BAC TUNISIE 2024 section mathématiques- session contrôle - Corrigé Ex1 Complexes et similitudes

[Musique] bonjour à tous Aujourd'hui on s'intéresse au bac sm donc c'est le rattrapage le sujet du rattrapage 2024 au Maroc vous allez voir c'est encore un exercice en tout cas un sujet très très difficile je vais vous montrer tout le sujet et nous on va s'intéresser uniquement à exercice 2 qui est très très joli et très compliqué pour un rattrapage encore une fois ce sujet du Maroc il est toujours très très ambitieux donc exercice 1 donc sur 6 point et demi on fera ça bientôt donc on est sur les fonctions études ensuite l'exercice quiér aujourd'hui donc une intégrale avec des sommes donc vous allez voir somme de riman pas mal d'encadrement donc du travail ensuite exercice 3 donc sur les complexes avec ici une partie de avec rotation vraiment on est sur du classique par contre exercice 4 on est sur structure algébrique avec des groupes et on terminera avec un exercice 5 donc aussi classique avec donc les congruences donc on est parti nous en ce qui nous concerne aujourd'hui c'est l'exercice 2 3. on est parti premier calcul une intégrale vous allez reconnaître très vite classique ensuite une somme tout de suite somme de et après des encadr pour cette question il faut connaître primitive de la fon sur c'estang ici on doncang pr entre 0 et 1 donc ça fera arc tangente de 1 Mo arc tangent 0 il faut connaître ses valeurs Tang de 1 c'est pi/ 4 on sait que Tang pi/ 4 1 et ensuite 0 c'est 0 donc on a pi/ 4- 0 donc pi/ 4 voilà donc une première question facile c'est du C deè question aussi assez simple malgré la forme qui peut paraître comme ça compliquée mais on reconnaît tout de suite donc une somme de riman on va quand même rédiger ça proprement parce qu'il y a des conditions donc on est soit somme de K allant de 1 à n d n sur n² + k au Carr et on est pour tout n bien sûr super ou égal à pour que la somme ici a du sens alors rappelle som il faut une fonction f donc continue alors moi je vais prendre le plus simple sur l'intervalle 01 et bien il faut savoir que la somme pour k allant de 1 à n ici des f de K sur N le tout divis par N et bien ça ça tend quand n tend vers plus l'infini ça tend vers l'intégrale de 01 de FX DX ce qu'on appelle une somme de riman ça veut dire qu'ici vaoir trouver une fonction donc on va prendre la fonction f donc défini sur 0 valeur dans R qui a X associe alors ici regardez dans la somme de il y a du 1/ N moi j'ai pas de 1/ N donc déjà on va fabriquer un sur N si vous mettez un sur N ça sousentend ici que dans la Somme et bien ça n'est plus n ici mais car il faut compenser ce n par linarité P le rentrer donc on a ceci et on va et bien faire une factorisation en bas par N car qui donne ici 1 sur N somme pour de 1 à N ici si on factorise en bas par n² regardez ça fait n² sur n² facteur de 1 + k² sur n² les n car ici vont se simplifier et ça va donner ça 1 plus donc k² sur N car c'est k sur N au car on a fait apparaître k sur N partout il y a K il faut faire apparaître k sur N donc ici la fonction et ben je vais prend la fonction qui x associe 1/ 1 + X2 voyez qu'ici et bien ma somme c'est la somme pour Kant de 1 à N et F de K sur N ici cette fonction elle est continue sur Z donc je peux utiliser mes sommes de r donc ça veut dire que et bien unette suite elle converge une série mais donc ici converge et sommeri la limite quand n t vers plus l'infini d u de N c'est donc l'intégral de 01 de FX DX c'est exactement ce qu'on a fait à la première question je vais même pas mettre FX c'est donc l'intégral de 1 sur 1 + x 2 x et donc c'est pi/ k on VO bien le lien entre les deux questions voilà donc question 1 1 B c'est terminé 2ème question assez simple il faut donc ici ma j'urer une intégrale al on a du 1 sur 1 + X2 au carré on sait que est positif donc hein ça veut dire qu'ici on est donc sur 01 x² est positif il y a pas de problème d'accord donc quand je rajoute 1 1 + X2 est donc plus grand que 1 ça veut dire que 1 + X2 donc au carré est donc plus grand que 1 parce qu'ici j'utilise