7ˣ + 7²ˣ +ˣ 7³ˣ = 14 - ÉQUATION DES OLYMPIADES 💪

nouvelle question des Olympiades et tu as le niveau allez viens l'équation à résoudre 7 exposant x + 7 exposant 2x + 7 exposant 3x = 14 avec X je l'ai pas mis x appartient à r X est un réel comment est-ce qu'on va faire bah X à l'exposant on a fait pas mal sur la chaîne on peut pas y aller directement il faut trouver un billet un petit chemin faire un petit pas de côté pour aller chercher la solution et en fait généralement on va pas tout de suite chercher x qu'est-ce qu'on fait généralement on fait un changement de variable on pose un grand X ou un y une autre variable et on trouve une nouvelle équation beaucoup plus abordable et ensuite on repart chercher x tu vois c'est généralement comme ça qu'on fait parce que X à l'exposant à part mettre du ln du logarithme bah il y a pas de chemin tout tracé il y a pas de formule et en plus si tu regardes un peu les trois éléments c'est pas n'importe qui c exposant X c exposant de X comment ils sont l'un par rapport à l'autre et B c'est son carré tu vois quand tu multiplies les exposants c'est qu'en fait tu es au carré parce que tu sais que si tu as a pu n le tout exposant P qu'est-ce que ça donne et ben on les multiplie ça fait a exposant n x P donc si tu arrives va avoir une multiplication oh c'est le cas une multiplication à l'exposant tu es en mode puissance de puissance donc en fait si j'y vais directement C exposant 2x qu'est-ce que ça donne tu regardes de droite à gauche allez je t'aide je l'ai écrit comme ça c exposant 2x c'est C exposant X X 2 regarde CIT en mode X X 2 on peut dire c'est 7 exposant x le tout bah le tout au carré voilà ce que ça donne donc lui c'est le carré lui on a fait tellement sur la chaîne normalement tu le vois directement et donc lui qu'est-ce que c'est bah lui c'est son cube c'est cet exposant x le tout au cube et le premier bah il reste 7 puissance x ah ouais j'ai un truc son carré et son cube et ben voilà le changement de variable apparaît presque directement naturellement donc on va poser y é= ça et enfin entrer dans la résolution petite pause dans la résolution pour remercier le sponsor de cette vidéo bah c'est nous c'est Academy on a 70 secrets de calcul qu'on a mis dans un magnifique coffret avec des cartes pour devenir un expert de calcul mental à la fois des astuces pour la vie de tous les jours et d'autres aussi pour Brill en société com on a bien dire non mais c'est asuce tu wou et B oui ça marche parce qu'à la fois il y a un petit moment où te montre pourquoi ça marche mais également après tu auras SEP petits exercices pour t'assurer que tu as bien compris l'astuce donc n'attend pas command les le lien est sous la vidéo et elles arrivent en 2 3 jours chez toi France méopolitaine j'ai récréé l'équation avec un petit jeu de couleur pour que tu vois bien un changement de variable si tu es pas encore clair voilà cette exposant x arrive un peu partout dans l'équation donc on a qu'à poser bah y ce truc là cette exposant x donc que devient l'équation y plus bah y² tu vois tu vois bien lui il devent y bah y² + y³ = 14 voilà nouvelle équation à résoudre c'est comme si arrivé je dis bonjour allez résoudre cette équation là comment est-ce que tu fais déjà tu ordonnes généralement on est plus à l'aise qu'on a la plus grande puissance en premier y³ + y² + y et même - 14 = 0 même si on aurait pu dire ah oui à la première ligne on pourrait factoriser par Y et voir ce qui se passe on aurait pu le faire mais un produit égal à 14 et non pas égal à 0 c'est sympa que quand tu as des nombres entier mais ici vu le type d'équation en fait je raisonnerai pas comme ça même si on va le voir y va être entier mais c'est pas la question c'est parce que y va être entier qu'en fait factorisé par y était la meilleure façon de faire tu peux mais moi je vais faire autrement ok comment est-ce qu'on fait pour résoudre une équation du 3è degré tiens on na fait pas tant que ça un petit peu pas tant que ça pour faire ça il y a le réflexe numéro 1 quand tu as une équation du 3e degré comme il y a pas vraiment de formule ou plutôt elle est hardcore elle est vraiment indigeste moi je la connais même pas généralement en fait on cherche une racine évidente une solution évidente un nombre gentil qui marche qu'est-ce qu'un nombre gentil 1 2 1 2 1 ne marche pas parce que pour que 1 soit solution il faudrait que la somme des coefficients soit égale à 0 1 + 1 + 1 - 14 ça fait pas 0 donc moi je vais tenter ma chance je vais dire allez imaginons que y soit ég 2 est-ce que ça marche 2 au³ ça fait 8 2 au Carr ça fait 4 2 bah ça fait 2 14 combien est-ce que ça fait on a 10 ça fait 0 qu'est-ce que ça signifie qu'en fait le numbre 2 est une solution de l'équation et si on parle que du polynôme le nombre 2 est une racine du polynôme qu'est-ce que ça veut dire comme le nombre 2 est racine de ce polynôme alors on peut le factoriser par y - 2 autrement dit tout ce polynôme va s'écrire y - 2 fois quelque chose et donc tout le but c'est trouver bah l'élément qui est là mais là c'est la partie un petit peu sympa parce que trouver le