Première Spé maths-Cours et démonstration - Dérivée d'une somme - U+V

bonjour à tous Aujourd'hui démonstration du cours dérivée d'une somme en français la dérivée d'une somme c'est la somme des dérivées ça veut dire qu'on prend deux fonctions u dérivables sur un intervalle ou sur une réunion d'interval et bien la fonction u + V est dérivable sur I la somme donc de U et V et la dérivée donc de la somme c'est voyz u prime+ v prime c'est-à-dire la somme des dérivées donc ça veut dire que quand on a une somme alors après on pourra l'étendre à deux termes trois termes quatre termes si on a une somme de plusieurs termes et bien pour dériver on va dériver terme à terme et on fera la somme des dérivées vous voyez pour les sommes c'est très simple alors ça ne sera pas aussi simple que ça pour les produits mais pour les sommes en tout cas c'est bien exemple avant de faire démonstration si je dois dériver la fonction f ici d'expression X4 + 6x 2 - 4 + 1/ X et bien sur R étoile chacun des quatre termes correspond à une fonction dérivable donc pour dériver c'est tout simple on dérive x 4 ça fait 4x3 on dérive 6 x 2 ça fait 12x et on va ajouter on dérive 4 ça fera 0 donc on peut mettre + 0 on n pas obligé on dérive 1/ x ça donnera 1/ x voyez on dit qu'on dérive terme à terme en fait on fait la somme des dériv c'est très simple ça permettra dériver tous les polynômes et plein d'autres fonctions donc la démonstration elle et bien on va reutiliser ces fameuses limites ces taux de variation on prend donc un nombre a appartenant à i un nombre Hel que A + H appartient aussi à I et nous on veut et bien regarder u u + V qu'on applique en A + H Mo ins u + V qu'on applique en a sur H al il faut bien comprendre ce que c'est que u + V rappelle u + V c'est la fonction qui a x associe u de X + V x donc ici bien je vais écrire ça taux de variation ça fera u appliqué en a + H + V appliqué en A + H in u appliqué en a u appliqué in V pardon appliqué en a le tout divisé par H et bien on va séparer ça en deux quotients le premier quotient avec tout ce qui concerne la fonction u voilà plus 1 deè quotient avec les termes qui correspondent à la fonction V on obtient donc deux termes et là maintenant on va utiliser les dérivabilités respectives de U et V en a U est dérivable en a donc ceci voyez ceci c'est taux de variation de U entre a + H et a ou entre A et A + H et on trouve que ça par dérivabilité d'u ça tend vers u prime de a comm petit h t vers 0 le deuxème terme V est dérivable en petit a condition du théorème de la propriété plutôt quand h TS 0 ceci a une limite finie qui est le nombre dérivé de V donc vous voyez qu'ici bien ça veut dire que ce quotient taux de variation de U + V il tend vers donc u Prim a + V prime a qu h tant vers 0 et donc ça ça veut dire tout simplement que l'autovariation a une limite finie donc la fonction u + V est dérivable en a donc u + V est dérivable en a et comme on a pris a quelconque et bien u u + V est dérivable quel que soit a dans l'intervalle I dont la fonction u + V est dérivable sur I vous voyez c'est tout simple on sépare en fait en deux termes cette ce rapport qui un petit peu plus compliqué mais chaque terme correspond à un taux de variation de la fonction u et de la fonction V et la conclusion est immédiate voilà donc rappelez-vous le plus important je dirais c'est cette fameuse phrase la somme donc la dérivée d'une somme c'est la somme des dérivées donc u + V prime c'est u prime + v'e alors ça si vous allez faire ça tout naturellement au bout d'un certain temps vraiment on fait ça de façon très naturelle il faudra faire attention parce que pourir dériver d'un produit c'est beaucoup plus compliqué donc attention voà il a très bien