la fonction carré qui est croissante donc sur R+ puisqueici j'ai des nombres positifs x T x² est croissante sur R+ donc maintenant on va inverser d'accord ça veut dire que on utilise la fonction inverse ici qui est donc strictement décroissante sur R+ étoile alors strictement c'est pas forcément utile ici va garder décroissant donc ça inversion c'est inférieur à 1 et donc on intègre et ça va conserver le sens l'inégalité donc l'INT de 0 1 de 1 sur 1 + x 2 au carré d x c'est donc inféeur à l'intégrale de 01 de 1 DX et ça ça vaut 1 donc effectivement on a bien montré l'inégalité qu'on nous demandait donc ça c'est infér égal à 1 troisèm petit alors ici il est question de quoi alors tout d'abord on sait que pour tout x appartenant à 01 on sait que X déjà X est donc positif ça veut dire qu'on utilisant exponentiel exponentiel X est plus grand que 1 donc exponentiel de X - 1 est positif donc là il y a rien à dire on a déjà montré que donc 0 et bien F égale exponentiel x - 1 donc ça c'est bon c'est l'autre côté qui est un petit peu plus difficile pour cet autre côté je vous propose de créer une fonction de 01 dans R qui a x associe e X- exponenti x + 1 je dérive aucun problème de dérivabilité ici donc ça fait e puisque E x ça fait e e de X on sait que et bien donc quand est-ce que ça vaut 0 et bien quand E est ég E x on passe au logarime ça veut dire ici on a donc e puiss x ça fait donc x= 1 équivalencez évidente ensuite quand est-ce que c'est strictement positif ça veut dire que E1 est plus grand que X on passe au qui est strictement croissant sur R+ étoile et donc ici ça fait plus grand que X donc je peux faire le tableau c'est dire qu'ici h prime donc s'annule en 1 et avant positif avant 1 donc c'est positif ça veut dire que HX en fonction X donc strictement croissant on remarque quoi alors H0 vaut donc 0- exponenti 0 qui va 1 + 1 ça vaut 0 et donc ça veut dire qu'on en déduit que pour tout x appart a 01 mais on a un minimum qui est 0 HX est donc supérieurou égale à 0 et donc x enfin E x X- x + 1 est positif ça veut dire que ici on a bien donc ex qui est plus grand queexon x - 1 si vous mettez ça dans l'autre sens hein je vais écrire ça en haut ça veut dire que xon x - 1 est donc plus petit que E x x et on avait montré qu'il était positif don une petite étude de fonction certainement d'autres façons de faire mais en général c'est comme ça qu'on travaille alors certains me diront B on aurait peut-être pu essayer la convexité mais je rappelle que la fonction exponentielle elle est convexe et donc est la courbe exponelle est toujours au-dessus de ces tangentes donc ça nous donnerait plutôt du X supérieur ou égale à quelque chose donc là comme on a d faire on procède autrement par une étude de fonction alors après il y a une autre méthode ce qu'on appelle donc l'inégalité des accroissements fini on sait que en posant donc je vais prendre alors ici je vais prendre KX = exponentiel x on est sur 01 on sait que k' donc c'est e de X on sait que et bien exponentiel est croissant ça veut dire que k'e est donc entre exponentiel 0 et exponentiel de 1 donc k Prim est entre 1 et inégalité des accroissements finis qu'est-ce qu'elle me dit et bien pour tout x appartenant à 01 on a e de X- E de 0 sur X- 0 qui est donc compris entre le minimum de la dérivée et le maximum de la dérivée ça donne ceci et si évidemment comme on a une division par X ici on se méfie un petit peu parce qu'près si on multipe par X donc on va se mettre sur l'ouvert ici ça veut dire qu'on a E x - 1 Voyez qui est donc entre X et E x x voyez et donc ici alors vous pouvez même mettre ici donc supéri ég à Z0 comme ça ici vous aurez directement le côté gauche et vous aurez ici le côté droit donc e de X - 1 et bien entre 0 et ex donc encadrement donc des accroissements finis avec la fonction exponentielle sur l'intervalle 01 alors vous voyez que là je j'ai un ouvert évidemment quand on remplace X par 0 hein et bien l'inégalité elle est valable parce que E2 0 - 1 ça ça vaut 0 et E x 0 ça fait 0 donc on a bien l'inégalité enfin l'encadrement qui