polynô qui est ici c'est ludique franchement c'est un petit jeu tu es un enquêteur trouve ce qui doit fonctionner parce comme on sait que ça va s'écrire comme ça et ben il y a pas 15000 possibilités et tu vois j'espère que tu vas être d'accord avec moi c'est plutôt sympathique mais pour ça faut que tu es cons e le polynome qui va être ici il sera de quel degré la plus haute puissance de y c'est combien bah y² tu vois parce que en tout j'ai du y³ je lui retour 1 y bah c'est du y² donc il y aura bah il y aura trois éléments il y aura l'élément y² l'élément y et le nombre et sur les trois il y en a deux qui sont figés deux qui sont fixés il y a pas le choix qui est qui bah déjà le premier tu vois parce que à la fin je veux retrouver y³ y fo quoi me redonne y³ tu as pas le choix tu as pas le choix y² ok pause il y en a un autre qui est fixé lequel bah la constante à la fin je veux - 14 tu es la seule multiplication qui va me donner un nombre normal une constante bah c'est le - 2 avec le nombre qui est ici question pour toi - 2 fois quoi me redonne - 14 bah - 2 fois + 7 voilà il y a plus qu'à trouver le protagoniste en y est à gagner bon là maintenant faut réfléchir un peu mais à vous c'est sympathique tu vois regarde quand tu as mis le y² y x y² cool mais il y a ce que moi j'appelle le dommage collatéral qui apparaît parce qu'en mettant y² tu as bah - 2 x y² qui sort tu vois il y a - 2 y² qui sort mais à la fin je veux quoi bah à la fin je veux y² à la fin je veux 1 y² mais il y a - 2 y² qui est sorti donc il faut compenser tu vois tu es à - 2 y² à la fin tu en veux qu'un seul donc combien il faut en rajouter combien il t'en manque bah il t'en manque trois il faudrait avoir + 3y² comme ça c'est bon y² ils sont tout tout propres ils rentrent dans les cases donc voilà il y a plus qu'une possibilité pour que 3 y² sortent qu'est-ce qu'il te faut ici on va mettre en orange aussi bah il faudrait 3Y comme ça y x 3Y 3y² c'est bon tu vois ça compense le - 2 y² qui était sorti tout à l'heure et après on va juste vérifier qu'on a bon pour vérifier avec le y quand on a fait + 3Y en y qu'est-ce qui sort regarde il y a du - 6 y qui sort et ensuite avec la constante regarde y x 7 il y a + 7 y qui sort - 6y + 7Y ça fait 1Y je crois ou y yes on a bien factorisé avoue c'est sympa et là c'est terminé he tu as conscience qu'on a terminé ou pas parce que nous on devait résoudre cette équation là on pouvait pas la résoudre x direct on fait un pas de côté on sort y avec une équation plus douce à résoudre à peine plus douce parce qu'elle était en y³ et en fait résoudre ça bah c'est pareil que résoudre ça donc on a une première solution qui est y = 2 donc maintenant reste à résoudre y² + 3Y + 7 = 0 et tu auras les autres y les autres candidats qui fonctionnent et une fois qu'on aura tous les candidats en y il faudra repartir chercher x parce que ton équation elle est en x et comment on va faire ça avec ça ok comment on fait pour résoudre cette équation là bah Delta je l'ai dit tout à l'heure Delta c'est b² 4 AC B au Carr 3 au Carr ça fait 9 - 4 x 1 x 7 4 x 7 28 donc Delta c'est 9 - 28 pas besoin de faire le calcul pourquoi parce que 9 - 28 bah ça fait un nombre négatif Delta négatif qu'est-ce que ça veut dire c'est dire que cette petite équation n'a pas de solution réelle tu vois cette équation du second degré a pas de solution en fait donc c'est cool finalement tu vois cette équation là qui paraissait un peu embêtante bah elle a qu'une seule solution y = 2 parce que l'autre partie là il y a jamais ce Tru ne vaut jamais é c'est toujours strictement positif ce Tru ne vaut jamais zé donc la seule solution à cette équation là c'est y = 2 et ben c'est trop c'est bon j'ai le seul candidat en Y qui fonctionne or c'était qui y c'est bien de le rappeler or y c'est égal à 7^ X moi j'ai le seul y possible c'est 2 donc en fait l'équation à résoudre c'est bah 2 = 7^ x et voilà va pouvoir retrouver x tout simplement et j'espère que cette équation te fait pas trop peur il faut utiliser une arme qu'on aime pas trop on va pouvoir la résoudre numéro 1 moi j'aime bien avoir mon inconnu à gauche je suis comme ça c'est mon côté psychorigide mon inconnu à gauche ensuite comment est-ce qu'on fait bah c'est embêtant x tuas l'exposant on n'aime pas faudrait le faire descendre qui fait descendre les exposants dis-moi que tu là bah c'est ln c'est notre ami logarithme donc on va composer par ln la gauche et la droite et une des beauté de la fonction exponentielle c'est que ça fait descend les exposents donc ça fait X X ln 7 = ln 2 moi c'est x que je veux donc faut que je me sépare de ln 7 ln de 7 et LN2 ça y est c'est des nombres c'est comme √ 7 peut-être tu sais pas exactement ce que c'est mais ça non c'est ton ami à présent donc pour avoir x bah il faut que je me sépare de ln de 7 comme ln de 7 multiplie de l'autre côté il va diviser voilà donc la réponse est ln 2 sur ln de 7 c'est pas hyper beau mais on a vu tellement pire dans la résolution donc finalement cette équation admet une seule solution réelle celle-ci ln de 2 sur ln de 7 j'espère que ça t'a plu