intégrale ♦ Changement de variable + exponentielle complexe ♦ ∫sin(ln(x)) dx ♦ Primitive MPSI PCSI

Bonjour et bienvenue sur j'ai compris.com L'objectif de cette vidéo, c'est de calculer cette intégrale à l'aide d'un changement de variable et on verra qu'on aura besoin, en plus, d'une technique extrêmement classique qu'il faut absolument connaître. Donc maintenant, comme d'habitude, appuyez sur pause, cherchez bien cet exercice et si vous êtes bloqué, juste après, je vous donnerai une indication. Alors, si vous étiez bloqué, l'idée, c'est qu'on va essayer de se débarrasser du logarithme. Et pour cela, on va poser t égale ln de x. Donc maintenant, si vous n'aviez pas réussi à terminer, appuyez sur pause, essayez de finir tout seul et on se retrouve juste après pour la correction. Donc, allons-y, corrigeons cet exercice. Première chose à faire, trouvez combien vaut dx, c'est ce que je vous ai rappelé ici. Mais pour avoir dx, bien déjà, il faut isoler x et pour cela, on va se débarrasser du logarithme. Et pour se débarrasser du logarithme, on va prendre l'exponentielle des deux côtés. Et donc, si je prends l'exponentielle à gauche, ça me fait donc exponentielle t égale exponentielle de ln de x. Et l'intérêt, c'est qu'exponentielle de ln de x, ça fait x. Et donc, voilà, déjà, on a x et maintenant, pour avoir dx, comme ici, on a x, pour avoir dx, il suffit de dériver exponentielle t par rapport à t. Et la dérivée d'exponentielle t par rapport à t, c'est elle-même. Et donc, ça fait exponentielle t dt. Et donc, voilà, le dx, il vaut exponentielle t dt. Et donc, ça veut dire que dans l'intégrale, eh bien, le dx, on pourra le remplacer par exponentielle t dt. Donc maintenant, on peut faire notre changement de variable. Donc cette intégrale, elle est égale à l'intégrale, les bornes, on verra après. Donc sinus et ln de x, on le remplace par t. Donc sinus t et le dx, on vient d'expliquer, on le remplace par exponentielle t dt. Donc on multiplie exponentielle t dt. Maintenant, on s'occupe des bornes. Donc quand x prend la valeur 1, on l'écrit ici, quand x prend la valeur 1, donc il faut calculer ln de 1. Et ln de 1, ça fait 0. Et donc, ça veut dire que quand x prend la valeur 1, t prend la valeur 0. Donc la borne du dessous devient 0. Maintenant, on s'occupe de la borne du dessus. Donc quand x prend la valeur exponentielle pi, je l'écris quand x prend la valeur exponentielle pi, donc il faut calculer ln d'exponentielle pi. Et ln d'exponentielle pi, ça fait donc pi ln de e. Et comme ln de e, ça fait 1, pi fois 1, ça fait donc pi. Donc ça veut dire que quand x prend la valeur exponentielle pi, eh bien t, lui, prend la valeur pi. t prend la valeur pi. Donc la borne du dessus devient pi. Et là, le problème, c'est que cette fonction, on ne sait pas directement trouver une primitive. Eh bien justement, vous devez savoir que quand vous avez du sinus que multiplie de l'exponentielle, c'est ce que je vous ai rappelé ici, ce qui serait bien, c'est de n'avoir que de l'exponentielle parce qu'on sait trouver une primitive d'exponentielle. Eh bien justement, le sinus, on peut l'écrire à l'aide d'exponentielle parce que sinus t, eh bien c'est la partie imaginaire de cos t plus i sinus t. Le sinus t, regardez le sinus t, c'est bien la partie imaginaire. Et donc je peux écrire que sinus t c'est la partie imaginaire de ce nombre complexe. Et ce nombre complexe, c'est justement exponentielle i t. Et donc ça veut dire que sinus t, eh bien c'est la partie imaginaire d'exponentielle i t. Et voilà, on s'est ramené avec de l'exponentielle. Et donc dans mon intégrale de 0 à pi, eh bien le sinus t, je le remplace par partie imaginaire d'exponentielle i t, et il reste derrière que multiplie exponentielle t dt. Et maintenant, vous devez savoir, c'est dans votre cours, que quand on a une fonction de r dans c, c'est bien le cas ici, t c'est un réel, et exponentielle i t c'est un complexe, eh bien ici une fonction de r dans c. Eh bien dans ce cas-là, on peut sortir la partie imaginaire de l'intégrale. Et donc ça veut dire que cette intégrale, elle est égale à la partie imaginaire, donc de l'intégrale de 0 à pi, donc de exponentielle i t, que multiplie exponentielle t dt. Et maintenant, on n'oublie pas que notre but c'est d'avoir qu'une seule exponentielle, et donc on regroupe les exponentielles, et vous savez que quand on multiplie des exponentielles, les exposants s'additionnent. Alors je le fais au brouillon, donc quand on multiplie ceci, ça fait exponentielle, donc j'additionne les exposants, donc ça fait exponentielle i t plus t. Et maintenant, il n'y a plus qu'à mettre t en facteur, donc ça fait exponentielle t facteur de 1 plus i, et le mieux c'est de mettre le t derrière. Et donc ici, ceci, je peux le remplacer par exponentielle de 1 plus i fois t, donc ça me donne partie imaginaire de l'intégrale, donc de 0 à pi, et donc tout ceci, je le remplace par exponentielle 1 plus i, exponentielle