est valable pour x = 0 donc c'éit une autre façon de procéder moi je préfère l'étude de fonction mais c'est assez joli il faut quand même le remarquer ça permet de rappeler l'égalité des croissant finie hein la fonction avec laquelle on travaille ici donc K est dérivable donc dérivable sur 01 donc on peut tout à fait utiliser uneégalité des accroissements finis pour la l'encadrement suivant je vous propose d'intégrer sur l'intervale 01 ça veut dire qu'ici on a cet encadrement qui est valable pour X allant de 0 à 1 donc je vais l'utiliser en changeement en changeant la variable ici ça veut dire que je peux appliquer pour tout réel t entre 01 ça donne donc exponentiel T-1 est entre 0 et E x T et on va intégrer entre 0 1 donc on intègre sur l'interval 0 ça donne intégrale de 01 de 0 DT est égal à l'intégral euh par est inférieur ou égal à l'intégrale de 01 d'exponentiel t - 1 DT qui est inférieur à l'intégrale de01 de e de T enin E x t pardon DT donc ici à gauche ça fait 0 ici on a donc une intégrale calculé primitive on va prendre exponential t moin t prix entre 0 et 1 d'accord ici donc ça fait E inté0 de T DT alors le souci en faisant ça vous voyez c'est qu'il a plus de X donc l'astuce c'est justement ça on va pas intégrer sur 0 mais on va intégrer sur 0 x d'accord et en prenant soit x donc appartenant à l'interval 0 et on va intégrer sur 0x donc ici je enever ce 1 et ça va fonctionner très bien parce que regardez ce que ça donne intégral 0x 0x 0x ici donc entre 0x donc je fais mes calculs 0 ici je remplace par X exponentiel x X- la valeur en 0 exponentiel 0 vaut 1 - 0 donc on obtient exactement exponentiel x donc x - 1 c'est exponenti x - 1 - X et là on va intégrer donc t c'est donc t² sur 2 prix entre 0 et X et donc on obtient exp x 1 - x ici infériur donc je remplace T par X ça fait e donc le sur 2 est ici e sur 2 x x² on a exactement ce qu'on voulait et X a été pris dans 0 donc on a terminé voyez donc c'est assez subtile on utilise encadrement précédent en mettant comme variable T et on intègre sur l'intervalle 0x en prenant bien sûr x positif et entre 0 et 1 voilà question 4 un exercice quand même compliqué regardez maintenant on considère donc wn c'est une somme avec ici exponentiel qui revient ce n sur n² + k² donc première question il faut encadrer wn- un alors déjà on va regarder ce que c'est donc wn - Un donc c'est deux sommes donc ça va être on va mettre ça sous forme d'une seule somme c'est la somme de K é= à donc les wn c'est exponentiel de N sur N2 + k² - 1 et là on va mettre ce qui dans c'est-à-dire n sur n² + k car et là on va utiliser la question précédente on sait que donc déjà il faut montrer qu'on peut l'utiliser donc il faut montrer qu'on est sur 01 alors déjà K est entre 0 et n d'accord donc k² est entre 0 et n² ça veut dire que k² + n² est entre donc n² et 2N carré donc en inversant on a ici donc n est suéri égal 1 donc là c'est strict je peux utiliser la fonction inverse donc on aura ici 1/ 2n² et ici 1/ n² maintenant on multiplie par N donc on a donc à gauche ça fera 1/ 2N ici je reconstruis n sur donc n carré + k Carr n ici plus petit que 1 sur N vous pouvez remarquer ici n est plus grand que 1 donc ça c'est plus petit que 1 et ça c'est on va dire évidemment su égal à 0 donc ça veut dire que pour tout cas appartenant à donc l'intervalle 0 n inter d'entier K peut pas être égal à 0 d'ailleurs puisque n est plus grand commence à 1 donc on est ceci on a bien N sur N car + k² qui appartient à l'intervalle 01 donc on utilise la question précédente l'encadrement qu'on a obtenu en 3a et donc ça veut dire que l'exponentielle de N sur n² + k² - 1 - N sur n² + k² c'est exactement hein en cadrant précédent on utilise 3 avec donc avec x = N sur n² + K au car donc je remplace ici et donc ça sera entre 0 et E sur 2 xis donc le carré de X c'est-à-dire n² sur n² + k² au carré à droite on a un carré en haut un carré en bas donc on peut ici regrouper ça sous forme ici du carré d'un quotient voilà et on a plus qu'à Sommer donc on somme on somme il y a pas de t on somme pour pour k