Seconde -EQUATIONS classiques-E Nathan Hyperbole n°37p97

Bonjour à tous ! Aujourd'hui, équation à destination des élèves de seconde. Donc on a une fonction définie sur R par l'expression x-5²-36, ça sera l'expression de numéroté 1, et on va vous demander d'abord de trouver deux autres expressions de cette même fonction. Donc x²-x plus 11, on montrera les deux, et x-11 fois x plus 11. Vous en avez une où on va développer, l'autre où on va factoriser. Et avec ces trois formes, la 1, la 2 et la 3, on va vous demander de résoudre des équations en choisissant parmi les trois formes, quelle est celle qui est la mieux adaptée. C'est vraiment un exercice important en seconde, il faut savoir comme ça faire les bons choix. Donc on est parti, tout d'abord on va démontrer que nos deux formules A et B correspondent bien à la même fonction. Tout d'abord, x-5²-36, alors si je développe, vous avez ici une identité remarquable. Je redémontre tout, donc on utilise A-B², ça sera A²-2AB plus B², c'est ce qu'on appelle l'identité remarquable. Ici, A vaut x et B vaut 5, donc j'applique, ça fait x², moins 2AB, donc moins 2 fois x fois 5, ce qui fait moins 2 fois 5, 10, moins 10x plus le carré de 5, donc plus 25, moins 36, il n'y a plus qu'à réduire, ça fait x²-10x, ensuite 25-36, ça fait moins 11. Donc vous voyez qu'on vient de démontrer la forme ici numéro 2. On a donc la première forme, la deuxième qui est la forme développée, et une troisième qui s'appellera la forme factorisée. Pour démontrer cette forme factorisée, vous avez deux options, soit, le plus difficile je dirais, c'est partir de x-5²-36, ça c'est f de x, et vous avez factorisé, alors comment on fait ? Il faut reconnaître ici un carré, moins 36, c'est 6², donc vous avez A²-B². C'est une autre identité remarquable, A²-B², on sait que ça fait A-B fois A plus B, donc ici, le A c'est x-5, moins B qui est 6, donc ça fait x-5-6, fois x-5 plus 6, donc je trouve qu'il y a du x, c'est x-1, donc moins 5 moins 6, ça fait moins 11, moins 5 plus 6, ça fait plus 1, donc on obtient ceci, et vous voyez que je viens de démontrer, la forme ici qu'on appelle la numéro 3. On a donc trois formes, alors celle de départ, celle qu'on a obtenue en deuxième, en développant, ça s'appelle la forme développée, bien sûr, et la forme ici, avec les parenthèses, une factorisation, c'est donc la forme factorisée. Chacune va être utile selon le type d'équation. Donc ici, on doit résoudre tout d'abord f2x égale 0. C'est la question 2, quelle forme choisir pour f2x égale 0 ? Alors, on peut tester les trois. Si on doit résoudre x-5 au carré moins 36 égale 0, qu'est-ce qu'on peut conseiller ? On pourrait mettre le 36 de l'autre côté, ça me ferait x-5 au carré égale 36. En faisant ceci, chaque ligne équivaut à la précédente. On peut remonter sans problème, donc un symbole qu'on pourrait mettre ici, ça serait une double flèche qui signifie équivalent. Donc ici, on a un carré qui vaut 36. Quels sont les nombres qui au carré valent 36 ? Vous avez deux possibilités. Qui au carré vaut 36 ? Vous avez 6 ou moins 6. Ça veut dire que x-5 au carré égale 36, ça veut dire que ça va être équivalent à dire que x-5 vaut 6, ou alors x-5 égale moins 6. Dans ce cas, vous voyez qu'on a deux petites équations à résoudre. La première, je rajoute 5 des deux côtés, ça me fait x égale 6 plus 5, ça me fait 11. Et la deuxième, je rajoute 5 des deux côtés, x égale moins 6 plus 5, moins 6 plus 5, ça fait moins 1. J'ai deux solutions. On va écrire ça comme ça, s égale donc moins 1 et 11. On peut aussi répondre en français, l'équation a deux solutions, moins 1 et 11. Si on utilise la forme développée, on arrive vite à une impasse. Pourquoi ? Parce que ça me donne x carré moins 10x, moins 11 égale 0. Et donc là, vous avez une forme qui n'est pas factorisable et qui est du second degré, vous ne pouvez pas résoudre. Donc on est bloqué. Il reste la troisième forme qui vraiment est, je le dis, celle qui est le plus adaptée, parce que ça nous dit que f de x égale 0 équivaut à x moins 11 fois x plus 1 égale 0. Et là, vous reconnaissez quelque chose de très important, c'est ce qui s'appelle une équation produit nulle. Un produit qui est égale à 0. Et quand un produit vaut 0, ça équivaut à dire que l'un des facteurs au moins est nul. Donc x moins 11 est égal à 0, c'est le premier facteur, ou alors si ce n'est pas lui qui vaut 0, c'est le deuxième. Donc on obtient deux possibilités. Ici, je vais rajouter 11 des deux côtés, ça me fait x égale 11, ou x égale, j'enlève 