ENCORE UNE PÉPITE CE CALCUL D'AIRE

je t'ai encore trouvé un petit bijisou il faut que tu restes avec moi pour calculer cette air allez bienens on y va la figure c'est donc un rectangle et à l'intérieur j'ai tracé trois traits et ça m'a donné quatre triangles donc voilà il y a des triangles qui ont été formés à l'intérieur de ce rectangle et on connaît partiellement les airs celui du il vaut 5 l'unité de ton choix celui-ci 2 celui-ci 6 et la question c'est trouve l'air de la partie à l'intérieur du triangle central quelque part quel est son air et en fait bien souvent dans ce type de problème on a l'impression qu'on manque énormément de données mais on connait pas longueur par largeur comment je faire pour calculer l'air et çaù le réflexe numéro 1 intervient on n' pas peur on appelle X Y a ou b longueur largeur et à partir de là on entre dans la question mais juste avant de faire ça quelle pourrait être la stratégie pour aller chercher l'air que l'on cherche quel calcul on pourrait faire pour aller chercher cette air là et ben on pourrait d'abord calculer l'air de tout le rectangle à qui on va soustraire et ben les trois triangles de l'Intérieur qui prennent une partie de l'espace et ils prennent combien en tout bah 5 + 6 on a 11 11 et 2 ça fait 13 ah oui donc un chemin que l'on pourrait emprunter oui c'est celui qu'on va prendre c'est essayer de calculer ou d'exprimer LR2 tout le rectangle et à qui on enlève 13 mais encore une fois on a très peu de donné et c'est là où tu intervient et on n pas peur on pose A et B longueur et largeur et ben moi c'est ce que je vais faire la longueur du rectangle je vais l'appeler a et sa largeur B donc a la longueur et B la largeur et à partir de là c'est parti bah je vais exprimer avec du a et du B bah les aires que je connais on va commencer par le triangle du haut tout de suite on va se frotter à une première difficulté l'air 5 mais c'est quoi comme figure bah c'est un triangle rectangle je pense que tu connais comment est-ce qu'on calcule l' d'un triangle rectangle et ben on multiplie les deux côtés de l'angle droit et on divise par de donc comment on trouve c clair et ben on ferait a fois ce côtélà ah mince on le connait pas tu ça tombe pas pile au milieu on le connait pas ce côté mais c'est a FO ça divisé par 5 pour les besoins du premier je vais l'appeler x très vite on va l'effacer mais c'est juste pour qu'on se comprenne suis-moi la clé elle est ici une fois que tu prends cette clélà on va aller beaucoup plus rapidement et tes problèmes seront réglés j'appelle X pour les besoins des 30 secondes qui arrive donc que vaut l'air de ce triangle B on multiplie les deux côtés de l'angle droit ici a X X divis par 2 et ben ça c'est l'air de ce triangle or on m'a dit que ça vaer 5 et ben voilà c'est égal à 5 et en fait on va pousser pour aller chercher X pour exprimer x l'autre côté qu'on connait pas donc qu'est-ce qu'on pourrait faire bah regarde le 2 il divise donc de l'autre côté il va multiplier donc ça fait que a X X égale combien directement bah 5 x 2 autrement dit 10 mais si a X X é= 10 moi je veux X en fait je veux exprimer l'autre côté du triang rectangle c'est la clé de la résolution en fait à chaque fois tu as des triangles rectangles on va connaître une longueur et l'autre on va l'exprimer avec bah ce petit LEM finalement qui va sortir d'ici x é=al quoi bah a il multiplie de l'autre côté il va diviser donc ça fait 10 10 sur a mais 10 c'est quoi ah oui c'est le double de l'air donc tu vois quelque part on peut ressortir un petit théorème qu'on appelle l'EM donc souvent en fait céit les pres de math surtout c la FA qui faisait ça qu il faisit une grande démonstration et ils avaient besoin d'un petit résultat donc tu sais au milieu de l'énorme démonstration il dis attends pose l'EM et SORAZ un résultat comme ça dont il avait besoin pour toute la suite mais là j'ai j'ai voulu qu'on le retrouve ensemble quel est ce résultat tu as un triangle rectangle l'air de ce triangle je l'appelle A majuscule ce côté-là il s'appelle x que vaut ce côté-là est-ce que tu as compris le petit truc en fait c'est le