allant donc de 1 à n donc à gauche j'auraai 0 inf égal à la somme donc pour k allant de 1 jusqu'à n donc des exponentiels n sur n² + k² - 1 - N sur n² + k² infériur ici on fait une somme mais e sur 2 c'est un coefficient constant donc on le sort e sur 2 et on la somme pour Kant de 1 à n des n sur N2 + k² au carré c'est exactement ce qu'on voulait montrer voyez pour l'instant ça se suit très bien ce c'est pas facile mais tout déduit assez simplement des questions précédentes ensuite on s'intéresse à la fonction qui x associé un+ X2 exposant 2 on est sur 01 alors comment montrer que cette fonction est strictement décroissante alors je peux vous proposer dérivé donc là on on va l'appeler l donc on a l X qui est alors on va remettre un exposant positif ça fait du 1/ 1 + X2 au carré elle est dérivable sans aucun problème sur 01 est dérivable sur 0 puisque on a dessous c'est dérivable et ça ne s'al pas c'est toujours plus grand que 1 et on a donc l prime de X qui est donc on est sur du 1/ U car donc je rappelle que la dérivée de 1 sur car quand U est dérivable et non nul sur l'intervalle ça fait donc du MO 2U Prim sur u au Cu donc ici moin donc 2 FO la dérivée de 1 + x 2 c'estàd 2x sur 1 + X2 au Cu d'accord et on voit bien qu'ici sur l'intervalle 0 1 L prime en haut c'est strictement positif en bas aussi et donc c'est strictement négatif vous remarquez qu' l prime de 0 vaut 0 donc ça veut dire que elle est strictement décroissante donc sur alors avec ça c'est sur Z0 mais comme elle est continue et et bien ça veut dire que on peut être en la stricte décroissance à au ferm on a une dérivée qui ne s' qu'une seule fois au bord gauche de l'interval donc la stricte croissante elle peut être mise sur l'intervalle farmier 01 donc c'est ce qu'on voulait montrer question C alors ici en déduire que pour tout n sur et pour tout entier donc dans l'intervalle 1 on a donc ceci donc alors ça veut dire qu'on va utiliser il faut utiliser puisque c'est marqué en dédu il faut utiliser la stricte décroissante donc de la fonction 1 qu'on vient d'utiliser on voit aussi qu'on a une intégrale de k- 1/ N à K sur N donc on va se placer donc soit donc x appartenant à interval donc K - 1/ N k sur N alors je vais prendre x entre K - 1/ N et k sur N alors ça veut dire que X donc déjà il est donc entre k-/ N et k sur N il est donc positif parce que K il est supéri égal à 1 d'accord et il est plus petit que 1 ce X parce que K sur n n K est plus petit ou égal à n donc on a ceci on va utiliser la fonction précédente qui est décroissante donc inversion de l'ordre ça veut dire qu'ici quand vous avez donc 1/ 1 + X2 donc à l'exposant carré je vais le mettre comme ceci hein et bien ça sera donc inférieur alors c'est coincé alors il y a inversion de l'ordre donc le cas sur N l'image du cas sur N va être à gauche donc on a ceci 1 sur donc 1 + k sur N au carré au carré d'ord et de l'autre côté je vais pas m'en servir hein mais j'ai ceci au carré au carré donc moi je vais me servir hein du côté ici gauche puisque euh donc cet encadrement enfin cette égalité puisque je vais utiliser que les deux côtés ici elle est valable donc pour X entre K - 1/ N et k sur N et bien je peux intégrer d'accord et donc j'obtiens l'intégrale entre K - 1/ N et k/ n d'une constante quelque chose qui ne dépend pas de N je vis après changer la forme de ceci c'est on attaque par ort à X donc j'ai DX et ici voyez je retrouve l'intégrale de k- 1 sur N à K sur N alors je vais l'écrire comme il est écrit ici he c'est ce terme là là donc on a du 1 + X2 à la puissance 2 et donc DX donc j'ai bien le côté droit par contre ici il faut que je travaille un petit peu le côté gauche donc ben c'est une intégrale d'une constante donc la constante va sortir vous multiplierez par la largeur de l'intervalle mais quand on fait k sur N- - 1/ N ça donne 1/ n donc ça veut dire que ici du côté gauche j'ai exactement 1/ n FO la constante 1/ n x 1 sur donc 1 + k sur N alors je remettre l'exposant in 2 donc là j'aurais du 1 + k sur N carré expos - 2 plus petit exactement que la bonne