Louis Le Grand -se préparer aux classes prépa en maths - suites d'intégrales ex247

bonjour à tous Aujourd'hui exercice à destination des élèves de terminal qui veulent des mats un petit peu plus solides que ce qu'on peut trouver habituellement au bac donc suite d'intégrale hein ça prépare évidemment hein pour faire des mats dans le supérieur donc pour les classe prépa par exemple ici la suite d'intégral donc qui n c'est l'intégral de 1 à e de ln de t^issance N DT et on prend n un entier naturel non nul donc on est dans n étoile ensuite on va bien calculer tout d'abord yen le signe de Yen jusque là c'est vraiment du cours de terminal donc ça ça entraîne ensuite une petite relation de récurrence entre yen + 1 yen on sent venir une intégration par partie et après avec les questions précédentes limite de la suite sans variation de la suite et une dernière question toujours un petit peu plus dure avec une limite d'une autre suite donc n x in voilà donc on est parti calcul de i1 i1 c'est l'intégrale de 1 de ln de T un grand classique en terminal ça fait vraiment partie des choses qu'il faut savoir faire parce que ça ne s'invente pas al a priori vous ne connaissez pas de primitif du logarithme alors elle existe il y en a plein il a forcément une infinité ln est continu sur un il pas de souci donc il y a une infinité de primitive alors je peux vous donner déjà la primitive vous pouvez la prendre par cœur parce que ça sert pour le supérieur donc la primitive alors je l'appeler grand F si vous prenez donc grand F de t= tn t t p ajouterz la constante que vous voulez quand vous dérivez he vous trouvez ln al je vous le montre he ça fait partie de la culture qui peut faire gagner du temps donc si on dérive vous avez tn T qui est un produit donc on dérive ça avec U Prim V + V prime donc je dérive t ça fait 1 x ln t + T x la dérivée de ln T qui est 1/ t d'accord je précise t strrict positif he bien sûr et je dérive Mo t ça fait 1 donc 1 t x 1 sur T ça fait 1 et reste 1 - 1 il me restera donc ln de T donc ça veut dire que ceux qui connaissent ça peuvent aller très vite hein c'est donc TLN t t prix entre 1 et E je remplace d'abord par e donc j'ai e ln de e e moins la valeur en 1 donc là j'ai 1 ln 1 - 1 donc faut bien mettre toujours des parenthèses 1 ln 1 - 1 mais ln 1 ça vaut 0 il me reste juste donc - -1 ça fait + 1 donc ln 1 il reste e e- 1 donc + 1 ça vaut 1 alors ça c'est pour ceux qui connaissent une primitive de mais la plupart du temps ne la connait pas déjà un de terminal n pas censé la connaître donc comment procèdeton et c'est là que je dis un grand classique on va faire une IPP subtilement évidemment orchestré donc pour avoir une intégration par partie il faut un produit mais là vousz vous avez n2t qui est tout seul et vous savez que pour faire une PP il faut un produit donc bien on va créer un produit le produit ça sera ln t x 1 je rappelle la formule d'intégration par partie on a intégral ici de U V prime qui est donc entre crochet U V moins ici u Prim V prime ça veut dire qu'il va falloir donc dérivver l'un des deux chercher une primitive de l'autre donc je vais dérivé n t ça fait 1/ t je prends une primitive de 1 c'est t d'accord au niveau des lettres ça c'est donc u ça c'est V prime là j'ai V et là j'ai u prime donc entrecrocher je vais trouver les deux ici t ln T et entre 1 et E moins l'intégral entre 1 et E donc de U Prim V u Prim V donc 1/ t x ta ça c'est pratique parce qu'on a vu avec la première méthode que ça fait 1 donc ici on remplace par e e ln de e- 1 ln 1 moins ici donc l'intégrale de 1 à e de 1 DT c'est une constante on a vu dans le cours quand on intégre une constante sur un intervalle on obtient la longueur de l'intervalle ou alors vous faites une primitive de 1 qui fait t qu' prend donc ici en de e e ça fait donc e puisqu'on a dit que LN2 valit 1 ln de 1 vaut 0 ici donc soit vous écrivez tout de suite la largeur de l'intervalle c'est e - 1 soit bien la primitive vous choisissez vous prenez t prix entre 1 et E ça fait e moins on met bien les parenthèses c'est très important en E - 1 et vous voyez que ça fait e - E + 1 ça fait 1 donc dans les deux cas évidemment on trouve la même chose au bac je vous conseille quand même de faire l'IPP parce que hein la primitive du logarithme elle est pas censée être connue en tout cas pas en terminal donc je pouvez retenir ça