpha on avait situé entre 2 37 et 238 donc ça ça confirme et l'image est à peu près 1,37 donc ici on va mettre à peu près 1,37 et là vous pouvez préciser calculatrice bien évidemment calcula Trice voilà donc ici on va indiquer à peu près 1,37 question 3 on s'intéresse enfin à cette asymptote oblique on avait repéré à la calculatrice donc pour ça on va prendre donc x un réel et on va étudier fx- x d'accord donc ça fait exponentiel x + 4x sur exponentiel x + 4 x le but hein et déjà de trouver la limite en moins l'infini la limite doit être égale à 0 donc alors vous avez forcément une forme indéterminée parce que on a on a du moins infini là aussi donc il faut transformer on va mettre au même dénominateur il y a pas grand chose d'autre à faire voilà donc là j'ai e de X + 4x - x MP par exp x + 4 donc j'aurais x 2 x - 4x donc les 4x disparaissent il n reste en haut donc e X- X X on peut factoriser par E x ça fera 1 - X e de X alors on regarde rapidement donc en moins l'infini alors je rappelle limite d'exponentiel en moin l'infini c'est 0 donc le dessous ici pose aucun souci la limiteex x + 4 en moin infini ça fait donc 4 donc il me reste le numérateur numérateur qu'est-ce qu'on a on a une formetermin Paron a X qui t vers plus infini FO 2 x qui tend vers 0 donc là c'est indéterminé faut encore TR travailler un petit peu donc je développe ça fait ceci moins ceci E x + 4 on a dit l'exponentiel ne pose pas de problème donc lui t vers 0 lui tend vers 4 donc on a ce terme là mais là on reconnaît le cours la liite de X de X c'est une croissance comparé c'est l'exponentiel qui va emmener tout ça vers Z0 et là vous mettez croissance comparée donc en haut mais regardz ça tend vers 0 ici 0 dessous ça tend vers 4 donc il y a aucun problème ça tend bien vers 0 donc on le dit la limite donc de e de X- X e x ça fait 0 alors là entre parenthèses c'est par somme par soustraction même d'ailleurs puisquon a moins soustraction et ensuite on divise par donc e de X + 4 qui t vers 4 donc par quotient la limite de de FX - X en moins l'infini c'est donc 0 et le fait que ça tende vers 0 ça veut dire qu'effectivement la droite Delta d'équation y = X et donc asymptote en oblique à la courbe donc CF au voisinage ou tout simplement en moins infini mais on dit plutôt au voisinage de moins l'infini donc ça signifie que graphiquement la Cour va plus on va aller vers la gauche en bas bien sûr plus ça va se confondre avec cette droite Delta question B qui est relié à ce qu'on vient de faire étudie la position relatif de la courbe CF et la courbe Delta donc il faut étudier le signe donc de FX x d'accord on a vu que pour tout x appartenant à r alors fx- x regardez on va prendre cette cette partie là ici c'est intéressant parce que on a factorisé en haut donc ça c'est cette chose-là qui va nous servir alors qu'est-ce qu'on sait de façon assez naturelle c'est que pour tout x on sait que de X est strictement positif e de X + 4 on l'a déjà dit c'est aussi strictement positif donc ça veut dire que Ben F de X - X et du signe de 1 - x d'accord donc c'est un signe qui est très rapide à adresser X- x donc c'est par rapport à 1 il y a 0 et il y a plus et il y a moins d'accord donc pour la position reltive c'est très rapide il y a donc trois choses à dire on va donc dire sur mon l'infini 1 Cf est strictement au-dessus parce que la différence est positive FX x audessus Delta sur 1 plus l'infini ouvert en CF strictement en dessous la différence est négative et CF Delta se coupe au point d'abscisse 1 et forcément comme la droite pour équation y = x c'est le point A de coordonnées 11 sur la calculatrice ça donne ceci en rouge donc Delta en bleu c'est la cour F VO bien qu'ici il semble bien que la rouge et les deux se