Introduction au calcul infinitésimal

Bonjour et bienvenue dans cette nouvelle séquence. Alors c'est une séquence importante car il s'agit ici en fait d'introduire un des plus vastes et plus importants domaines des mathématiques. Je fais allusion ici à ce qu'on appelle l'analyse mathématique. L'analyse regroupe des choses dont il y a peut-être déjà entendu parler comme le calcul différentiel, le calcul intégral ou encore le calcul des variations. Tous ces cadres théoriques extrêmement importants en mathématiques reposent sur le principe même du calcul infinitésimal qu'on va donc découvrir dans cette séquence. Alors voilà, comme je le fais bien souvent ce Clipédia, je te propose ici une introduction historique. Et quand on regarde l'histoire des mathématiques, on constate que le calcul infinitésimal a été développé essentiellement dans le courant des 17ème et 18ème siècles. C'est une histoire assez récente. Mais si on y regarde attentivement, si on regarde ce qui était proposé avant ça, et bien force est de constater que les bases du calcul infinitésimal ont été jetées il y a déjà 2500 ans. Avec Antiphon qui est un philosophe grec du 5ème siècle avant Jésus-Christ qui a donc proposé une technique de calcul de la circonférence du cercle. La circonférence du cercle qui occupait beaucoup les esprits à l'époque. Il fallait trouver une solution. Et bien Antiphon propose une voie vers cette solution. Et ce qu'il propose donc, c'est de calculer la circonférence du cercle en assimilant le cercle à un polygone régulier à grand nombre n de côtés. Alors tu ne reconnais peut-être pas ici un polygone régulier parce que les côtés sont extrêmement petits. Mais si je limite le nombre de côtés à 6, tu reconnais forcément l'hexagone qui est bien un polygone régulier à 6 côtés. L'idée d'Antiphon est simple, c'est que si on arrive à calculer le côté du polygone régulier, le côté qui a donc une certaine longueur que j'appelle L ici, et bien il suffit de multiplier cette longueur par le nombre de côtés qu'on a pour obtenir le périmètre de ce polygone régulier. Et l'idée était que ce périmètre consistait en une bonne approximation. Tu vois que je mets un égal ici avec des petites vagues pour dire qu'il s'agit d'une approximation de la circonférence du cercle que je viens d'indiquer ici, c'est-à-dire le cercle de même rayon R ici que le polygone. Voilà, et bien sûr l'idée d'Antiphon était que cette approximation allait être d'autant meilleure que N allait être grand. Et c'est donc pour ça que je peux représenter ici un polygone avec un très grand nombre de côtés parce que là effectivement les côtés sont tellement petits qu'ils se juxtaposent très bien ici pour former une forme géométrique très très proche de celle du cercle. Et on se doute bien à ce moment-là que le périmètre de ce polygone à grand nombre de côtés et de rayon R allait être une très bonne approximation de la circonférence du cercle qui est ici donc de même rayon. Voilà, ça c'est l'idée d'Antiphon. Il n'a pas mis en œuvre cette idée. Antiphon était essentiellement un philosophe. Il n'était ni scientifique ni mathématicien. Il a fallu en fait attendre 200 ans avec le génie mathématique d'Archimède pour appliquer cette méthode. Et c'est comme ça qu'Archimède a découvert la formule de la circonférence du cercle et au passage bien sûr il a découvert le nombre π que tu reconnais ici. Cette formule qui dit que la circonférence du cercle vaut 2 × π × R. Voilà, une petite formule qu'il te faut absolument retenir. Elle est essentielle bien entendu. Voilà, je vais repasser ici très brièvement de façon très simplifiée et résumée. Je vais repasser donc sur la méthode d'Archimède. Comment est-ce qu'il a mis en œuvre l'idée d'antiphon ? Eh bien c'est relativement simple, tu vas le voir. Il est parti de l'hexagone. Pourquoi est-ce qu'il est parti de l'hexagone ? Parce que dans ce cas-là, la longueur L ici est très facile à connaître bien entendu. Tu te rappelles bien que l'hexagone peut être décomposée en triangles équilatéraux. Ça veut dire que tous les côtés ont la même valeur que le rayon R du cercle qui nous intéresse. Je peux donc l'écrire ici. Le périmètre sera donc bien donné par 6 fois le rayon. 