七下數學 15 解二元一次聯立方程式(1)：聽一次就會的代入消去法、解題邏輯大拆解、講義13-14頁基礎特訓｜何肇忠老師 (最新課綱)

好,開始呢,我們要教那個解方程式 解二元一次連立方程式 那在解之前的話呢,我先導引各位同學 怎麼樣去學那個代入消去法,好不好 那先不用看講義,看黑板就好了 因為很多同學那個加減學得很漂亮 但是代入就學得不好 那有些人是會認為說 老師,我現在代入很厲害,加減很難學 那是因為你才剛學會一個叫代入消去法 你很習慣這樣的解法 所以換成加減的時候你又不習慣 事實上我們是做那個加減消去法比較順手 不過也看情況啦,看題目的一個設計 我們再來去安排說怎麼樣使用它 通常都是混搭 混搭就是說我們在解的時候 會使用到加減消去法 也會用到代入消去法,兩個都用到 好,那我們來看一下那個 看黑板就好了,講義先不要看 我先舉個例子好了 就隨便舉個例子 x 等於 2y 然後呢,3x 減 y 等於 8 我隨便寫的,來 那什麼叫代入消去法 教同學去適應一下 那個代入消去法的一個解題的一個流程 叫代入消去法 消去 這同學一定要學會,因為這很重要 好來,那這個大括號呢 就稱之為連立 這是兩個未知數嘛,叫二元 最高一次方,所以它稱為 二元一次連立方乘四 好像很有學問 就是二元就兩個未知數嘛 連立就大括號嘛,那一次就是 這個最高的一次方 所以它稱之為二元一次連立方乘四 那我們在解的時候呢 一開始老師要求你要編號 這個編號是一開始的動作 你要把它做好來,好不好 所以我們還是給它編號 什麼時候可以不用編 不用編號,就可以這樣自己亂寫一通 等你後面很嗆的時候,基本上那是個過程 我們就不理它了,但一開始要求各位要做到到位 所以我們會要求說 每一個動作都要寫清楚 而且那選擇題,它會考一些細節 所以你還是把它寫好來 對你是有幫助的,好不好 這個給它編號第一次 這個給它編號第二次 就第一方乘四跟第二方乘四 簡稱為第一次跟第二次 那所謂的代入消去法 它的精神是這樣子 你要去找這兩個方乘四 有沒有一個東西呢 它叫做X等於什麼一坨的 或者是Y等於什麼一坨的 先鎖定它 所以你看這兩個方乘四 看第一次跟第二次 第一次符合,第一次寫什麼 S等於2Y,可以囉 所以就鎖定第一次 我就把這第一次這個結果 給它代入到第二次 叫做一代入二 那這過程要寫 因為選擇也會這樣考你 所以你務必要熟悉它 它叫第一次代入第二次 那什麼叫一代入二 就是說你現在第一次的結果 是不是S等於2Y 從現在開始呢,X改名字了 它不叫X了,它改名叫2Y 叫代入 所以除了代入是說它把X給消滅掉 所以從現在開始S就不見了 叫一代入二 所以你看第二次,第二次的X 它改名字了,它稱之為2Y 所以後面都抄抄 就變成這樣寫 3去乘上X改名叫2Y 其他都沒有變抄抄 -Y等於8 看到沒有,叫一代入二 再說一次,什麼叫一代入二 你把第一次的這個結果 套到第二次去 第一次有什麼結果 第一次告訴你說,X就是2Y 所以你看到第二次的時候 這X怎麼樣,你就想它是2Y 它是2Y,它叫3乘2Y 所以3乘2Y-Y等於8 再來把它拆括號整理一下 326 6Y 6Y-Y 等於8 6Y-Y 注意同學,不要亂寫 6Y-Y變成6,變成6等於8 神經病,不能這樣寫 6Y-Y是5Y 那個Y還在,不僅僅Y都不見了 5Y等於8 那Y多少呢 結果是分數五分之八 看到分數不要怕,不要以為你算錯了 沒有算錯,因為我題目亂出 所以分數跑出來 那Y是五分之八之後,我還要求X 你就看哪邊有X可以用 第一次有X,而且很好用 X就是二乘Y 所以就把這結果怎麼樣,代入到第一次 代入第一次的時候 第一次開始 你的Y改名字了,叫五分之八了 所以這個X就算出來了 X就會等於 二乘上Y Y改名字了,叫五分之八 乘五分之八多少 答案叫五分之十六 所以他的答案呢,分別叫做 X等於五分之十六 Y等於五分之八 同學切記,一定要寫答 你要這樣寫答 你要把答案寫出來,標示出來 所以答案呢 X的解叫做五分之十六 Y的解叫做五分之八 為了強調答案在這邊 最好畫一條線 讓老師比較好找 就這樣子 