intégrale ♦ Changement de variable + intégration par parties ♦ Calculer ∫e^racine(x) dx ♦ Primitive

Bonjour et bienvenue sur j'ai compris.com L'objectif de cette vidéo, c'est de s'entraîner à calculer une intégrale à l'aide d'un changement de variable. Donc maintenant, comme d'habitude, appuyez sur pause, essayez de calculer tout seul cette intégrale. Si vous êtes bloqué, juste après, je vous donnerai une indication. Alors, si vous étiez bloqué, une bonne idée, c'est de se débarrasser du racine de x. Et pour cela, on va poser T égale racine de x. Donc maintenant, si vous n'aviez pas réussi à trouver, appuyez sur pause, essayez de finir tout seul. Et on se retrouve juste après pour la correction. Donc allons-y, corrigeons cet exercice. Et première chose à faire, trouver combien vaut dx. Pour cela, on va isoler x là-dedans. Et donc, on va se débarrasser de la racine. Et pour se débarrasser de la racine, on va élever au carré. Et donc, si on élève au carré, ça nous donne x. Et à gauche, ça fait T carré. Et du coup, dx, pour la voir, il y a juste à dériver T carré. Et la dérivée de T carré par rapport à T, ça fait 2T dt. Et du coup, ça va permettre de remplacer dans l'intégrale le dx par 2T dt. Et donc, cette intégrale est égale à l'intégrale, les bornes, on verra après, exponentielle de racine de x. Mais racine de x, on va la remplacer par T. Donc, ça fait exponentielle T. Et le dx, on vient d'expliquer qu'on va le remplacer par 2T dt. Donc, que multiplique 2T dt. Maintenant, on s'occupe des bornes. Donc, quand x prend la valeur 1, je remplace x prend la valeur 1. Donc, il faut calculer racine de 1. Et racine de 1, ça fait 1. Et donc, ça veut dire que quand x prend la valeur 1, x prend la valeur 1. T prend la valeur 1 également. Donc, la borne du dessous, ça reste 1. Maintenant, on s'occupe de la borne du dessus. Quand x prend la valeur 9, on l'écrit. Quand x prend la valeur 9, du coup, il faut calculer racine de 9. Et ça, ça fait 3. Et donc, ça veut dire que quand x prend la valeur 9, T prend la valeur 3. T prend la valeur 3. Donc, ça veut dire que la borne du dessus, elle devient 3. Maintenant, le problème, c'est qu'on ne sait pas directement trouver une primitive de cette fonction. Par contre, si on n'avait pas ce polynôme qui multiplie l'exponentiel, si on n'avait pas ce polynôme, eh bien, ce serait très simple de trouver une primitive puisqu'on s'est trouvé une primitive de l'exponentiel. Et donc, la question, c'est comment faire pour se débarrasser de ce polynôme ? Eh bien là, vous devez savoir que quand vous avez une exponentielle qui multiplie un polynôme, il faut penser à faire une intégration par partie. Pourquoi ? Parce que l'intégration par partie, elle va faire baisser le degré du polynôme d'1. Et comme ici, on a un polynôme de degré 1, si on baisse son degré d'1, eh bien, on se retrouve avec une constante. Et si on avait eu un polynôme de degré 2, eh bien, il suffisait de faire deux intégrations par partie pour se retrouver avec une constante. Alors, je vous ai remis ici la formule d'intégration par partie. Et maintenant, la question, qu'est-ce qu'on va appeler U' ? Et qu'est-ce qu'on va appeler V ? Eh bien, comme on veut dériver ceci, ça va correspondre à V. Donc ici, 2T, c'est ce qui correspond à V. Et du coup, V' ce sera la dérivée, ce sera 2. On tombera bien sur une constante, c'était l'objectif. Et donc ça, ce sera U'. Et donc, si U' c'est exponentielle T, eh bien, U c'est une primitive d'exponentielle T. C'est tout simplement elle-même. Donc, ça nous donne, entre crochets, UV. UV, donc exponentielle T, que multiplie V, donc 2T. Le tout, entre crochets, entre 1 et 3. Moins l'intégrale de UV'. UV', donc exponentielle T, que multiplie 2. Autrement dit, 2 exponentielle T. Donc, des T, toujours pareil, entre 1 et 3. Maintenant, il n'y a plus qu'à calculer les crochets. Donc, je remplace T par 3. Donc, 2 fois 3, 6, exponentielle 3. 