une primitive du logarithme sur donc R+ étoile c'est tn t enfin c'est l'expression ça sera tn t- t maintenant question B donc déterminer le signe de in donc on prend donc n appartenant à N étoile de toute façon elle est définie que sur N étoile comment peut avir le signe intégrale sur un interval 1 e ben il faut trouver déjà le cas le plus simple c'est d'utiliser ce qu'on appelle la positivité de l'intégrale c'est que si f fa positif sur un intervalle par exemple AB alors l'intégrale de F est positive sur enfin est positive VO d'accord donc ça c'est vraiment le cas de positivité le plus simple une inégrale peut être positive alors que la fonction change de SIG mais si la fonction est positive l'intégrale est positive donc on va regarder le signe de ln de T pu n sur 1 e donc on prend donc soit T appartenant donc au ferm 1 e d'accord ça veut dire qu'on a ceci on a un encadrement de t on va passer au logarithme donc le ln il est strictement croissant donc sur R+ étoile donc sur 1 donc là ça veut dire que LN1 est inférie égal à ln t inféri égal à LN2 on sait que les fonctions croissantes conservent l'ordre donc ça fait ici 0 ln t LN2 vaut 1 maintenant on met à la puissance N donc là on utilise la fonction KX associe x^iss n d'accord c'est une fonction ici puissance hein puisque n est un entiatel elle est strictement croissante donc sur R+ ça on le sait que ça soit paire ou Impire ça sera croissante sur les nombres positifs donc ici j'auraai 0^iss n 1 fa ég à ln t puiss n 1 f égal à 1 pu n j'ai N qui est un entier naturel donc non nul conclusion et bien ça veut dire que ln t^issance n donc appartient donc il est entre 0 et 1 d'accord donc sur 01 n t puissance n est supérieur ou égal à 0 et donc par positivité hein donc l'intégrale de 0 à 1 de ln de T puissance n est supérie égale à 0 on Pez aussi tout simplement intégrer cette inégalité on aurait l'intégral qui est supéri ég à l'intégral de 0 entre 1 et E et donc ça fait bien 0 donc ça veut dire que in pour n appartenant à étoile est supérie égale à 0 donc in est positif donc voilà cette question sur le signe terminé alors j'ai vraiment rédigé au maximum on peut aller certainement plus vite mais c'est pour que tous les détails il soient donc maintenant la relation de récurrence entre in + 1 et in on va partir de in + 1 on va faire une intégration par partie encore alors je pas jusé tout à l'heure mais brièvement quand vous faites une intégration par partie il faut vérifier que u u Prim V et V prime soit continue d'accord donc là ici c'est évident continue évidemment sur l'interval sur lequel on fait donc là il y a pas de problème alors comment on va faire bien on va procéder exactement de la même manière qu'on a calculé i1 je vais créer un produit d'accord donc ce produit on met n de T puiss n + 1 FO 1 DT et donc ici on va dériver le ln et chercher une primitive de 1 d'accord donc ici ça veut dire que mon u t c'est ln t donc puissance n + 1 et mon V prime c'est 1 donc je vais choisir une primitive de 1 on prend la plus simple on prend t on pourrait prendre t + 1 parfois aussi des astuces comme ça on prend T+ 1 t ça permet d'aller plus loin donc pensez-y prend toujours la plus simple mais on pourrait prendre T+ t + 4 ici on dérive donc ça c'est dérivé d'une fonction puissance donc terminal c'est pas les choses qu'on fait tous les jours donc quand on drive + 1 donc rappelezv c'est n + 1 Prim d'accord donc ça c'est qui est intéressant parce que ça nous fait du puiss n donc ici on a donc n + 1 qui va être en qui sort n + la dérivée de ln donc ça fait 1 sur T et on a n t puissance n on fait notre intégration par parti donc + 1 va être égal à donc entre crrochet UV donc t ln t puiss n + 1 entre 1 et E moin l'intégral entre 1 et E donc de U Prim V donc n + 1 x 1/ t x N t n multiplié par V donc multiplié par T DT le T sur T se simplifie encore il nous reste ici donc je remplace par e e ln e donc ça ça fera encore 1 moins la valeur en 1 donc 1 ln 1 ça ça fera 0 + 1 moin alors ici donc on a dit le T le 1/ T et donc se simplifie donc je vais détailler quand même il me reste donc l'intégral de 1 e de n + 1 ln t puissance n DT alors ici on a un facteur constant dans une intégrale donc par linéarité on va pouvoir le mettre devant l'intégrale donc j'ai à ensuite donc e LN2 vaut 1 donc 1^ n pu ça fait 1 ça ça fait 0 donc là on a dit par linéarité