解方程式的部分 這個方法就稱之為 代入消序法 這樣OK嗎 簡單對不對 同學第一次學 發現很難,哪有簡單 其實你會發現做多次之後 大概做個三五題之後,你就上手了 這很簡單,這不難 不要怕這種題目,爛題目不好怕 來我們看那個 看那個範例一 這邊很多題目都不錯,都很好玩 所以不要害怕,好不好 很好學的 這一整頁呢 都要求使用代入消序法 如果說你以後是 國三國二做複習的話 如果題目要求使用代入消序法 你還是乖乖的用代入 你不要偷懶把它移一移 變成加減消序法 好我們看那個 範例一的第一題 第一個計算題 在那個講義的第十三頁 好那第一題呢 他已經幫你編好第一式跟第二式 S等於3Y 點點點 第一式,再來是3X 減4Y 等於10 點點點,第二式 然後題目呢 要求這個S跟Y的解釋 多少 那我們這邊的方法呢,目前只學會 代入消序法,所以只能夠 使用代入消序法 那怎麼做,你要看喔 所謂的代入消序法呢,你要去找一下 有沒有X等於什麼的 或者是Y等於什麼的 對不對,這有沒有 有,第一式有啊,對不對,有什麼 他說X就是3Y啊 對不對,所以從現在開始喔 第二式的X改名叫3Y 這就稱之為代入消序 把這代過來之後 消去X剩下Y啦,叫代入消序 代入,把X換成3Y 之後,代入之後,消去了X 剩下Y可以解,對不對 好那怎麼寫啦 你要這樣寫喔,1代入2 把第一式的 結果代入第二式 他叫1代入2 那要怎麼代呢,再說一次喔 你的第一式是X是3Y不是嗎 看到X沒有,第二式的X 這已經改名字不叫X了 他就稱之為3Y 對不對,所以3乘X 變成3乘3Y,所以你要這樣寫喔 他叫3乘3Y 其實後面都沒有變啦 他叫照抄,照抄我換白色粉筆喔 所以減掉4Y等於4 照抄就跟著抄嘛 這沒問題,抄下來就好了 好,再來就整理一下 我們就稍微心算一下,因為不是很難 33是不是9,9Y 9Y減4Y變幾Y 5Y 5Y就會等於10 那Y多少,Y答案就是2 對不對 你算出來2之後你再想啦 這有兩個式子給你去用 你要求X,你要代第一式好還是第二式好 對不對,你說老師我實力很堅強 我要代第二式,你就去吧 我代第一式 代入1,把這結果代到第一式 因為比較簡單 你代第一式要求X啊 X等於誰 3乘Y,Y我知道了,就是2了嘛 所以3乘2就可以啦 所以是3乘2 答案就是6,所以你就求出來啦 這一組答案喔 這是唯一的一組解喔,這個每個人答案都一樣 知道嗎,不可能說你方法不一樣 答案不一樣,這個答案是每個人都一樣的喔 出來都一樣 所以X答案就是6,Y就是2 切記你不能這樣畫線而已啦 你要把答案給寫出來 所以這一組解 的答案呢 它就叫做 X等於6 Y等於2 是這個方程式的解 那同學如果說你一開始學,你覺得時間還很夠的話 也可以驗算知道嗎,怎樣驗算 代回去啊 你看喔,X你代6,Y代2合不合 6等於3乘2 欸合啊,沒錯喔 但是第二式合不合 X代6,Y代2 6,36,18 Y代2,4,2,8 18減8等於10 都對了嘛,沒有錯,所以這組是OK的 好,正常問題 嗨,那個劉同學 好,這樣子OK齁 好,我們來看那個第二題喔 好,第二題 打星號,其實代入消去法 本身是不難 難是有時候題目它就很刻意的 明明它就感覺很適合使用加減消去法 可是呢,因為 我們現在只會代入 所以我們還是硬要使用代入消去法 那要怎麼辦 來,我們看到第二題就是了 其實這個題目它當然 好啦 我們就一樣代入試一下好了 來算看看 好,第二題 第二題就沒有編號,沒有編號還是要自己編 而至於那個 幾代入幾啊,編號第一次第二次 什麼時候可以不用寫 請跟你講喔,到後面你很熟練的時候 那都是過程就可以不用寫 就很像我們在寫那個 國一上在學那個 有沒有印象 12的標準分解是 答案多少,你要不要短除 有的是要短除,要用12去除 12去除就變成6 12除以3對不對,所以答案是 2的2乘以3 那你說這過程沒有寫沒關係,沒關係的嘛,因為很簡單 所以這也是喔 很多一些過程是一開始我們要求你要這樣寫 我們把那個基礎把它學好 好,那個第二題喔 它是2x 加3y 等於 0 第二次 x加2 等於-y 