double de l'air divisé par celui-ci donc en fait c'est 2A sur X et ben c'est ce qu'on a fait quelque part ici avec a et X tu vois parce que ce côté-là x on a trouvé quoi 10 sur a le double de l'air sur l'autre côté le petit LEM du jour si tu as bien suivi qui vient de se passer quelle autre longueur sort automatiquement et ben celle-ci regarde ce triangle l'air vaut 6 je connais un des côtés qui vaut B oui maintenant A et B sont nos amis et donc que vaut l'autre côté le l tu vois tu doubles l'air ça fait 12 12 divisé par l'autre côté sympathique d'accord dès que tu es un côté avec un triangle rectangle et que tu connais l'air l'autre sort automatiquement et ben c'est pas mal parce que rappelle-toi nous le but c'est avoir en gros l'air du rectangle on connaît l'air du rectangle A et B sont nos amis l'air du rectangle c'est a x B d'accord à qui on va enlever 13 maintenant on a 1 et 2 c'est fait il faut s'attaquer à celui-là comment on peut exprimer tu le 2 l'air de ce triangle ou plutôt à quoi sont égau ces deux côtésl on peut les trouver si si on peut les trouver on va commencer par celui-là combien est-ce qu'il vaut toute la largeur ça fait B regarde tout ça ça fait B lui prend 10- a donc qu'est-ce qui reste l'écart la sstraction même c'est pas très joli ce côtélà c'est toute la largeur moin 10 sur a comment est-ce qu'on exprime ce côté-là et donc ici de la même manre manière tout le côté fait a cette partie là c'est dou sur B donc qu'est-ce qui reste pour lui et ben l'cart la soustraction entre A et 12/ B et ben voilà même si on naime pas trop tu en a démasqué chaque longueur avec uniquement deux lettres a et b et lesquelles sont intéressantes sur lesquels on n pas encore travaillé bah sur ce triangle là parce que là ici et ici j'ai utilisé le 5 et le 6 pour exprimer les autres longueurs tu as compris le raisonnement maintenant que j'avais les autres longueurs je peux trouver finalement bah l'air du dernier triangle avec bah des longueurs b - 10/ A et A - 12/ B donc maintenant qu'est-ce que je vais faire bah je vais écrire que va l'air de ce triangle ça fait quoi ça fois ça dis-moi que tu l'as directement ça fois ça à quoi est-ce que c'est égal c'est égal à 4 tu vois parce que l'air du triangle c'est on multiplie les deux et on divise par 2 donc si on multiplie juste les deux bah ça fait le double de l'air tu vois c'était un une partie du LEM du jour donc c'est ce que je vais écrire ça fois ça é= 4 contrairement aux apparences c'est assez sympathique d'avoir ça tu vois parce qu'à la base on avait rien on a posé et B on a fait des calculs et on arrive à une égalité même s'il y a A B il y a du a et du B en bas c'est une égalité on va la travailler peut-être qu'on va réussir à sortir A et B tu vois parce que une fois qu'on a A et B on a l'air du rectangle et on a gagné je te rappelle en fait ce qu'on cherche c'est a x B - 13 c'est on peut pousser ce qu'on me demande c'est a B- 13 donc ça que j'aurais dû faire te rappell moi je fais toujours pour avoir ça il me faut ça pour avoir ça il me faut ça et au final je dis bah si j'arrive à trouver ça tac tac je remonte et je gagne donc qu'est-ce qui suffit que tu es pour gagner et ben il suffit qu'on sache combien vaut a x B donc soit tu arrives à trouver A et B séparément tu les multiplies soit directement on va les trouver AB et je crois que c'est ce qui va se passer d'accord donc bref une fois qu'on est ici bah sans grand suspense on va développer bah c'est parti a x B on est à AB ensuite on multiplie e dis-moi que tu vois directement a x ça allez je l'écris ici comme ça j'écrirai pas pour le suivante ça fait ça a X 10/ a et ben les a se simplifient donc il reste juste - 10 ok maintenant ensuite - 12/ B x B là je le fais directement - 12/ B x B bah les B c'est Simp donc il a juste - 12 et ensuite ça et ben moins fois moins ça fait plus donc on multiplie les numérateurs entre eux 120 et les dénominateurs entre eux a 12 x 10 120 B X a c'est a x B donc ég à 4 et ben voilà tu vois B en développement pas si horrible que ça il y a plus qu'une seule personne qui a du dénominateur donc c'est sympa même si