6 fois le rayon ici me donnera le périmètre de l'hexagone qui sera une bonne approximation de la circonférence du cercle. Effectivement, si je mesure ici le périmètre de cette hexagone, je ne serai pas si loin que ça de la circonférence du cercle de même rayon. Voilà, et si j'écris cette approximation ici, je peux dire que c vaut à peu près 6 fois le rayon. Je vais l'écrire et je vois que ceci me fournit une première approximation du facteur à mettre ici dans la formule de la circonférence du cercle. On voit que 2π vaut à peu près 6. C'est-à-dire que π vaut à peu près 3, ce qui est une bonne approximation. Mais l'idée n'était pas de s'arrêter là. Un antiphon a proposé que l'approximation serait bien meilleure si n est très grand, comme l'indique ici ce schéma. Et donc, c'est là qu'on va retrouver tout le génie d'Archimède. C'est qu'Archimède a trouvé une petite formule très astucieuse qui lui a permis de calculer la longueur du côté d'un polygone à chaque fois qu'il multipliait le nombre de côtés par 2. C'est-à-dire qu'à partir de la connaissance de n égale à r ici pour l'hexagone, il a pu calculer la longueur du côté pour le dodecagone. Quand on multiplie n par 2, j'arrive à 12 ici, pour lequel le périmètre sera donné par 12 fois l. Et le l, là, je le répète, il a trouvé une petite formule magique qui lui fournissait cette longueur à partir de la connaissance de la longueur qu'il y avait pour le polygone à 2 fois moins 2 côtés, c'est-à-dire 6. Et ce qu'il a trouvé, c'est la formule suivante, qui est un petit peu compliquée, mais ça n'arrêtait pas Archimède. Il était capable de calculer des racines carrées. Il a pu calculer ici le facteur de r qu'on a, qui est de 0,518. Et il suffisait de multiplier cette valeur-là par 12, puisqu'on a bien 12 côtés maintenant. Si je fais 12 fois 0,518, eh bien, j'obtiens 6,22. Et ce 6,22 est donc une approximation de 2π. Et ça lui a permis d'avoir une meilleure approximation de π. Il est passé de 3 à 3,11, ce qui est effectivement une meilleure approximation de π. Et voilà. Et grâce à sa petite formule qui lui fournissait la longueur du côté du polygone à chaque fois qu'il multipliait le nombre de côtés par 2, eh bien, il a réduit le problème. Le problème géométrique ici du calcul du périmètre devient un simple problème algébrique. Il a appliqué sa formule à la longueur du côté du dodecagone pour avoir la longueur du côté du polygone à 24 côtés. Il a multiplié 12 par 2 pour avoir 24 côtés. Il a pu calculer L. Et il avait une meilleure approximation de C. Et puis, il est passé à 48 côtés. Il avait toujours une formule pleine de racines carrées, mais il était capable de les calculer. Et il obtenait encore une meilleure approximation de C, c'est-à-dire une meilleure approximation de π. Et puis, il est passé à 96,96 côtés, pour lesquels il avait une formule encore plus compliquée, pleine de racines carrées, qu'il était capable de calculer. Mais là, il a dit, OK, c'est bon, j'ai donné, ça suffit, je m'arrête là. Et avec 96 côtés, il obtenait une situation tout à fait comparable à celle-ci, son polygone devenait extrêmement proche du cercle. Et voilà. Donc, il a obtenu une meilleure approximation encore. Avec 96,96 côtés, il a obtenu l'approximation de π, qui est 3,14, qu'il a obtenue grâce à l'idée d'antiphon. Il a fait tout simplement 96,96, fois le L qu'il obtenait ici, avec sa petite formule magique