Vecteurs et coordonnées - Exercice type

avant cette vidéo fait un exercice de géométrie analytique c'est à dire tu crois que tu fais de la géométrie mais en fait tu fais des calculs c'est parti pour la résolution de cet exercice le voile a annoncé on va le dire ensemble et en débris donc soit un repère orthonormé origine bon pour l'instant du classique et une bourrade et d'équations - 2 x + 5 y plus un égale zéro mais un certain point à part d'un plan de coordonner -4 4 questions déterminer les coordonnées du projeté orthogonale de a sur sa droite et top numéro 1 peut-être s'assurer qu'on maîtrise tous ceux qu'elle projetait art hogan donc avant de faire une vraie figure et c'est ce que je vous invite à faire vu qui a pas de figure dans l'énoncé m'a fait sans une soit en fait une avec les vrais carreau pour voir ce qui se passe moi je te recommande plutôt dentaire une à la sur ton sur ton brouillon pour comprendre c'est quoi déjà le projeter qu'est-ce qu'on a qu'est ce qu'on peut faire voilà une droite d on prend un point au hasard voilà on va le mettre ici elle est passé le point bas donc première question que je me pose c'est quoi le projeter orthogonale de assure des comme son nom l'indiqué projeter quand on l'envoie il est projeté il est envoyé donc en fait le projeter orthogonale du point à soi droite décès on envoie à quelque part à la perpendiculaire sur la droite et on l'envoie perpendiculairement c'est ça donc voilà pléah c'est souvent comme ça qu'on appelle la lnh ici le point h c'est le projeter orthogonale du point à soi à droite et donc on va continuer à raisonner ici pour voir en fait ma comment on va s'y prendre donc moi je connais des croissants de cette droite-là d'accords d je connais son équation c'est donc moins 2 x + 5 y st-gall et loupe on a je connais ses coordonnées rik ceulemans 4,4 fait exprès c'est encore une fois de raisonner comme ça sur les cas où tu dois être capable de faire ça donc comment est ce que je peux faire pour déterminer les coordonnées de ce point là ce qu'il faut arriver à avoir c'est que il faudrait avoir l'équation de la droite à h parce que si on arrivait à trouver l'équation la droite aah déterminer les coordonnées de h ça revient à faire quoi ça revient à trouver en fait les coronaires du point d'intersection entre la droite dès cette droite arrache donc tu vois les noms sait déjà qu'ils étaient un peu embêtant nous on traduit comment fait il suffit juste de trouver le point d'intersection entre de droite à droite d et le droit pour appeler delta accord est trouvé un point d'intersection ça on sait faire un tout petit peu en troisième et second d'accord donc déterminé je répète les coordonnées entre la droite d dont on connaît déjà des poissons et à la droite aah donc qu'est ce qui va se passer dans la vidéo jobs numéro un déterminée l'équation à droite à h jobs numéro 2 une fois qu'on aura l'équation à résoudre un système pour trouver les coordonnées de h donc maintenant je connais le plan la démonstration on va aller on va rentrer dans les calculs mais justement ça encore une fois toujours se poser et de voir en fait ce qu'on a dans l'énoncé et quels éléments de courcy rapporte pour pouvoir progresser dans mes calculs nous voilà tu vois bien la belle figure sur les carreaux et donc voilà juste le seul vrai truc ont assez à droite des cas pourquoi sur le mans 2 x + 5 y +50 et moi je vais appeler à droite delta parce que c'est comme ça qu'on a résonné la droite dalta donc qui passe par là et qui est perpendiculaire à laval à la droite des est donc finalement répondre à la question s'est trouvé le point d'intersection entre dallas et des ce que j'ai dit stoner et pour ça prouvons l'équation de dettes pour trouver l'équation cartésienne d'une droite idéalement il faut deux choses c'est quoi un point de cette droite est un vecteur directeur de cette droite un site assez de trucs tu es au top tu peux trouver l'équation cartésienne de cette droite est ici en fait j'ai déjà un point à il est sur la droite dalta il me faut juste un