intégrale ♦ Changement de variable + intégration par parties ♦ ∫3^racine(2x+1) dx ♦ Primitive MPSI

Bonjour et bienvenue sur j'ai compris.com Alors l'objectif de cette vidéo c'est de calculer cette intégrale à l'aide d'un changement de variable. Donc maintenant comme d'habitude, appuyez sur pause, cherchez bien cet exercice et si vous êtes bloqué, juste après je vous donnerai une indication. Donc allons-y et premier conseil c'est d'écrire ceci à l'aide de la fonction exponentielle. Et vous devez savoir que quand on a quelque chose de la forme 3 exposant a et bien ça s'écrit exponentielle de a ln de 3 donc j'insiste ici et bien l'idée c'est déjà d'écrire cette expression à l'aide de la fonction exponentielle. Maintenant deuxième idée c'est que cette racine carrée on va essayer de s'en débarrasser et pour cela on va poser t égale cette racine carrée donc racine de 2x plus 1. Donc maintenant si vous étiez bloqué, appuyez sur pause, essayez de continuer tout seul et on se retrouve juste après pour la correction. Donc allons-y, corrigeons cet exercice et première chose à faire et bien trouver par quoi on va remplacer dx, c'est ce que je vous ai écrit ici. Et avant d'avoir dx, déjà il faut isoler x et donc déjà on va se débarrasser de la racine carrée. Donc on est des deux côtés au carré donc ça nous donne t carré égale donc 2x plus 1. Moi je veux isoler x donc ça fait t carré, je regroupe le 1 à gauche donc ça fait t carré moins 1 égale 2x et maintenant pour isoler x, il n'y a plus qu'à diviser par 2 et donc ça veut dire que x est égal à 1 demi de t carré moins 1. Et maintenant pour avoir dx, il n'y a plus qu'à dériver ceci par rapport à t et donc ça fait 1 demi que multiplie la dérivée de t carré par rapport à t donc ça fait 2t, la dérivée de moins 1 ça fait 0 donc ça fait 2t dt et il n'y a plus qu'à simplifier par 2 et donc ça veut dire que dx c'est égal à t dt. Donc dans l'intégrale, le dx on pourra le remplacer par t dt. Et maintenant avant de faire le changement de variable, déjà cette intégrale on va l'écrire avec la fonction exponentielle et donc ça nous donne l'intégrale de 0 à 4 et au lieu de mettre 3 puissance racine de 2x plus 1 et bien on met exponentielle de racine de 2x plus 1 que multiplie ln de 3 dx. Donc maintenant on va pouvoir faire notre changement de variable donc cette intégrale elle est égale à l'intégrale les bornes on verra après, exponentielle, le racine de 2x plus 1 donc on le remplace par t, il nous reste ln de 3 et le dx, on vient d'expliquer qu'on le remplace par t dt Donc maintenant on va s'occuper des bornes, donc quand x prend la valeur 0 on l'écrit quand x prend la valeur 0 donc il faut calculer 2 fois 0 plus 1 et prendre la racine carrée 2 fois 0 plus 1, 2 fois 0 ça fait 0 plus 1 ça fait 1 et racine de 1 ça fait 1 et donc ça fait 1 donc ça veut dire que quand x prend la valeur 0 et bien t prend la valeur 1 donc la borne du dessous elle devient 1. Maintenant on s'occupe de la borne du dessus donc quand x prend la valeur 4 on l'écrit quand x prend la valeur 4 donc il faut calculer 2 plus 1 et prendre la racine carrée 2 fois 4, 8 plus 1, 9 racine de 9 ça fait 3 donc ça veut dire que quand x prend la valeur 4, x prend la valeur 4, t prend la valeur 3, t prend la valeur 3 donc la borne du dessus devient 3. Et maintenant c'est toujours pareil, quand vous avez une exponentielle que multiplie un polynôme et bien on va faire une intégration par partie parce que l'intégration par partie elle va faire baisser le degré du polynôme d'un et comme ici c'est un polynôme de degré 1, si on fait baisser son degré d'un on se retrouve avec une constante et du coup on n'aura que de l'exponentielle et ce sera facile de trouver une primitive. Et donc dans la formule d'intégration par partie, t c'est ce qui va correspondre à v parce que du coup on va dériver t pour avoir v prime et du coup comme on dérive t on aura bien une constante, on s'en sera débarrassé et donc comme v correspond à t et bien l'exponentielle correspond à u prime et maintenant comme on a u prime il nous faut u donc u c'est une primitive de ceci et ça c'est de la forme exponentielle a t et une primitive d'exponentielle à t c'est 1 sur a exponentielle à t donc une primitive c'est 1 sur ln de 3 exponentielle de la même chose donc t ln de 3 et maintenant il nous faut v prime et comme v c'est t et bien v prime c'est la dérivée de t c'est 1 donc maintenant on a tous les éléments pour faire notre intégration par partie et donc ça nous donne entre crochets u v donc ça fait ceci 1 sur ln de 3 exponentielle t ln de 3 que multiplie v vers t entre crochets entre 1 et 3 moins l'intégrale entre 1 et 3 de u v prime donc ça fait 1 sur ln de 3 exponentielle t ln de 3 que multiplie v prime c'est à dire que multiplie 1 et on n'oublie pas le dt derrière maintenant on va arranger alors déjà 1 sur ln de 3 comme ça multiplie le reste et bien on peut