on sort le coefficient de l'intégrale et il me reste dans l'intégrale regardez ln t^iss n c'est donc in ici hein donc e moin n + 1 i c'est exactement ce qu'on voulait démontrer on a terminé donc pour tout n appartenant à N étoil on a bien cette relation de récurrence entre y et y + 1 la question c'est déduire des questions BC donc il faut qu'on se serve de ce qu'on vient de faire d'accord alors on a montré que donc on sait pour tout n appartenant à N étoile on a déjà vu que y est positive d'accord donc ça veut dire que on a un début d'encadrement on a 0 à fa ou égal à yen donc ça serait bien d'avoir ici une autre autre encadrement enfin une autre inégalité de façon à pouvoir utiliser peut-être un théorème donc des gendarmes enfin d'encadrement donc il faudrait avoir du y inférieur à quelque chose qui tend vers 0 est-ce que c'est possible avec notre donc inégalité on a donc in + 1 qui est e - n + 1 in alors on sait que in est supérieur égal à 0 donc in est positif donc + 1 aussi ça ça peut être intéressant ça veut dire que là on a e- n + 1 in qui est donc positif puisque ça vaut in + 1 ça nous permet d'avoir quoi ça du inférieur à ah c'est pas mal c'est ce qu'on veut donc E est supérie égal à n + 1 on divise par n + 1 qui est positif e sur n + 1 supée ég à n donc effectivement on a bien 0 1 ég à in 1 égal à e sur N plus 1 et donc ça quel que soit N appartenant à un étoile on va faire tendre n vers plus l'infini donc ici à gauche c'est0 donc ça tend bien vers 0 à droite E est constant N+ 1 plus infini donc ça tend bien vers 0 c'est évident donc des gendarmes limite en plus l'infini de in c'est égal à cette limite commune un des deux termes qui ont un quadrien donc limite de Yen c'est 0 donc effectivement la suite est convergente étant vers é0 montrons maintenant que la suite est décroissante alors là vous avez deux options moi je préfère faire du N + un moyen après je vous montrerai une autre méthode en partant juste de ce qu'il y a dedans euh donc sous le symbole inéal donc l'intégrande ici on a moi je vais procéder d'abord par la soustraction le classique on a donc intégral de 1 ln de T puissance n + 1 DT moins l'intégral ln de t^iss N on a deux intégrales c'est le même le même intervalle donc on peut regrouper ça sous une même intégrale il y a pas de problème les deux existent tout est continu donc on a N2 t^iss n + 1 n t^iss n donc ben qu'est-ce qu'on va faire on va factoriser à l'intérieur le but du jeu est de montrer que c'est négatif puisqu'on doit montrer que c'est décroissant donc il va falloir aller étudier le signe de l'intégrant donc ici ln t donc je factorise par n t^iss n qui fait ln t - 1 DT donc maintenant on va aller chercher le signe he utiliser encore la positivité alors on a déjà vu que sur un e on va pas redémontrer ln t^iss n c'est positif ensuite ln t - 1 T est entre 1 et E alors les deux côtés nous serviront pas on a vu que ln de T est entre entre 0 et 1 donc si moi je veux ln de T - 1 ln t - 1 est donc inférieurou égal à 0 je m'utilise que le côté ici droit hein d'accord donc finalement le 1 ici 0 ne servt à rien donc ça veut dire que sur 1 e bien ln t puissance n x ln t - 1 c'est donc le produit d'un positif par un négatif c'est négatif alors c'est pas la positivité qu'on va utiliser mais c'est la même idée on intégre une fonction négative l'intégrale est négative alors vous pouvez ici sans pasler de propriété intégrer c'est une autre propriété on intègre donc sur 1 e donc l'intégrale de 1 de ln t puissance n ln t - 1 et donc infé égal à l'intégrale donc de 0 qui vaut donc 0 donc ici on peut mettre inf égal à 0 voilà donc effectivement pour tout n appartenant à N étoile in + 1 Mo est négative donc in + 1 est inf égal à in donc la suite pour n suéri ég à 1 elle est décroissante voilà donc ça c'est la méthode avec la soustraction alors il y a une autre méthode qui est très sympa aussi c'est de partir de ce qu'il y a sous l'intégral donc je sais que sur un e ln T est on a dit positif ça on le sait ensuite n c'est un nombre antinaturel non nul donc ça veut dire que N t puissance n alors est-ce que c'est plus grand plus petit que puissance n il faut savoir si on est plus grand que 1 ou plus petit que 1 donc ça c'est intéressant c'est positif mais on a vu que c'était inf ég à 1 donc quand on met un nombre plus petit que 1 à la entre 0 donc la puissance n Il