七上數學 39 因數倍數與質因數分解(6)：歷屆試題實戰解密 (14至22題) ｜何肇忠老師 (最新課綱)

歡迎收看數學簡單,我是趙正宗老師 我們今天有做一個調查,就是調查一下各位斷考的情況 就我發現我的進度可能有點慢 所以我今天把國一的直播時間就提早一些些 那我們就開始來上課囉 我想說可以的話就先把課程上完 還有時間複習 不要被進度追著跑,我覺得蠻可憐的 所以我們就今天先把進度稍微追平一下 我們的講義是上到 我們從歷屆的十題開始講起 那我同學如果有講義可以把講義拿出來看一下 如果沒有講義沒關係 可以跟著老師的口述來看一下題目怎麼出的 來我們看第四十題 我把題目抄一下 跟著十四題,四十一的第十四題 它是說要做231192做直音速分解 得到2的A次 然後乘上3的2次 乘上C的2次 再乘上19 2的A次,不是9次 我寫好了,2的A次 那題目是要求A加C 就A加C答案多少 那看起來這題目也是覺得非常的親切 那要怎麼做呢 要做它的,它題目是這樣說的 它的直音速分解後得到的結果是這一個 那所謂的直音速分解就是 它寫出來這樣的呈現 是所謂的標準分解式 那我們就直接把它做直音速分解 那就寫那個231192 開始去短除它 就享受除法的過程 來,除吧 要怎麼除呢 偶數嘛,當然要二除 不客氣了,二除 212,212 那除法就要小心啦 這沒有什麼特別技巧 就是小心除 然後避免算錯 所以212,250 250 等一下,亂掉了 212,212 250,250 298,262 115596 然後再用2去除 那其實我也發現同學除法會比較慢 但是沒關係 慢就多除 去增加你除法的功力 其實老師除法也是很慢 有時候會除錯 所以我也是小心 然後再250 274,274 298,286 然後再用2去除 可能2就盡量2嘛 2到不行再來換 換3,換19都可以試 但是這邊尾數是8 2還可以再除 那就224 224變17 286,286 298,298 變288,99 再來就看3可不可以 2加8,10 10加8,是18 18再加18,36 又被刪除 所以34可以了 而且3應該可以兩次 因為3的二次方 反正3一定要兩次 用3來除 所以用3除的話 這邊3,39,27 然後36,18 再來33 3可以再除一次 因為它說3兩次 3的二次方 用3除 339,36,11 所以3加25 5加1,加1是7 不能被刪除了 換下一個 換誰呢 有沒有注意到 19可以對不對 如果說你不知道用誰 好的話沒關係 先用19啊 它有跟你說19可以用啊 有沒有哪裡有寫 這裡有寫啊 19可以用 所以我就把那個 3,2,1,1 去除以19 因為我們現在看 不知道是誰可以用 不知道78可不可以 我們有4啦 我先試19好了 19的話第一個放19 相減之後變多少 這邊是3,1,1,3,1 1,3,1放多少呢 19的幾倍 4倍,7倍 等一下 4倍,7倍 7,9,6,3,進6 7,9 欸,19去乘以7喔 因為老師其實 乘除法沒有說很強喔 7,9,6,10,3 進6 加6 7加6,1,3,3 超過了7不行 用6好了 用6之後呢 6,9,5,10,4 進5 6,1,6,1,1,4 相減了1,7 1,7,1 1,7,1放多少呢 放8 8 不對不對 放8幹嘛 放9 那是9,9,8,10,1 9,9,8,10,1進8 9加1 9加8,17 1,7,1 可以喔 所以是1,6,9 所以我們用19去除 是1,6,9 所以說現在老師除法 也沒有說很強 同學去除法可能會更不理想 就慢慢除沒關係 享受一下除法的樂趣 在1,6,9用什麼除啊 