vecteur directeur et c'est là en fait on va accuser à un autre type des vecteurs qui est le vecteur normale et manque pour que je te rappelle si tu as une droite qui pourrait pas son ax plus big red bulls et gagnent 0 alors on peut en sortir un vecteur normal qu'on rappelé m eloi pour coordonner à bout donc si tu prends fait le coefficient devant x et le coefficient devront y as a form les coordonnées d'un vecteur normal à cette droite d'accord si j'ai une droite allée des pins pelt est un gars rigoureux ba.n le vecteur de coordonner abbaye les serviteurs normal à ma droite d un dock qui cible la droite dès lé précisément sous forme enfin c'est une équation cartésienne trois ans faut que tu ressembles à sa fonction mode équation cartésienne cloud tu prends acte bas ici un vecteur un vecteur normale à la droite dès ce serait quoi un vecteur normale à la porte dès ce serait beaucoup voilà plein c'est à des coûts pris mon petit rappel de goût rien pourquoi romain quoi moins de 5 ok donc n c'est un vecteur qui est normal à la drogue à la droite pourquoi est ce que ça nous aide et c'est là où en fait pourquoi pas raisonner en mode sixième avec les droites parallèles perpendiculaire mais attention aux mots qu'on emploie parce que des vecteurs il son directeur ils sont normaux mais des droits tels sont parallèles elles sont perpendiculaires et moi perso je préfère raisonner que les droites parce que depuis la 6ème ont fait parallèle perpendiculaire les vecteurs c'est plutôt nouveau regard si on regarde sur le schéma donc j'ai ma droite tnc un vecteur normale à la droite est donc question que je pose la clé elle est là en fait la clé c'est que m c'est qui représente quoi pour la droite delta en fait n c'est un vecteur normale à la droite et donc pour delta ce serait des droites si on parlait de droites parallèles donc ce vecteur haine pour ma droite delta c'est un vecteur directeur c'est ça c'est le truc de ciment fait si les droites sont perpendiculaires à tout parallèle la lune des perpendiculaire à l'autre et c'est un peu ça le principe donc comme n il est normal à la droite des ébats ça va être un vecteur directeur de la drogue d'état et la liesse pour la droite delta dont je cherche l'équation je connais un point au dessus le point a et je connais maintenant un vecteur directeur je vais pouvoir sortir l'équation donc maintenant qu'on a tous les éléments on va pouvoir dérouler la technique pour aller chercher l'équation cartésienne de delta c'est quoi tous les éléments c'est que j'ai bien haine qui est un vecteur directeur de ma droite delta et j'ai bien le point acquis et dessus qui est sûr à droite delta et on va aussi en fait sur résultat assez important en fait si on prend un point m au hasard du plan de coordonnées x y ce point m à partir à une certaine droite donc ici data m appartient à droite delta si et seulement si si et seulement si les vecteurs à m et n si je vous rappelle un vecteur directeur le delta est donc à m 6ème et dessus donc à m doit être quoi aussi ça doit être également être un vecteur directeur donc m à partir à droite delta c'est seulement 6 am et n sont linéaire voilà de vectone c'est seulement 6 am et enzo collinaires et deux vecteurs collinaires en terme de calcul en terme de coordonner et bah ça veut dire quelque chose d un résultat du court vu d'ailleurs en seconde il est la petite un vecteur u2 coordonnées x y est un vecteur v2 coordonnées exprime y prime usbco collinaires si et seulement si ce petit calcul si elle est tellement c'est xy primes - exprime entre kigali et ça en fait une façon de dire je passe tu l'as vu en seconde mais je vais te l'a rappelé donc en fait donc à m enzo collinaires donc si et seulement si ce calcul est une façon de dire c'est les semences et leurs déterminants si et seulement si dette de am et n égalise ont donc je répète pas de panique si tu l'as pas vu juste ça c'est la façon un peu jolie façon classe faso du supérieur finalement décrire ce résultat mais c'est strictement la même chose donc voilà donc comment exprimer le