好吧,來,看那個第二題喔 好,那像第二題的話呢 我們要給它編號 先編號編一下,題目都沒有編號 這樣我們就很不好去做學習喔 給它編號 編號第一次,編號第二次 好,編好之後呢 你看喔,第一次跟第二次 有沒有一個方程式 它叫做x等於什麼或y等於什麼的 你就看一看,欸沒有啊,對不對 你說老師這個有,可是它是-y耶 它是-y不是y喔,也不行喔 那怎麼辦呢 我們就只要把它的方程式做個調整 調到我們要的為止 怎麼調呢 我把第二次的這個2給移走 所以我寫由2可得 由第二次來調整 由2可得 可得到什麼結果 怎麼調整呢,我把這2移走啊 2移走變什麼 變成負2了嘛,所以x 就會等於負y 2移過來-2啊 -2,有沒有,給它編號編第三次 記得喔 因為這個結果是從第二次編出來的 我建議你喔,第二次打個小叉叉 做個小記號 那個小記號很小啦,老師看不到就可以了 打小叉不要理它 所以暫時不看第二次喔 因為23是同一個方程式 整理出來的,有沒有,我們把2變成3嘛 所以這個2就打個小叉 做個記號,先不要理它 看1跟3就好了 我就把這個結果呢,帶到第一次去 叫3代入1 寫囉,叫3代入1 第三次 代入到第一次 什麼叫3代入1呢 你看喔,第三次告訴我說 x就是-y-2 來我把它框起來,讓你看更清楚 x現在改名字了喔 叫-y-2喔 所以你看第一次的x,改名字改名字 你現在改名字啦,叫-y-2了 其他全部照抄 所以就先這樣寫喔 它是2倍的x改名字 叫做-y-2 你給它寫,舉一次喔 改名字喔,它叫-y-2 然後框起來 所以你看,2x,x改名字了嘛 叫-y-2 其他後面全部照抄,所以用白色分比 再加3y等於0 好,把它整理一下 整理就拆掛號 就把它一項整理喔 這邊拆掛號呢,2x-y叫-2y 224叫-4 再加3y等於0 開始整理我們要的東西了 -2y加3y幾y 就1y 就1個y -4移過來變什麼,變正式啊 所以解出來的y等於4 而且還不夠耶 我還要求x啊 這個時候你看喔 你有y等於4這個答案 你要去套哪個方程式 要套這個第一個還是第二個 還是第三個 可以求出x的 當然是第三個啊 因為s就是-y-2 那我y是4的,我套這個答案就有了 所以把這結果呢,代入3 再代入到第3、4 那代進來之後呢,變成說 x照抄喔 x就等於-y 我的y是4喔 什麼叫-y,就變-4嘛 因為y是4啊,-y不就-4 -4-2多少 -6 所以這一組解呢,它的答案呢 就叫做s等於-6,y等於4 答案還是要寫一下那個 大掛號連立解答案 叫做x等於-6 然後y等於4 是這個方程式的 唯一解,唯一的一組解 關於這個部分有沒有問題 有沒有覺得真的很簡單 很簡單對不對 所以我發現喔,有時候老師把那個 代入消去法教得太好之後 同學學加減會排斥,他覺得加減好難喔 其實不是耶 加減消去法更簡單喔 但是我會把你那個代入消去法練到很熟 來看那個第三題喔 來 如果你手邊有題目的話,你覺得簡單 你可以試看看,算一下 我們再來對答案好不好 第三題喔 我先把這擦掉 目前我在教的是那個 解二元一次連立方程式 現階段教的方法是 代入消去法來去解 解方程式喔 今天應該上不到加減消去法 但是沒關係喔 我們下禮拜一 就會上到 為什麼是下禮拜一呢 因為老師禮拜五就沒有 這禮拜五沒上課喔 因為禮拜三嘛,禮拜五先沒上課 然後禮拜一再來排 所以禮拜五的直播就取消一次喔 來看那個 第三題 第三題呢,他說 y等於-2x-1 第二是 3x-y 等於11 好,那個一樣喔 我們都是初學者啊,所以在寫的時候 老師都有要求喔,你要把它寫正確來喔 來,先給它編號 這叫做第一方程式寫個1就好了 這叫做第二方程式 簡稱叫做第二式 一樣喔,我們在使用那個代入消去法 你一定要去找一下,有沒有x等於什麼 或者是y等於什麼的 那纔能夠代入嘛 所以你看一下有沒有,哇有 第一式完美 y等於-2x-1啊,馬上代 太棒了,1代入2 第一式代入第二式 那什麼意思呢 他是告訴你說喔 從現在開始,y要改名字了 改什麼名字,y改名 叫-2x-1,其他都不要變 叫做1代入2 所以第二式的y改名字啊 其他都沒有變,因為沒有變 