de 1 plus i t dt. Et l'intérêt, c'est que ceci, c'est de la forme exponentielle a t, et je sais trouver une primitive d'exponentielle a t, c'est 1 sur a exponentielle a t, et donc tout ceci, c'est égal à la partie imaginaire, et donc cette intégrale, c'est, entre crochets, une primitive, et donc une primitive, c'est 1 sur a, donc 1 sur a plus i que multiplie exponentielle a t, donc 1 plus i t, et donc entre crochets, entre 0 et pi. Et donc voilà, on a presque terminé. Maintenant, il n'y a plus qu'à remplacer t par 0 et pi, et à trouver la partie imaginaire de tout ceci. Donc, on y va, ça fait partie imaginaire de quoi ? Donc je remplace t par pi, donc ça fait exponentielle 1 plus i pi, je remplace t par pi, le tout divisé par 1 plus i. Moins, je remplace maintenant t par 0, donc ici on a 0, 0 fois n'importe quoi, ça fait 0, et exponentielle 0, ça fait 1, donc ça fait moins, donc 1 sur 1 plus i. Et comme tout est sur 1 plus i, et bien ça fait donc ça moins 1, le tout sur 1 plus i. Et maintenant, il n'y a plus qu'à calculer la partie imaginaire de ceci. Et donc, ça nous donne partie imaginaire, maintenant je distribue le pi, donc ça fait exponentielle pi fois 1, ça fait donc pi, exponentielle pi, que multiplie exponentielle i pi, moins 1, le tout, toujours pareil, sur 1 plus i. Maintenant, vous savez que exponentielle i pi, ça fait moins 1, donc je peux enlever ceci et mettre un moins devant. Donc voilà, j'efface pour que ce soit plus clair, voilà. Et donc le exponentielle i pi, j'ai mis un moins devant à la place et donc l'expression elle est maintenant beaucoup plus simple, ça fait donc moins exponentielle pi, moins 1, le tout sur 1 plus i. Maintenant, vous devez savoir que quand on a la partie imaginaire d'un réel, d'un réel que j'appelais k ici, qui multiplie un nombre complexe, et bien dans ce cas là, on peut sortir le réel. C'est exactement ce qu'on a ici, le numérateur, regardez ici, il est réel, et donc on peut le sortir de la partie imaginaire, et donc ça fait moins exponentielle pi, moins 1, et donc il me reste partie imaginaire, donc il me reste la partie imaginaire, j'efface, voilà, j'ai pris beaucoup de place, et donc la partie imaginaire, donc il me reste 1 sur 1 plus i. Et maintenant, pour avoir la partie imaginaire de 1 sur 1 plus i, et bien on va écrire 1 sur 1 plus i sous forme algébrique, et pour cela, on multiplie en haut et en bas par le conjugué du dénominateur, donc ici on multiplie par 1, moins i, donc ça fait 1 fois 1 moins i, ça fait tout simplement 1 moins i, et maintenant on développe donc 1 moins i au numérateur et au dénominateur, si on développe, comme on multiplie un complexe par son conjugué, ça fait le module au carré, donc ça fait 1 au carré, plus le coefficient qui multiplie i au carré, 1 au carré encore, et donc ça fait 1 moins i sur 1 plus 1, c'est-à-dire sur 2. Et nous, ce qu'on veut, c'est la partie imaginaire, et la partie imaginaire, c'est ce qui multiplie le i, donc c'est moins 1 demi, la partie imaginaire de ceci, c'est moins 1 demi, et donc ça fait, donc entre parenthèses, moins exponentielle pi moins 1 que multiplie la partie imaginaire de ceci, donc c'est moins 1 demi que multiplie moins 1 demi. Et maintenant, il n'y a plus aucun cas à ranger, multiplié par moins 1, ça revient à changer les signes, et le tout divisé par 2, et donc voilà le résultat final. Maintenant, dernière chose, reste à vérifier que la fonction phi qu'a servi à faire le changement de variable, il faut vérifier que cette fonction elle est de classe C1, et c'est quoi cette fonction ? Eh bien, rappelez-vous de la formule du changement de variable, l'intégrale de f de x dx, la formule de changement de variable dit que c'est égal à l'intégrale de f de phi de t que multiplie phi prime de t dt. Et ce qu'il faut comprendre, c'est que dans cette formule de changement de variable, dans f de x, on a remplacé x par phi de t. Regardez ici, x, on l'a remplacé par exponentielle t, et donc ça veut dire que notre fonction phi, c'est phi de t égale exponentielle t. Et la fonction exponentielle, elle est indéfiniment dérivable, donc elle est bien de classe C1. Mais sur quel intervalle ? Attention, la variable, c'est t. Et t, regardez, se balade entre 0 et pi, et donc il faudra écrire que phi est de classe C1 sur l'intervalle 0pi, et non pas sur cet intervalle qui concerne x. Donc maintenant, il n'y a plus qu'à remettre au propre tout ce qu'on vient d'expliquer au brouillon. Donc voilà, je vous ai tout remis au propre ici, ce qui termine cet exercice. Et pour continuer à vous entraîner, je vous propose cet exercice du même style, donc toujours pareil, calculez une intégrale à l'aide d'un changement de variable. Donc cherchez bien cet exercice et vous aurez la solution dans la prochaine vidéo. Et en attendant, comme d'habitude, si vous avez apprécié cette vidéo, n'hésitez pas à la liker et à vous abonner à la chaîne pour ne pas rater les nouvelles vidéos.