algébrique, pour les 96,96 côtés. La valeur de C qu'il a obtenue lui a permis d'avoir une valeur bien plus précise de π, qui est 3,14. Voilà. Alors Archimède s'est arrêté là parce qu'il en avait assez de calculer. Mais en fait, il aurait pu continuer. Et c'est ce qu'on peut faire aujourd'hui, d'ailleurs, avec l'ordinateur. Tu penses bien qu'on peut encore multiplier par 2, par 2, par 2, pour arriver à un nombre qui est très proche de 200 000 ici. Grâce à l'ordinateur, on pourrait comme ça obtenir π avec beaucoup plus de précision. Et voilà. Et l'idée, bien sûr, c'est de s'arrêter quand n vaut l'infini. Quand n vaut l'infini, j'ai la valeur exacte de π. Ça, c'est l'idée qu'on peut maintenant analyser d'un point de vue algébrique. Pour ça, je vais reprendre ici la formule du périmètre que j'utilise pour avoir une évaluation de la circonférence du cercle. Tant que n n'est pas infini, c'est une approximation. Maintenant, on va exprimer le fait qu'on est arrivé à l'infini. On est arrivé à une précision idéale. Quand n tend vers l'infini, tu as compris que la longueur des côtés ici tend vers 0. On se rapproche du cercle de manière idéale et on a bien la valeur exacte de la circonférence du cercle, c'est-à-dire la valeur exacte de π que je symbolise ici en mettant des petits points. Voilà. Donc, je vais indiquer ça. n vaut l'infini. On peut s'intéresser alors à n. Je viens de te dire que quand n augmente beaucoup, n diminue. On peut se douter que n va être égal à 0. On peut toujours s'en assurer en disant que n, c'est p sur n, ce qui est écrit ici. OK. Si n vaut l'infini, j'ai un nombre qui lui sera toujours fini. p, ça tend vers la circonférence du cercle. Ça, c'est une mesure qui n'est pas infini. Tu es d'accord ? C'est un nombre. Et tout nombre divisé par l'infini, on sait que ça donne 0, effectivement. Algébriquement, ça donne bien la même chose que ce qu'on avait comme vision, ici, géométrique du problème quand le nombre de côtés tend vers l'infini. n tend vers 0. Voilà. Je suis donc avec un n égal à l'infini. Et dans ce cas-là, on voit que l est égal à 0. Et c'est là que les choses commencent à se corser. Parce qu'on peut dire ici que le approximativement devient égal puisque l vaut 0. La longueur des côtés du polygone tend vers 0. Je suis donc bien avec un cercle. Cette fois-ci, tu dois imaginer le polygone avec ses angles. Ces côtés ont une largeur qui tend vers 0. Et donc, le polygone est assimilable tout à fait à un cercle. Et donc, à peu près, ici, devient un égal. Le périmètre devient égal à la circonférence. C'est pourquoi je peux prétendre, dans ces conditions-là, d'obtenir la valeur exacte de π. Mais voilà. On voit qu'on tombe devant une difficulté ici qui est de dire que l vaut 0, cette fois. Et là, on a quelque chose qui est assez surprenant. On voit que le périmètre est donné par l'infini fois 0. Mais qu'est-ce que ça veut dire, l'infini fois 0 ? On est devant un gros problème ici. Quand je dis l'infini fois un nombre, l'infini fois n'importe quel nombre, tu es d'accord que ça donne l'infini. Si je multiplie l'infini trois fois, forcément, ça me donne l'infini. Mais que devient le résultat lorsque ce nombre devient 0 ? L'infini fois 0, qu'est-ce que ça pourrait être ? On ne sait pas trop. Et inversement, 0 fois un nombre, en principe, ça donne 0. Si je multiplie 0 par 3, par 10, par 100, par 100 000, j'ai 0. Mais que devient le résultat quand le deuxième nombre est l'infini ? On ne peut pas répondre. On ne sait pas. Et on voit donc qu'on est devant une grosse difficulté. Parce que selon la proposition d'Antiphon, c'est quand n égale à l'infini et que l égale à 0, qu'on peut dire que le périmètre est égal à la circonférence. Et on voit que dans cette situation-ci, on a quelque chose de complètement ininterprétable. On ne peut