所以老師用白色分別寫喔 沒有變喔,所以3x照抄喔,沒有變 沒有變喔,減掉誰 減掉y,變了 y是-2x-1啊 所以你要怎麼寫,你要這樣寫 減掉-2x-1 把括號括起來 這是那個誰,這是y的部分 減掉y,y改名字了 叫-2x-1啊,所以這是 改名字後的結果喔 後面等於11照抄 所以白色分別都是原來有的 第二式你看喔,3x照抄 減照抄,等於11照抄 哪邊要換掉,5y換掉了 換什麼,換這個,-2x-1 換下來,然後就拆括號整理 拆括號容易啊 所以3x 負負得正,加2x 負負又得正,加1 等於11 這兩項加是5x 1一過來減1變10喔 所以s3多少,5一過來除5啊 答案不就2 那2算出來就好棒棒了嗎,還沒有啊 你要求y內,哪邊有y 第一式有y,有沒有 這個又簡單又輕快又好寫 就馬上怎樣,把這結果呢 代入到第一式 在第一式的時候記得喔 x改名字了 它就叫做2,s它就2了嘛 所以當然是代2的啊 s換成2,要去求y 所以就得到這個結果 y就會等於 我把x換成2喔 換成2之後是負2x 加負2x2 那負2x2就是我喜歡的 負2x2,後面照抄減1 把它算一下吧 負2x2不就負4,負4減1呢 負5,要寫負3喔 負4減1是負5 不是負3好不好 所以s跟y答案都有了,有了之後記得喔 一定要把答案標出來好不好 接生老師在改考卷的負擔 你就寫s等於2 然後呢,y就等於負5 把它標示出來 答案在這裡,給老師找一下 比較好找,看答案對的打勾了 這樣有問題 這是那個 13頁的這三題都屬於 代入消學法 我們再一題好不好 再一題嗎 還是要下課 再一題 在那個14頁喔,我們看第四題 我再教一題喔 然後那個5跟6呢 它是有點變化型的代入消學法 同學如果真的不大會 就先不要解,沒關係喔 如果你會你就試看看啦,如果你真的沒有辦法 那就沒關係喔,我們下禮拜一再來講 來看那個第四題 第四題呢 這邊呢,一樣是要求 使用代入消學法 來解題的喔 來我們看那個第四題 它說呢,y 等於4x 加5 它編號編好了,這是第一次 再來是 3x減y 等於4 編號編好了,叫第二次 這題是佛心來的,都編好了 編好之後再來就解了 怎麼解呢,一樣喔 在使用代入消學法 你先稍微欣賞看看題目 有沒有什麼,x等於什麼,y等於什麼 有啊,它的y 等於4x加5啊,太完美了 這個就是我要的 這個東西呢,就稱之為 1代入2 你說第二次的誰換名字的,y換名字的 換成4x加5,其他都沒有變 所以叫1代入2 好,1代入2之後呢 記得喔 誰換掉而已,只有y換掉 y換成這個 4x加5,我把它寫紅色字喔 再看一次喔,這個y換掉而已喔 其他都沒有動喔 沒有動全部照抄 就原封不動抄下來,3x抄下來 對,減抄下來,減什麼 不要寫減y啊,y改名字了 4x加5啊,所以 減掉括號的 4x加5 因為y改名字了 旁邊呢,全部照抄 等於是 好,再來就拆括號嘛,慢慢整理一下 享受整理的樂趣啊,來,拆括號 3x 負正得負減4x 負正得負減5 等於是 3減4是負1喔,負1怎麼寫 那就負x了喔 等於負51過來加5,9 那s3多少 負x等於9,兩邊都乘負號啊 s3就是負9 好,算出來負9之後呢,還要求y對不對 把這結果 代入哪一式 給你選,你選哪一個 1還是2,當然是1嘛,你選2 不是很奇怪嘛,2不好解啊,代1好了 代入1,代入1之後呢 你就把那個y都算出來了 所以y 就會等於 4乘x,s是負9喔 所以它是4乘上 負9,再來加5 4乘負9是負36 再加5 負36加5多少 負31,加減法算對了 不寫負41,負31 好,所以這個時候呢,這一組寫怎麼樣 它叫做x等於負9 y是負31 你寫答案要寫出來喔 答案就是 x等於負9 y等於負31 是這個方程式的 連立解 這個方程式專屬的 答案在這裡 這樣有沒有問題 以上我們今天教的四題的代入消去法 那同學如果可以的話 你不要把那個答案都照抄啊 你應該怎麼做,你應該下課之後 把題目抄下來,空白紙遮住 自己重算一次 看夠不夠熟練 這四題都很熟練的話就沒問題了,好不好 那我們下禮拜再來從第五題講起 好,那我們今天上到這裡囉,掰掰