fait que deux vecteurs soit collinaires on prend les coordonnées d'un vecteur on prend les coordonnées de le de l'autre vecteur et on appelait cette petite formule n je connais ses coordonnées reste plus qu'à aller chercher les cordes ou les deux à m ea est normalement balancer comme un vecteur s'est pas décorée de amc xfx à point virgule y est mon gars tu as prouvé ce petit calcul à am a pourtant des xm paradis xe d'accord xm - a là pour coordonner pas pour abscisse pardon on en quatre temps sur montcalm point virgule y m - y yes donc je sors les coordonnées du vecteur ab qui sont x + 4 et y man 4 x 4 et great man 4 donc on est bon ça y est j'ai refait un peu d espace 2 qu'on a les coordonnées de à m on a les coordonnées de n2 qu'on va utiliser résultats qui je répète l'illustration de dette de am et n égale zéro ont fait naître quelques donc qu'est ce que ça veut dire que ils sont collines et acer que xy prime donc x + 4 mx y prime dont les coordonnées des lieux foi la foi semble moins exprime y moment de moins -2 x y ou quatre ça c'est exactement à la formule de seconde a été revu de cette année pour exprimer à l'aide des coordonnées que deux vecteurs sont collinaires et voilà hélas quand on va développer et réordonner ça la magie de cette technique moi j'aime beaucoup c'est là parce que là qu'on va développer et réordonner j'ai pas si tu arrives à voir un peu mais ça y est on a précisément une équation cartésienne fait ce m2 coordonnées x y et les puissants parce que grâce à lui eh ben les poissons cartes et les soeurs d'elle-même en fait on développe donc ça fait 5 x + 20 on l'a peut-être qu'on m'avait pas trop vite quand même parce que moi au moins deux on va d'abord vous dire que ça fait plus deux fois y man 4 ce serait bête de faire un mythe de calcul a donc voilà vous l'avez 5x plus 20 + 2 y - 8 et 15 0 parce que ça va pour le développement donc dernière étape pour quel est précisément à la forme d'une équation cartésienne bref donc 5 x + 2 y plus douce égal 0 et voilà j'ai trouver l'équation cartésienne de ma droite data ok donc d'allah étape nous ce qu'on a fait jusqu'à présent c'est déterminer l'équation de delta pourquoi est ce qu'on a fait ça parce qu'on cherche les corps là dupont h et petit rappel comment est ce qu'on l'a défini h d'une autre manière que l'énoncé h c'était finalement le point d'intersection entre les droits d et d'un tas donc finalement déterminer les coordonnées de h on a trouvé le point d'intersection entre cds droite autrement dit en termes de calcul résulte le système oui puisque h il doit à la fois être sûre d et sur delta donc ses coordonnées xy doivent vérifier cette équation est cette équation nous voilà en fin d'exercice heureusement un système auquel choquée elle n'aime pas trop mais bon on va faire donc c'est une façon un peu jury était de 2,2 à plessé que celle là on appelle ça la ligne l un est celle-là salim el de hockey de façon de faire la première c'est par substitution on remplace t on isole une des variables et on remplace dans l'autre nous réfère par combinaison qu'un peu plus sa méthode des grands plus classe et plus rapide même si on n'aime pas aux dés l'idée en fait c'est de faire apparaître un même coefficient devant x ou y pour simplifier quand on va additionner ou soustraire les deux lignes tiens on n'a droit qu'à l1 + l2 ou l1 l2 en groupe les plus on peut les additionner on peut les soustraire ça c'est ce qui est licite qu'on a droit de terre mais pour que ce soit intéressant il faut que tu aies les mêmes coordonnées par exemple sur x pour que quand tu les additionne les xxi disparaissent c'est normal le prince et salah ou adapter un petit peu c'est un peu comme les fractions en fait trouver finalement un dénominateur commun par quoi il serait judicieux de multiplies l1 et par quoi il serait judicieux de multiplier l2 pour que lorsqu on les additionne ebale x se simplifie donc finalement elle a voilà en mode comme ça elle tint on la remplace par en fait le nom commun qu'on peut trouver ici c'est 10.10 et -10 donc elle