coupent à cet endroit là donc le point de coord 1 avant la la courbe est au-dessus la droite et après la courbe est en dessous c'est bien ce qu'on a trouvé on nous demande ensuite de tracer donc CF et Delta donc j'ai tout fait ici he donc j'ai mis Delta donc la syymptote oblique facile à tracer l'équation c'est y = x je vais la mettre dessus d'ailleurs voilà ensuite on a l' syymptote horizontaleéquation y = 1 on va s'en servir parce que vers la droite la Cour va se rapprocher j'ai placé le point A d'intersection entre CF et Delta coordonné 11 le sommet de CF qui est donc l'abscisse alpha et on nous dit que F de Alpha vaut 1,4 donc à peu près ici et ensuite j'ai placé les points pour que ce soit assez précis à l'image de - 2 - 1 0 1 2 3 4 et même 5 ça permettra comme ça d'avoir une courbe assez précise et ça donne ceci voilà hein ce que vous pouvez faire évidemment peut-être en moins précis et on retrouve tout vraiment la position relative donc entre CF et Delta donc au point A il y a intersection avant vous voyez que la courbe est au-dessus après elle est euh en dessous hein de l' syymptotte oblique et on a ici cette position caractéristique de l' symptotte horizontale en moins l'infini et ici asymptote donc la Cour va se coller progressivement se rapprocher progressivement de son asymptote oblique maintenant on va utiliser ce graphique déterminer graphiquement les valeurs du réel m strictement positif pour que l'équation FX = ln m d'inconnu donc x admettre deux solutions distinctes donc des solutions en X bien sûr alors FX = ln 1 tout d'abord on va s'intéresser à FX é= k d'accord donc soit k appartenant à r donc on veut que F Dex é= k nous déjà on veut deux solutions distinctes donc on veut deux solutions FX = k puis on verra après pour le M donc déjà quand est-ce que on a deux solutions FX = k mais on va tracer une horizontale et on regarde il faut qu'il a deux intersections voyez que si je prends FX par exemple ég -1 ben je n'aurai qu'une solution donc c'est pas je peux prendre je peux pas prendre qu' ég-1 donc pour avoir deux donc intersections il va falloir que j'aille assez ici si je coupe il y a toujours qu'une seule intersection donc il me faut deux intersections si je vais trop il y a plus d'intersection donc je dois me trouver donc en dessous du de l'extrême d'accord on a dit que ici on avait pris 1,4 donc on va considérer que c'est 1,4 et on doit aller jusqu'à un endroit il y a deux intersections et c'est à partir ici voilà si vous prenez sur l' symptotte horizontale il y a qu'une intersection au bout là-bas ça va jamais toucher la fonction est strictement décroissante donc ne va pas toucher la droite d'équation y = 1 donc forcément ici graphiquement on voit qu'on doit être strictement entre 1 et 1,4 pour k donc pour qu'il solution donc deux solutions et bien ça équivaut à donc k entre strictement entre 1 et 1,4 1,4 qui est F de Alpha donc si on prend à la place de K on met ln de M ça veut dire que FX = ln m de solution ça équivaut donc au logarithme de m entre 1 et 1 1,4 donc on va composer par exponentiel qui est strictement croissant donc ici on aura e m et E de 1,4 donc m est entre strictement entre e et exponentiel de 1,4 et on a terminé un 7 donc cette question Ctait une détermination graphique d'accord regardez ce que ça donne sur geogébra ici alors je vais reculer un petit peu donc j'ai tracé une horizontale y = NNM vous voyez c'est pour 0,5 ici bon il il y a qu'une intersection est ici on peut même indiquer l'intersection sur geogébra donc intersection ça va être ici donc intersection entre ma droite et ceci donc vous avez une intersection donc je vais pas mettre de nom mais voilà vous voyez que quand ici on augmente on a toujours qu'une