on sait pas encore précisément où on va aller on sent qu'il y a plusieurs équipes AB c'est une équipe allez regarde lui je lui mets à côté lui + 120 sur AB et il y a l'équipe des nombres regarde on a ici - 22 et même le 4 je le rat à gauche - 4 = 0 tu vois et après on voit ce qui se passe et même bah - 22 - 4 je peux faire le calcul on est à combien on est à - 26 donc voilà l'égalité tu vois elle est pas si horrible que ça AB + 120 sur AB - 26 = 0 et pourquoi en plus c'est particulièrement cool parce qu'on cherche quoi on cherche pas longueur et largeur on cherche AB directement c'est tuas AB tu gagnes et en plus comme par hasard l'inconnu oui il y en a de B à chaque fois il est par bloc c'est AB AB donc si on arrive à trouver la valeur de AB on a directement gagné donc tout ce que je viens de te dire te font penser peut-être à bah un changement de variable parce qu' en l'état manier AB en tant que bloc on n'est pas super mais si on changeait la lettre et qu'on disait par exemple que y = AB et ben l'équation qu'est-ce qu'elle devient y + 120/ y - 26 = 0 bah une équation beaucoup plus mignonne pourquoi parce que qu'est-ce qu'il suffit de faire bah de mettre tout le monde sur Y comme ça on simplifie par Y et ensuite tu auras une équation dis-moi que tu la vois tu es visionnaire ou pas B du second avec y² donc oui c'est un tout petit peu embêtant tu as y en bas mais tu es plus fort que ça donc on fait en sorte qu'il ne soit plus un problème et ensuite on fera un petit Delta et on va trouver y et juste qui est y y c'est AB donc trouver y c'est directement résoudre le problème il suffira que tu fasse - 13 j'aiisécréé l'équation pour gagner un peu d'espace et pour une fois tiens en fait je vais pas mettre au même dénominateur parce qu'ici en fait si je mettais tout le monde sur Y il part je vais faire autre chose en fait par quel nombre il serait judicieux de multiplier tout le membre de gauche et tout le momre de droite pour ne plus avoir de y au dénominateur une autre façon de réfléchir je fais pas souvent mais c'est bien de varier les plaisirs alors par quel nombre il faudrait multiplier et ben par y parce que toi tu es visionnaire tu as un Y en bas si j'avais un fois y en haut tac il simplifie et ensuite le reste bah c'est du dommage collatérale c'est la vie il se passe des choses tu vois mais moi ce que je veux c'est que regarde les y se simplifie pour cette fraction là maintenant on développe y X Y bah ça fait y² ça c'était le but de la manœuvre y fois ça les y se simplifie il reste juste 120 tu vois c'est une autre façon de réfléchir qui est pas mal je la referai parce que j'ai bien aimé moins quoi 26y = 0 X Y bah 0 et ben voilà j'ai fait mon travail c'est peut-être un peu plus court et ben j'ai une équation toute mignonne je vais les intervertir eux deux pour que ce soit ordonné donc reste à résoudre cette équation et on a quasiment gagné tu as suivi le raisonnement comment est-ce qu'on fait pour résoudre ça bah équation du secondde degré on pourrait faire Delta donc en fait tu vois une fois que tu as trouvé y peut-être tu auras deux solutions et une qui ne convient pas et on pourra dire c'est bon j'ai gagné pourquoi ça PE pas convenir parce que A et B ce sont des personnes en tu vois c'est pas juste des nombres dans l'absolu ça correspond à longueur largeur donc bah A et B déjà ils sont positifs c'est pour ça que là comme il y a une histoire on va trouver des y candidats et ensuite on tranchera donc soit on pourrait faire Delta soit va factoriser à l'américaine je suis devenu un peu addicte à ça dès que je dois résoudre une équation du second degré et qu'il y a rien devant le y et ben j'essaie systématiquement de résoudre à l'américaine c'est quoi résoudre à l'américaine c'est se dire que si je ressemble à ça à la fin après avoir développé c'est qu'à la base j'étais comme ça une s de double produit et comme le coefficient de devant y² il vaut 1 et ben il y a y il y a y il y a plus qu'à trouver bah les nombres qui vont ici pour bien compléter et là il y a une règle que tu dois connaître en fait le produit de ces deux nombres quand tu les