1 des deux côtés, x égale moins 1. Vous voyez que je retrouve évidemment les deux mêmes solutions. Donc pour f de x égale 0, on pouvait utiliser soit la première forme, soit la troisième, mais on choisira prioritairement le produit nul, qui est vraiment quelque chose de très intéressant, qu'on va utiliser, utiliser, et encore utiliser. Pour f de x égale moins 36, regardez les trois formes, il y en a une dans laquelle apparaît moins 36, donc on va évidemment essayer avec celle-ci. Ça donnera x moins 5 au carré, moins 36 égale moins 36. Là, qu'est-ce qu'on fait ? On ajoute 36 des deux côtés, ça me fait x moins 5 au carré égale à moins 36 plus 36 égale à 0. Un carré est nul. Alors là, on peut s'en sortir en disant qu'un carré, c'est x moins 5 fois x moins 5. Et donc on a encore une équation produit nul. On a bien un produit qui est nul, donc l'un des facteurs est nul, donc on va dire équivaut à x moins 5 égale 0, ou x moins 5 égale 0, donc comme c'est la même, on va juste écrire x moins 5 égale 0, ça me donne x égale 5. On conclut, la solution de cette équation, il n'y en a qu'une, c'est 5. Quand vous avez un carré qui est nul, une propriété, c'est que x au carré égale 0, ça équivaut à x égale 0. Quand un carré est nul, c'est que le nombre qui est dedans est nul. Donc ce n'est pas forcément la peine de passer par x moins 5 fois x moins 5. On aurait pu aussi utiliser la deuxième, regardez x carré moins 10x moins 11 égale moins 36, si je mets tout à gauche, en rajoutant 36, ça me fait x carré moins 10x moins 11 plus 36 ça fait plus 25 égale 0. Et vous devez normalement reconnaître ici une identité remarquable, c'est le développement d'un carré avec un moins, donc c'est ici x moins 5 au carré, je vous laisse vérifier, x carré moins le double produit moins 10x plus ce carré de 5 plus 25, et on revient sur ce qu'on vient de voir, ça veut dire que c'est forcément x moins 5 qui est égale à 0 et donc x est égale à 5. Vous voyez, encore une fois, il y a deux formes possibles, mais on préférera vraiment celle où apparaît le moins 36. Pour f2x égale moins 11, regardez, il y a une des trois formes où apparaît le moins 11, donc on se laisse tenter, x carré moins 10x moins 11 égale moins 11, si j'ajoute 11 des deux côtés, il me reste x carré moins 10x égale 0. On a ici une équation du second degré, donc si vous voulez la résoudre, ce serait bien qu'on puisse factoriser, et ça tombe bien, on peut factoriser par x, ça fait x fois x moins 10, on a encore et encore une équation produit nulle, donc l'un des facteurs est nul, ça veut dire que x est égal à 0, ou x moins 10 égale 0, x moins 10 égale 0, j'ajoute 10, ça fait x égale 10, vous voyez qu'on a résolu les deux solutions, 0 et 10. On aurait pu aussi se laisser tenter par la première forme, x moins 5 au carré moins 36 égale moins 11, si j'ajoute 36 des deux côtés, ça me donne x moins 5 au carré égale moins 11 plus 36, ça fait ici 25. Donc 1 carré égale 25, on a déjà vu un petit peu ça, ça veut dire que le nombre, soit il vaut 5, soit il vaut moins 5, parce que moins 5 au carré ça fait aussi 25, et vous voyez qu'on retrouve en ajoutant 5 des deux côtés, x égale 10, ou en ajoutant 5, x égale 0. On retrouve bien sûr encore une fois les mêmes solutions, et heureusement. Vous voyez qu'en C, il y a aussi deux possibilités. Pour la df de x égale moins 10x, on va la regarder, la forme développée a un moins 10x, donc on va tenter ici x carré moins 10x moins 11, on utilise cette forme là, égale moins 10x. Si j'ajoute des deux côtés moins 10x, ça veut dire qu'ils vont disparaître des deux côtés, il restera x carré moins 11 égale 0. Alors là, on a deux options. Soit vous mettez x carré égale 11, et donc comme je l'ai dit, les nombres qui sont au carré d'un 11, il y en a deux, il y a racine de 11 ou moins racine de 11. Une autre possibilité, on peut laisser le 11, il était déjà là, à gauche, et on fait apparaître une belle identité remarquable, x carré moins 11, c'est le carré de racine de 11. Donc vous avez a carré moins b carré, ça veut dire que c'est a moins b fois a plus b. Et vous voyez qu'ici, en réservant nos deux petites équations, on arrive sur racine de 11 ou moins racine de 11. Encore une fois, vous avez deux façons de résoudre. Voilà, cet exercice, il est très important, il faut bien comprendre, refaire, mettre au ralenti si vous avez besoin de pause, et vous essayez, vous essayez, on en refera bien sûr, parce que c'est capital. Je vous souhaite une bonne fin de journée, et à bientôt.