inversion la puissance n est plus grande que la puissance N+ donc ça va être plus grand que ln t puiss n + 1 alors comment on peut montrer ça regardez c'est tout bête ici on enlève le 1 donc ça c'est tout à fait vrai d'accord et on va multiplier juste le côté droit par ln T et donc ici je vais écrire tout simplement regardez 1 donc est supérie égale à l T est positif d'accord donc on a ici deux inégalités on a que des nombres ici qui sont positifs partout donc on peut faire le produit et donc ici ça veut dire que N de T puissance n va être superur égal à ln t puissance n + 1 là on fait le produit on peut faire le produit comme ça de deux inégalités qui sont dans le même sens si on a que des nombres positifs alors en général on écrit comme ça si donc on a ceci et on a ceci alors a X c est plus petit que B x d alors si on a des négatifs évidemment ça ne marche pas hein d'accord donc vous la prenez sur une nombre positif et comme ça vous voyez ça peut permettre de démontrer des petites choses toutes simples une fois que vous avez montré ça on intègre entre 1 et E donc c'està qu'ici vous aurez in qui sera supérie ég à + 1 et donc la suite est bien décroissant et donc vous pouvez quand même retenir que sur 01 x^iss n est toujours plus grand que x^iss n + 1 et si vous êtes sur 1 plus l'infini mais ça va être l'inverse xn est inférieur ou égale à xn + 1 toujours utile ça de classer entre elles les différentes puissances question F alors là c'est en général les questions plus difficiles hein la limite de N x in alors il s'agit encore une fois d'encadrer alors regardez on a déjà in inf égal à e sur n + 1 donc ça veut dire que comme n est non nul si je multiplie N et donc F égal à n e sur n + 1 et ça la limite est facile à déterminer on a du N sur n + 1 qui tend vers 1 encore suffit en terminal bon effectivement pour faire ça vous factorisez en bas par N ça fait ceci les n Se simplifi 1 pour n donc appartenant à une étoile il est non nul donc on a du e sur 1 + 1/ N donc vous voyez que çaattend tout ça facilement vers e d'accord donc limite de ne sur n + 1 ça vaut e donc ça ça peut être intéressant maintenant il faud avoir quelque chose ici à gauche qui tend aussi vers e alors on avait utilisé donc pour avoir notre inégalité ici le fait que ce soit positif alors on vient de montrer que c'est décroissant ça veut dire qu'on sait que in + 1 est donc inférieur à in d'accord donc on est toujours sur N appartenant à une étoile alors in + 1 on a ceci al voyz qu'on a ici une inégalité alors on va voir on va mettre tous les y de l'autre côté donc j'ai ceci donc j'ai 1 y là d'accord je vais lui ajouter n + 1 y je vais tout écrire mais on a ceci donc des vousz combien vous avez n + 2 donc c'estàd que E et donc 1 égal à n + 2 in donc si on divise par N + 2 qui est strictement positif I est donc supérieur on va laisser dans le bon sens comme ça on l' déjà donc ça veut dire que on vient de montrer que E sur N + 2 est infé égal à i n je multiplie par N et je viens de trouver quelque chose de super c'est que N X e sur N + 2 est infériur à N i donc je viens d'encadrer n n et donc on vient de montrer que n n est entre ne sur N + 2 et n sur n + 1 d'accord alors ici on démontre très facilement de la même façon qu'on l' fait pour le côté droit que ça tend vers E donc ici à gauche ça tend vers e plus inf à droite ça tend vers e donc thme d'encadrement ou th des gendarmes donc n ver e d'accord donc limite n I est égal à e quand n TV plus l'infini vous verrez donc l'année prochaine que on écrira en conséquence quelque chose d'intéressant c'est qu'en plus inf est équivalent al c'est des notions précises tout ça ça sera défini est équivalent à e sur N donc in se comporte quand n est très grand comme E sur N donc ça c'est pas mal du tout parce que ça vous donne vraiment une idée de la convergence que ça a vers Z0 ça tend vers 0 donc il tend vers é0 la manière de e sur N voyez donc ce symbole équiv et bien sûr il sera défini proprement mais ici vision simple c'est que quand vous faites in et que vous divisez par e sur N ça tend vers 1 d'accord c'est que les deux se comportent d'une même façon quand M envers plus infini ouz donc ça c'est intéressant voilà l'étude du comportement des suites la façon dont elles vont converger vers quelque chose ça c'est intéressant c'est l'objet de cet exercice voilà donc à très bientôt