intersection on la voit bien et une fois qu'on arrive là donc sur la droite donc vous voyez on a M qui vaut 2,7 donc c'est e d'accord et donc ici quand on monte on a deux intersections vous en avez une ici et une ici d'accord on a deux intersections donc ça va donner ceci voilà al un moment ell vont se rejoindre quand on est au sommet c'est pour ça que pour sommet on a pas exactement de solutions on a une solution on va dire double mais on a donc une seule solution quand on est avant on a deux solutions d'accord et donc entre M = 2,7 et à peu près alors donc 4 et quelques parce qu'on a arrondi he c'est pas 1,4 vraiment l'image de Alpha c'est un petit peu moins donc c'est pour ça que là on va tourner he parce que exponentiel 1, c'est qui 4,06 donc on bien qu'ici on a déjà un petit peu dépassé he mais évidemment comme on prend une valeur approchée pour F de Alpha c'est normal que soit pas exactement sur ce qu'il faut mais on est bien voyez entre e et donc F de Alpha donc ceux qui veulent éviter le 1,4 ici et bien vous mettez tout simplement à la place F de Alpha 5e question donc démonstration d'un encadrement donc on est sur 1 plus l'infini il faut montrer que dans ce caslà F Dex est entre e de X sur E x + 4 et déj on a vu on sait que et bien c position sur 1 plus l'infini on sait que F x on avait vu était en dessous donc x cétait la question 3B donc effectivement on a bien F plus sur 1 maintenant l'autre côté donc on va regarder FX X sur X + 4 ça donne donc E x + 4x sur E x + 4 e X sur E x + 4 c'est assez simple regardez c'est déjà au même dénominateur donc les X vont s'annuler il me reste 4x donc sur 1 plus l'infini 4x est strictement positif x + 4 et on a dit toujours positif donc effectivement FX est bien supérieur ou égal à E x sur x + 4 c'est même strictement mais nous on vous demande du égal donc conclusion effectivement sur notre INTERAL on a bien FX qui est coincé entre X et exponentiel de X sur exponentiel de X + 4 question tranquille question 5 on est sur les intégrales donc on donne définir une air l'air du domaine donc démité par la courbe donc ici j'ai j'ai mis la courbe ensuite les trois droites donc l'horizontal l'E des absisses et droitees verticale équation X y et le domaine voyz je l'ai grisé enfin il est plutôt en marron et donc ça et bien c'est notre a a alors en rouge et en vert et bien ce sont les expressions qui encadre F sur interval donc 1 2 parce que nous on va s'intéresser à domain sur 1 2 voyez qu'en fait effectivement pour info voici ce que ça donne là j'ai donc mis la courbe de F elle est bien coincée entre donc ici la droite Delta et ici la courbe de la fonction qui a x donc l'appeler courbe C qui a x associe donc exponentiel de X sur exponentiel x plus 4 VO bien que la f on voit bien qu' est coincée donc entre les deux donc que la courbe de F est encadrée voyez par les deux autres courbes maintenant on introduit un donc l'air du domaine a hein délimité par la courbe et par trois droites hein l'axe des abscisses et droit d'équation x = 1 x = 2 d'accord il faut démontrer que cette r elle est encadrée alors on va utiliser ce qu'on vient de faire faire parce que c'est valable sur 1 plus infini donc c'est valable sur 1 2 alors graphiquement on a un domaine alors sur 1 2 la fonction est positive on a déjà démonttrer ça on a le tableau de variation il y a aucun problème d'accord alors F1 je l'avais calculé on avait tout vérifié puis le tableau voyez c'est décroissant et là vous avez ici donc 1 en limite à droite donc ça va toujours être positif ça veut dire que l'air correspond donc à une intégraleintégrale de 1 à 2 de FX DX alors regardez j'ai tout mis sur le même schéma on a ici enencadrement encore visible entre FX qui est coincé donc