un ovale a multiplié par cinq on la remplace par cinq fois en l1 et l2 on va là me tuer par combien ma part deux parce que l'ue fasse un sabre a disparu lundi et lui par deux ça fera 10 et lapins en additionnant ça va se simplifier vous faites un peu visionnaire salle du geste que je vais faire faut être un peu visionner par quoi je devrais multiplier pour ça simplifie il faut voir une deux étapes derrière donc elles deux vers en place par deux fois elles deux alors donc ce système est équivalent à ce système on multiplie par 5 ça devient donc moins 10 x +25 y +5 égal 0 est donc la deuxième mine cij a multiplié par deux sa devient 10x que j'ai voulu dire c'est qu'on multiplie tout le monde par deux ou par 5 14 ans pas que de premiers éléments d'accord donc la part de on à +4 y +24 égal 0 en fait la résolution d'un système ce qui est embêtant au delà des techniques c'est qu'en fait il faut toujours entre guillemets se trimballer de ligne parce que pour une question de rigueur mathématique sinon ton système n'est pas équivalent à celui qui suit un système un système vous en faire plein encore des comme ça donc la première ligne on la laisse telle quelle elle s'appelle donc moins 10 x +25 y +5 égal zéro en gros tu gardes une des deux lignes est en fait la deuxième ce qui se passait là c'est là où quel calcul à faire l2 parce que tu as la nouvelle aile de finalement la nouvelle deuxième on la remplace par c'est ce que j'ai dit au début ma part la somme c'était un truc qui est licite a le droit de faire ça d'additionner les devis est comme ça toi tu vas crever vous partir donc à la place de l2 l1 on va regarder jouer l1 + l2 voilà ce qui va se passer donc quand j'additionne pointu mais comme si tu avais une fois de plus donc quand à 21h50 x + 10 x ça simplifie celle y ont à quoi 25 + 4 1 r29 y et 5 +24 + 29 0 hélas non tu vois ça y est c'est quasiment fini donc ça c'était un petit peu embêtant fois deux fois sans qu est ce que je suis mais une fois que tu as fait ça c'est fini klein li ning et je sors donc maintenant up donc là pour un petit gain de place je me permettre de faire un petit deux en un qui part que tu m'en voudra pas dire que la 29 yz +29 égal 0 le 29 y/y je laisse donc sa sphère 29 y égale -29 donc finalement y égale donc moins 29 sur 29 d'accord c'est perdre ça n'a pas trop perturbé ce que vous vous naviguerez cat man valdes a purgé une divise tout le monde par 29 et ça ça fait moins 1 pièce un nom tout gentil donc y également à ce que je trouvais y qu'est ce qui me reste à faire maintenant je remplace y yvon morin dans cette équation c'est pour ça qu'il fallait garder les deux parce que unem permettait de sortir x ou y exister y ait une fois que tu as grecque il faut l'autre pour remplacer aller chercher l'autre inconnue qui ici x donc j'en passe ici y par mois 1 donc on a moins 10 x + 25 fois moins un an +5 égal 0 donc je finir ici comme c'était à la suite donc le système en bas âge et vont y eut également d'accord on regarde les deux équations et là donc on a moins 10 x donc la 25 fois moins ça fait moins 25 pareil je vais me permettre de ne pas aller trop vite et moins 25 + 5 - 25 + 5 moins égale zéro et là pour le coup si le calme finir plus rapidement donc on a toujours y est loin donc appareils dû faire un petit besoin donc ici donc ça fait moins 10 x égale vin d'os x égale 20 sûrement 10 et 20 sûrement dit ça fait ok j'ai résolu mon système j'ai trouvé que x également deux y également un mais c'était pas x et y xy en fait c'était donc c'est la solution de ce système là et ce système en fait c'était résoudre cette ce système ça venait à trouver le point d'intersection entre les droites des et delta et c'était qu'il pour l'interdiction des droits des deltas c'était h ce que je cherche donc finalement h à pour coordonner attention le hic son premier -2 donc le projeter orthogonale pascal baills appelé comme ça non la transformer en point d'intersection des de droite mais h c'était le projeter orthogonale du point à sur la droite des eei là pour coordonner - 2 - 1