multiplies tu dois arriver sur 120 premère indice deuxème indice quand tu vas les ajouter faut que tu arrives sur - 26 et ben voilà trouve mais en fait là qui fois qui donne 120 il y a pas mal de possibilités 12 x 10 4 x 30 3 x 40 5 xis combien 5 x 24 il y a pas mal de possibilités et donc essaie de trouver en fait deux possibilités dont en fait le produit 120 on l'a dit mais la somme fait - 26 donc déjà a priori peut-être s'ils sont tous les deux négatifs pourquoi pas comme ça quand on les ajoute - 26 est-ce que tu arrives à trouver rapidement qui fois qui moi quand j'ai fait sur mon brouillon le premier couple auquel j'ai pensé ce que c'est c'était 30 et 4 parce que 30 x 4 ça fait 120 ou il y a les opposés mais comme leur somme fait 26 j'ai vu e mais 30 4 ça fait bien 26 donc je dis ah oui non c'est pas dans ce sensl ça va être comme ça - 34 comme ça quand je les ajoute je suis à - 26 mais ça marche pas leur produit doit faire plus 120 ah bah c'est pas bon leur produit il fait pas plus 120 il fait - 120 donc faudrait que ce soit comme ça mais là mince ça ne marche pas parce que bah leur somme ne fait plus - 26 donc c'était pas le bon couple et bon après j'en ai trouvé un autre tu vois parce que je fait assez vite dans ma tête 120 il est assez connu parce que c'est 60 x 2 60 c'est les minutes donc les décompositions moi je les connais assez bien et en plus c'est pas une décomposition folle c'était 20 avec 6 parce que 20 x 6 ça fait bien 120 et si on les ajoute Fall les moins ça fait bien 26 - 20 x - 6 check - 20 + 6 double check ben voilà y - 20 y - 6 ça c'est la factorisation de ce polynôme là j'espère que comme moi tu es devenu addicte à ça moi j'aime beaucoup et voilà pourquoi c'est du bonheur parce que une fois que c'est comme ça les solutions apparaissent tu vois elles sont visibles si y = quoi on gagne y = 20 ou y = 6 une fois que tu as factorisé tu te poses attends y doit être égal à quoi pour gagner 20 et 6 sinon tu fais équation produit nul mais qui était y déjà ah oui c'était l'air c'était le a x B donc AB = 20 ou AB = 6 en plus il était pile au bon endroit y c'était AB donc une fois qu'on a trouvé y on repart sur not vraie variable qui était a x B donc AB = 20 ou AB 6 et comme d'habitude ce sont les candidats comme il y a une histoire bah la plupart du temps il y en a une des deux qui ne convient pas bah c'est l'intérêt pour un prof de tu vois laquelle ne convient pas c'est celle-ci pourquoi il y a peut-être plusieurs arguments qui peuvent convenir pourquoi ne convient pas moi je vais regarder en haut bah la somme AB c'est l'air de tout le rectangle d'accord a x B c'est l'air de tout le rectangle mais on sait que la somme des trois petit triangle fait 13 bah donc tout le rectangle doit avoir une air bah plus grande que 13 parce que dans le rectangle il y a 13 déjà bah tout le rectangle c'est plus que 13 et AB ça veut dire l'air de tout le rectangle bah il peut pas être égal à 6 vu que dedans il y a 13 déjà tu as compris donc lui c'est pas possible bah le seul candidat recevable c'est AB = 20 donc ah ouais l'air de tout le rectangle fait 20 et donc l'air de cette partie là 20 - 13 ça fait 7 avant que tu partes pourquoi je suis amoureux de cet exercice pour plusieurs raisons mais notamment parce qu'ici en fait une fois qu'on a posé A et B X Y peut-être qu'on disait ce serait bien que je trouve a ce serait bien que je trouve B comme ça je fais a x B je gagne et en fait non en fait ce serait bien que je trouve AB directement parce que c'était pas AB en fait on s'en fiche de combien vaut la longueur et la largeur c'était pas important moi c'était combien valait l'air de tout le rectangle c'est ça qui m'a apporté donc en fait ma vraie variable c'est directement a x B et c'est ce qu'on a fait on n pas cherché à calculer A et B de manière isolée mais calculer directement le produit AB B et c'est un truc que j'aime beaucoup en fait on déplace inconnu pour chercher pile ce qu'on veut enfin voilà donc j'espère que j'ai pas menti que Ctait encore une petite pépite que tu as pris du plaisir moi j'en ai pris et donc j'espère que ça t'a plu