entre expon X sur X X + 4 et X d'accord on a ici les deux verticales l'équation X = X = 2 l'horizontal c'est des abscisses et donc l'air que vous cherchez c'est l'air de la zone ici que j'ai coloré d'accord donc ceci c'est donc l'air c'est une intégrale donc l'intégrale de F entre 1 et 2 alors on peut pas la calculer comme ça pour l'instant on va utiliser l'encadrement que F la courbe est encadrée par deux autres donc l'air elle aussi est encadrée elle est encadrée par l'air donc ici de ce qu' a sous donc ma première courbe et sous donc la l'axe sous l'asymptote oblique d'accord donc on va utiliser l'encadrement précédent on sait que sur 1 2 et bien FX est entre X et exponentiel de X sur exponentiel de X + 4 donc on ait d'intégré et donc on intégre l'intégrale de 1 à 2 de FX DX et donc entre donc plus petit ou égal à l'intégral entre 1 et 2 de X DX et l'intégral entre 1 et 2 d'exponentiel X sur exponentiel x + 4 DX donc ça veut dire que mon RA qui est au milieu elle sera plus petite que quoi alors là on a l' R de X donc on va primitive on prendre x car sur 2 prix entre 1 et 2 et ici vous une primitive d'exponentiel X sur exponentiel x + 4 il faut savoir qu'on a une une expression qui est quotient et quand on dérive expon x + 4 et on dérive ça fait exponentiel x donc on a ici exactement u Prim sur u exponentiel X sur exponen x + 4 c'est u prime sur U de X d'accord avec U X qui est égal exponentiel x + 4 qui est d'ailleurs strictement positif donc primitif on va prendre un logarithme logarithme de U donc ln e2x + 4 prix entre 1 et 2 on a plus remplacer donc je remplace d'abord X par 2 ln e² + 4 moins je remplace X par 1 ln de E1 + 4 1 f égal à a ici on a donc je remplace par 2 4/ 2 - 1/ 2 ça me donne ici on a différence de de logarithme c'est le logarithme du quotient e² + 4/ E + 4 E1 ça vaut e plus petit ou égal à a plus petit que 4/2 - 1/2 Ça fait 3/2 c'est exactement de ce qu'on voulait il reste maintenant une question sur les suites donc soit un la suite numérique définie sur grand N par un é= expon + 4 x FN on va regarder ce que c'est parce qu'il me faut la somme SN c'est donc la somme pour k = 0 à N des UK autrement dit U0 + U1 + U2 jusqu'à un donc je vais faire la somme en fait pour de 0 à N des exponentiels de K + 4 x k alors regardons ce que ça vaut exponentiel de K + 4 FO F de K c'est donc exponenti de K + 4 XP par exponentiel de K + 4 K sur exponentiel de K + 4 voy j'ai encore expression donc on remarque quelque chose de très simple c'est que ça ça se simplifie il n reste donc exponentiel de K + 4 x k donc ça veut dire que SN c'est donc somme pour k de 0 à N et exponentiel de K + 4 K on a donc de une somme qu'on va découper en deux on va faire la somme des exponentiels pour k de 0n et la somme des 4K pour ceux qui n'iment pas trop les symboles on aura donc à faire e0 + E1 et cetera jusqu'à e^iss n n + 4 x 0 donc 0 + 4 x 1 plus et cetera 4 x N donc de sommes différentes ici la somme des de puissance ce qu'on appelle une c'est une somme géométrique et ensuite somme des entiers parce qu'on va factoriser par 4 voyez en fait ici on a quelque chose sous la forme 1 + Q et cetera jusqu'à q^iss n avec Q ég à E qui est bien différent de 1 donc ça il y a une formule ça vaut 1 - q^iss N + sur 1- Q d'accord ou la version q^iss N + 1 - 1 sur Q - 1 donc on peut utiliser la deuxè comme ça on aura un dénominateur positif j'obtiens donc e^iss n + 1 - 1 sur E - 1 plus alors ici on factorise par 4 ça fait 4 x 0 + 1 et C jusqu'à n la somme des entiers de 1 N ça c'est connu c'est donc N x N + 1 sur 2 donc on obtient ici + 4 fois alors il y a le 4 et le 2 donc ça va simplifier ça fera deux fois n x N + 1 on a terminé donc cette question et cet exercice en même temps à bientôt