le sortir du crochet et donc ça nous donne je le sors du crochet je le mets devant et je rajoute donc mon crochet et pareil ici le 1 sur ln de 3 il multiplie tout le reste donc on peut le sortir de l'intégrale donc j'enlève mon intégrale je le sors de l'intégrale et donc je remets mon symbole intégrale de 1 à 3 et avant d'aller plus loin n'oubliez pas que quand on utilise la formule d'intégration par partie comme u prime et v prime sont dans des intégrales ça veut dire que u prime et v prime doivent être continu sur l'intervalle indiqué c'est à dire ici sur 1 3 et ça veut dire quoi que u prime et v prime doivent être continu ça veut dire que les fonctions de départ u et v elles doivent être de classe c1 sur cette intervalle regardez u c'est quoi c'est cette fonction là une constante que multiplie cette exponentielle et bien cette fonction elle est indéfiniment dérivable donc elle est bien de classe c1 sur cet intervalle et v c'est quoi c'est un polynôme là encore c'est bien de classe c1 sur cet intervalle et il faudra penser à l'écrire lors de la rédaction maintenant pour calculer les crochets on va remplacer t par 3 puis t par 1 mais le problème c'est que ceci ça n'est pas très pratique et il ne faut pas oublier ceci ça sort d'où et bien ça vient du fait que 3 puissance a on l'a transformé en exponentielle a ln de 3 mais ceci on peut l'utiliser dans l'autre sens quand on a exponentielle a ln de 3 et bien ça devient 3 puissance a et donc exponentielle t ln de 3 t ln de 3 et bien ça fait 3 puissance t donc tout ceci on peut le remplacer par 3 puissance t et du coup ce sera beaucoup plus pratique pour remplacer t par 3 puis t par 1 donc à la place de ceci et bien je mets 3 puissance t je mets 3 puissance t et du coup ça nous donne 1 sur ln de 3 que multiplie je remplace t par 3 donc ça fait 3 puissance 3 que multiplie t faire 3 moins maintenant je remplace t par 1 donc ça fait 3 puissance 1 faire 3 que multiplie 1 et ensuite il nous reste à calculer ce qu'il y a derrière et donc ça nous fait 1 sur ln de 3 et maintenant regardez dans l'intégrale déjà le multiplier par 1 il sert à rien et donc il y a juste à trouver une primitive de ceci et ça c'est exactement encore de la forme exponentielle a t exponentielle a t et une primitive c'est 1 sur a exponentielle a t et donc ça fait une primitive donc une primitive c'est 1 sur a c'est 1 sur ln de 3 exponentielle de la même chose donc t ln de 3 voilà et entre crochets toujours pareil entre 1 et 3 et maintenant à nouveau le 1 sur ln de 3 comme il multiplie le reste on peut le sortir des crochets et du coup ici ça va faire apparaître 1 sur ln de 3 au carré et donc ici je peux l'effacer et à nouveau exponentielle t ln de 3 ceci exponentielle t ln de 3 c'est 3 puissance t donc tout ceci tu peux le remplacer par 3 puissance t ce sera plus simple pour faire les calculs donc je mets 3 puissance t et maintenant si vous calculez tout ceci ça fait 78 donc ça fait 78 sur ln de 3 moins 1 sur ln de 3 au carré et dans les crochets on remplace t par 3 donc ça fait 3 puissance 3 moins 3 puissance 1 et 3 puissance 3 ça fait 27 3 puissance 1 ça fait 3 donc ça fait 27 moins 3 ça fait 24 donc tout ceci ça fait 24 et donc au final et bien au final et bien ça fait donc ici à la place de 1 donc ça fait 24 voilà et donc on a réussi à calculer cette intégrale voilà combien elle vaut dernière chose lorsqu'on fait un changement de variable il faut s'assurer que la fonction phi qui a servi à faire le changement de variable et bien cette fonction elle est bien de classe C1 alors c'est quoi la fonction phi ? déjà rappelons la formule du changement de variable l'intégrale de f de x dx c'est égal d'après la formule de changement de variable à f de phi de t que multiplie phi prime de t dt ce qu'il faut comprendre c'est que quand on fait un changement de variable dans f de x on remplace x par phi de t regardez ici x on l'a remplacé par cette fonction donc ici on a phi de t et donc phi de t c'est un polynôme et comme c'est un polynôme c'est indéfiniment dérivable et donc a fortiori c'est de classe C1 mais sur quel intervalle ? faites attention la variable c'est t et t se balade entre 1 et 3 donc il faudra préciser que phi est de classe C1 sur l'intervalle 1,3 et maintenant il n'y a plus qu'à mettre au propre tout ce qu'on vient d'expliquer au brouillon donc voilà je vous ai tout remis au propre ici et pour que ce soit plus clair j'ai mis de la couleur et donc on a terminé cet exercice et pour continuer à vous entraîner je vous propose un autre exercice du même style donc celui-ci donc toujours pareil calculer une intégrale à l'aide d'un changement de variable donc cherchez bien cet exercice et vous aurez la solution dans la prochaine vidéo et en attendant comme d'habitude si vous avez apprécié cette vidéo n'hésitez pas à la liker et à vous abonner à la chaîne pour ne pas rater les nouvelles vidéos