pas interpréter ce résultat. Et c'est là qu'on voit donc qu'il faut faire quelque chose. Il faut faire quelque chose pour appréhender l'approche ici proposée par Antiphon et Archimède. Et ce quelque chose va consister à dire que n ne vaut pas l'infini. On va abandonner cette idée ici de l'infini et du l égal à 0. On va tout simplement dire que n tend vers l'infini. Exactement comme je le mets ici d'ailleurs. Ce qui est beaucoup plus réaliste bien sûr. Tu penses bien qu'avec la méthode d'Archimède, on n'arrivera jamais à l'infini. Comment est-ce qu'on pourrait arriver à l'infini ? En appliquant les formules d'Archimède, on sait bien qu'on n'y arrivera jamais. Et on n'arrivera jamais à une valeur exacte de π. Personne ne connaît le nombre π d'ailleurs. Il faut bien prendre conscience de ça. Donc, on peut dire que n tend vers l'infini. Ça oui, on peut le dire. On va considérer n comme étant un nombre arbitrairement grand. Aussi grand qu'on le veut. Tu choisis un nombre gigantesque, tu peux le choisir encore plus grand. C'est comme ça qu'on va le comprendre. Et là, ça devient quelque chose d'assez subtil. On ne parlera plus de n égal à l'infini. On dira que n tend vers l'infini. Ça peut sembler assez subtil, mais tu verras que tout ça va prendre du sens plus tard. Alors, si je dis que n tend vers l'infini plutôt qu'être égal à l'infini, je vois que j'ai pour n un nombre divisé par un très très grand nombre, aussi grand que je le veux. Mais pas l'infini. Et donc, je vois que je n'aurai pas zéro, mais j'aurai un nombre qui tend vers zéro. J'aurai un nombre qui se rapprochera d'autant plus de zéro que n se rapproche de l'infini. C'est comme ça qu'on va considérer les choses. Et ici, on va donc dire que n tend vers l'infini, mais que n n'est pas égal à zéro. Que n tend vers zéro. On va vraiment prendre ce résultat-ci au pied de la lettre. Et là, on est au cœur du calcul infinitésimal. Il faut vraiment que tu comprennes ça. Dans le calcul infinitésimal, on va calculer des grandeurs comme étant un nombre arbitrairement grand de grandeur arbitrairement petite. C'est exactement comme on le propose ici. Voilà. Ça, c'est le cœur du calcul infinitésimal. Le calcul infinitésimal va consister à gérer cette idée de grandeur qu'on obtient à partir d'un nombre infini de grandeur infiniment petite. Un nombre infiniment grand de grandeur infiniment petite. Voilà. Et tu comprends pourquoi ça s'appelle infinitésimal. Parce que l'infini joue un rôle tout à fait central, bien sûr, dans le principe même du calcul infinitésimal. On voit que, je répète, on va traiter un nombre infiniment grand de grandeur infiniment petite. Infini et infini apparaît deux fois. Une fois pour un nombre infiniment grand et une fois pour un nombre infiniment petit. Voilà. Le tout, ça va donc être de gérer ceci dans le calcul infinitésimal. Et comme tu vois, grâce à l'idée d'antiphon, ça a apporté un résultat. Grâce à ça, Archimède a pu voir que c vaut 2πr. La circonférence du cercle vaut 2πr. Où π est donné par un nombre qui peut être approché aussi bien qu'on le veut mais qu'on n'obtiendra jamais parfaitement. Voilà. Ça, c'est l'idée du calcul infinitésimal. Et tu vas voir que ça va conduire à l'idée de la décomposition infinitésimale. C'est ce qu'on va voir dans la prochaine séquence. On va voir, en l'occurrence, qu'Archimède était capable de trouver la formule de la surface du cercle qui est donc πr² à partir d'une décomposition du cercle en petits triangles comme ça de surface infinitésimale, de surface arbitrairement petite. Tout ça parce qu'il a assimilé le cercle à un polygone régulier à n côtés, n tendants vers l'infini. Voilà. On découvrira ça ensemble dans la prochaine séquence. Je t'y invite, bien sûr, et te remercie maintenant pour ton attention. À très très bientôt.