intégrale donc on a terminé cette question pour la question donc 5A il faut un petit peu relier tout ce qu'on vient de faire alors regardez on avait donc nous hein ce qui nous intéresse c'est de revenir à w- n w- n on l'a encadré on est on a dit quoi que 0 était infaur ou égal à wn - Un inf ou égal à donc e/ 2 fois la somme de K = 1 à k = n des n sur N2 + k² t² il faut que je trouve le lien avec ce qu'on vient de faire moi je viens de majorer quelque chose ici avec du K sur N donc ce qu'on vient de faire c'est du on avait du 1 sur N x 1 + k sur N carré exposant 2 donc je remets un exposant un peu plus un Expant positif j'obtiens ceci et donc j'auris 1 sur et dedans on va mettre donc au même déominateur donc j'aurais n² + k² sur n² à exposant 2 donc ça fait 1/ n X n² sur n² + k² au car on n pas si loin que ça parceez nous là on a n donc là j'ai n de TR par que j'ai n car moi je veux n ici donc ici je vais sortir en fait n c'est n FO n donc je sors n car donc là devant j'ai donc FO n car ce qui fait qu'il me reste donc n parce que N sur N ça fait n FO donc N sur n² k² au Carr on se rapproche parce que nous dans notre somme on a ceci ça veut dire que pour estimer la somme pour k de 1 à n dn sur n² + k carré et bien je vais remplacer hein j'ai exactement ceci mais il y a un N là en trop donc ça sera 1 sur Al le 1 sur N sera dans la Somme donc aller doucement pour bien vous comprenez ça fait somme de K = 1 à k= n donc donc des 1/ n FO donc 1 sur N x 1 + k/ N carré à la puissance 2 et ce 1/ n je vais le mettre devant d'accord et là voyez qu'on a une somme de termes ici qui sont tous grâce à la question donc 4C on peut les majorer par une intégrale donc ceci est inf égal à 1/ n fois la somme pour K de 1 à n des intégrales de k- 1/ N à K sur n 1 + X2 expos - 2 DX et ici cette somme en fait on va utiliser chal on va avoir une intégrale avec ici chal qui s'utilise la première borne c'est pour K = 1 donc là on a de 0 sur N donc 0 et la dernière borne ça va être pour k ég n donc on aura du N sur N donc 1 donc ça veut dire que la somme ici elle vaut tout simplement l'intégrale de 0 de 1 + x 2 exp- 2 DX qu'on a et c'est la question en fait ici 2 cette intégrale elle est plus petite que 1 donc ça ça va être inf ég à 1 sur N donc regardez ici bien dans cet encadrement chose somme ici elle est inférieur à 1 sur N donc ça veut dire que on peut dire sur 2 x 1/ N c'est-à-dire e sur 2N et c'est exactement ce qu'on veut ici donc wn- un et bien entre 0 et E sur 2 x N donc e sur 2N et on a terminé cette question c'est un cas qui était un bilan de tout ce qu'on avait fait c'est une jolie question bilan de tout ce qu'on a fait dans le sujet il nous reste grâce à ça une dernière question la convergence de wn al c'est une question bien facile par rapport à tout ce qu'on vient de faire mais c'est la conclusion on a montré que pour tout donc on avait qui est en entre 0 et sur là c'est th des gendarm la limite donc de e sur 2N ég 0 quand n plus infini donc ça veut dire qu'à gauche ça tend vers 0 quand que c'est toujour nul à droite aussi théorème donc d'encadr théorème des gendarmes bien ça veut dire que la limite de wn est ég à 0 or la limite on a déjà calculé la limite de un quand n t vers plus l'infini on a dit que c'était pi/ 4 donc ça veut dire que la limite donc de wn ben déjà elle converge c'est que wn converge et sa limite est la même que celle de un c'est pi sur 4 converge wn converge et il ont même limite et donc limite wn c'est pi sur 4 on a terminé c très joli exercice 3. pour ça vraiment encore chapeau chapeau les Marocains parce que c'est vraiment des superbes sujets 3 point demi pour ça il y a énormément de choses alors ça se fait quand même assez bien mais techniquement c'est solide et c'est très très bien pensé voilà je vous souhaite une bonne fin de journée encore une fois quel beau sujet ces sujet marocain onarrête pas de le dire mais on se rend compte encore pour un sujet qui est uniquement le sujet de rattrapage he donc quand vous êtes capable faire ça vraiment je dis bravo et à bientôt pour la suite