CORRIGé du concours GEIPI polytech 2024 maths - QCM deuxième partie fonctions exercice IV suites

bonjour à tous Aujourd'hui on s'attaque au concours GPI 2024 la 3è partie sur les suites numériques a trois questions pas si facile que ça on est parti donc soit un une suite telle que un est différent Z pour tout n donc un ne vaut jamais 0 et pour tout n on considère donc une autre suite vn définie par vn = - 2/ N - 2/ N on peut toujours le calculer puisqu'on a dit un est toujours différent de Z0 et donc trois questions sur ces deux suites si n est muré par 2 alors vn est mineuré par 1 donc on va regarder un petit peu un donc on suppose que n est mineuré par 2 donc supposons m par 2 alors ça veut dire que si c'est muré par 2 pour tout n donc appartenant à grand N on a donc minoré ça veut dire que un est toujours plus grand que 2 2 est mineur par rapport à tous les Tex donc 2 est plus petit que tous les termes de la suite donc est supérieur ou égal à 2 maintenant on a donc supérieur ou égal à 2 donc supérieur strictement à 0 d'accord ça veut dire qu'en inversant 1/ devient donc il est forcément strictement positif et il est inf égal à 1/2 j'ai utilisé pour ça la fonction inverse qui est décroissante strictement sur 0 plus l'infini donc ça inverse je multiplie par - 2 qui inverse une deuxè fois donc - 2 sur un et donc supéur ou égal à - 2 x 1/2 qui vaut -1 à gauche voyez j'ai donc - 2/ Un donc c'est tout simplement vn donc vn est supériurou égal à -1 ça veut dire que un supérieur égal à 2 implique vn supérieur égal à -1 donc qn mineuré par 2 implique vn mineuré par -1 c'est vrai donc la a et bien c'est affirmation elle est vraie pour la B alors là un croissante donc conserve l'ordre est-ce que ça implique que vn est décroissante donc inverse on a vu là en faisant notre minoration qu' avait une double inversion donc la B semble fausse donc on va prendre tout simplement imaginons supposons ça doit être vrai quel que soit un donc supposons que U1 est égal à 1 et U2 je vais prendre croissante U2 est égal à 2 d'accord on a bien U1 qui est plus petit que U2 mais qu'est-ce qui se passe combien vaut V1 alors V1 ut 2 sur U1 c'est-àdire 2/ 1 c'est-à-dire 2 et V2 vaudrait - 2/ U2 c'estàdire 2/ 2 c'estàd 1 et on aurait voyez ici 2 qui est plus petit que -1 c'est que V1 serait plus petit ou égal donc à V2 ça veut dire qu'ici on aurait pas vn qui serait n'est pas décroissante donc ça ne va pas parce qu'on peut envoyer une suite croissante ici qui donnerait une suite décroissante donc cette affirmation elle est fausse donc ça veut dire qu'ici hein on prend une suite on prend donc la suite un tel que donc je vais prendre U0 é= à U1 = à 1 et ensuite pour tout n supéri égal à 2 là je vais prendre un = N c'est bien une suite croissante hein d'accord un est croissante et vous voyez bien avec mes deux calculs he U1 = 1 U2 = 2 que vn n'est pas décroissante donc voyz bien que effectivement la B elle est fausse donc ici on met faux alors si un converge est-ce que vn converge ça veut dire qu'ici si un tend vers alors si un tend vers l B oui en inversant - 2 sur l est-ce que ça tend vers l ben ça dépend parce que si elle égale à 0 parir un problème d'inversion ça veut dire qu'on peut on peut avoir une suite qui tendit vers Z0 et qui nous embêterait beaucoup donc on va fabriquer une suite ici donc tvers 0 simple on prend la suite par exemple je vais prendre U0 = 1 et ensuite un = 1/ N pour tout n appartenant à un étoile cette suite hein la limite de un elle est bien égale à 0 et vous remarquez hein que pour tout n un est bien différent de 0 d'accord bien dans ce cas-là et bien vn est égal à quoi - 2/ N ça fera en fait - 2N et V1 vaudra donc - 2 et vous voyez bien que vn ici tend vers plus l'infini donc ne converge pas donc g un qui converge vers 0 et vn qui diverge vers plus l'infini donc ici le c est aussi fa c'est des questions quand même plus difficile pour les élèves parce qu'il faut construire des choses donc pensez bien à cette limite ici de N qui serait 0 et dans ce cas-là et bien le VN tendra vers plus infini donc le problème c'est que certains éèves pensent que si un est toujours non nul la suite ne peut pas tendre vers zéro et c'est ça justement un petit peu j'ai construit une suite voyez ici de terme non nul qui tend vers ZrO et c'est là justement un petit peu l'astuce de cette question donc voilà c'était donc vrai faux et faux