6, exponentielle 3. Moins, je remplace T par 1. Donc ici, ça me fait 2. Et là, ça me fait exponentielle 1. Autrement dit, E. Donc, ça me fait 2E. Moins l'intégrale de ceci. Alors, le 2, je peux le sortir de l'intégrale. Et une primitive d'exponentielle T, eh bien, c'est elle-même. Donc, ça fait exponentielle T, entre 1 et 3. Et maintenant, ici, il n'y a plus qu'à remplacer T par 3. Donc, ça me fait moins 2 exponentielle 3. Faites attention. Moins, ça fait plus 2. Et je remplace T par 1. Donc, ça fait moins 2E. Et donc, regardez. Moins 2E, plus 2E, ça s'élimine. Ici, on a 6 exponentielle 3. Moins 2 exponentielle 3. Et donc, ça fait 4 exponentielle 3. Et voilà, on a terminé de calculer cette intégrale. Maintenant, n'oubliez pas que la formule d'intégration par partie, comme on parle d'intégrale de fonction continue, il faut que U prime et V prime, eh bien, comme elles sont dans l'intégrale, il faut que U prime et V prime soient continues. Regardez ici. U prime, c'est la fonction exponentielle. Elle est bien continue sur cet intervalle. Et V prime, c'est une constante. Elle est bien également continue sur cet intervalle. Et dire que ces dérivés sont continues, ça revient à dire que la fonction U et la fonction V sont de classe C1 sur cet intervalle. Dernière chose, quand on fait un changement de variable, il faut vérifier que la fonction phi qui a servi à faire le changement de variable, eh bien, que cette fonction, elle est de classe C1 sur l'intervalle concerné. Et je vous rappelle la formule de changement de variable. L'intégrale de f de x, dx, c'est égal à l'intégrale de f de phi de t, phi prime de t, dt. Ce qu'il faut comprendre, c'est que quand on fait un changement de variable, dans f de x, on remplace x par phi de t. Et regardez ici, x, on l'a remplacé par quoi ? Par t carré. Donc la fonction phi, ici, phi de t, c'est t carré. Donc faites attention, dans le changement de variable, la fonction phi, elle n'est pas à ce niveau-là, elle est à ce niveau-là, lorsqu'on a remplacé x par t carré. Donc j'insiste bien, phi de t, c'est t carré. Et donc maintenant, il faut vérifier que cette fonction, elle est de classe C1. Mais c'est un polynôme, donc c'est de classe C1, c'est indéfiniment dérivable, donc en particulier, c'est de classe C1 sur cet intervalle. Et maintenant, il n'y a plus qu'à rédiger tout ce qu'on a expliqué au brouillon. Donc voilà, je vous ai tout remis au propre ici, ce qui termine cet exercice. Et petite précision, quand on écrit que phi, la fonction qui a servi à faire le changement de variable, est de classe C1, c'est sur quel intervalle ? Eh bien, comme la variable, c'est t, et que t varie entre 1 et 3, eh bien l'intervalle, c'est 1, 3. Et n'écrivez pas que l'intervalle, c'est un 9, parce qu'un 9, ça concerne x, or nous, c'est t, donc l'intervalle, c'est bien 1, 3. Et pour continuer à vous entraîner, je vous propose cet exercice du même style, donc toujours pareil, calculer une intégrale à l'aide d'un changement de variable. Cherchez bien cet exercice et vous aurez la solution dans la prochaine vidéo. Et comme d'habitude, si vous avez apprécié cette vidéo, n'hésitez pas à la liker et à vous abonner à la chaîne pour ne pas rater les prochaines vidéos.