可以用13除 13乘13是1,6,9 這我們背的喔 以後可以把它背下來 13平方是1,6,9 讓我們在算題目會比較快一些 好 那這個時候呢你看喔 它一路乘到底 就是2,3,1,1,9,2 什麼一路乘到底啊 從這裡開始喔 一路乘到底喔 它就是2,3,1,1,9,2 我們把它整理一下 從直數寫起 就是最小的先寫 有幾個2 三個2 叫2的三次方 所以它這邊很明顯喔 這個a就是3了喔 因為是2的三次方 對不對 乘3二次 乘兩個13 叫13的二次方 所以c叫做13 它求a加c a就3了嘛 所以3再加上13 答案是16 所以這裡答案要選的是16 所以它本身是不難 就是說你在除法的時候 要特別的小心 就考驗各位除法的功力 好 這邊有沒有問題 這是歷屆的第14題 那我們今天有稍微提早一些上課 那就是 但是下課時間是一樣的 我們就一樣上到那個 好 上到 5點40喔 因為其實題目是比較多啦 那我覺得題目多 今天老師都排那麼多題目了 我就盡量把它講完喔 就不要說都沒有上完 好 我們看一下那個第15題 那15題呢 它是說 小華利用自己的生日呢 設計一個四位數的密碼 厲害喔 自己設計密碼 它方法是呢 分別將月份日期 寫成兩個質數的和 你看喔 應該是什麼月 生日嘛 什麼月什麼日 它把這兩個喔 月跟日 自己的生日 設計成一個四位數密碼 他的生日設計成密碼 然後分別將月日 寫成兩個質數的和 所以這月份呢 它是兩個質數相加的結果喔 然後這日期也是喔 幾月幾日生 分成兩個質數相加的結果 好 再將這四個質數相乘 所得數就是密碼 然後就變這樣子喔 它譬如說 想像老師是4月24日生日 我把4拆成1加3 但1不是質數啦 這樣就不行了 它是把它拆成質數相加 所以我就不適合喔 準備2加2 可以喔 24 4月24日生嘛 所以11加13 也是可以這樣湊喔 然後把它乘起來 變成密碼這樣子喔 像這樣的效果 那看 它就說 已知它的密碼是2030 這2030呢 是說喔 這四個數乘起來的結果 叫做2030 那問你說 那它是 處在幾月份呢 這幾月幾日生的幾月份生 那怎麼做 當然很明顯就是要把2030怎麼樣 去做分解嘛 看它的成分會有誰 那要怎麼做呢 短除法 我們就把那個2030做短除 那短除的時候呢 一開始我們都是用質數 最小的開始 用2 2可以用就一直2到底 來 2開始除喔 用2除的話呢 第一個 2除下去的話是 1015 這2不行了嘛 再看3可不可以 1加1加57不能被刪除 抱歉 用5 用5除的話呢 520 0 3 這除法小心喔 很多寫23不對喔 203 再來好像5也不行了啊 6 7 7可以嗎 7的話724 相減 6379 可以喔 用7除 用7除的話 724 79 623 29 沒啦 所以它是25729 你看喔 25729 剛好就是這四個數相乘 那變成說 你要兩個兩個相加 湊到月跟日去 對不對 你想喔 這兩個兩個相加 要湊到月跟日 因為這四個乘起來是 2030沒問題 但是呢 它的月跟日要怎麼放 那我們就想 日的問題 因為我們最多是幾日 31日嘛 沒有32 一個月份最大就31日 所以你看喔 這邊都29了 那也不能加7嘛 變36日 沒有人這種日期生的啊 對不對 比如說你是 5月36日生 你給它笑死喔 它就31日最多的 所以29只能加2 如果29只能加2的話 那這個是2跟29的位置喔 所以2加29 它是31日生 剩下5跟7我還沒有放 我放在前面好了 這邊5跟7的話 5加7多少 答案是12 所以它是12月31日生 它是最後年月 每年 每年的最後一天生出來的喔 就是那一天生出來的 所以答案是12月 那我們就選的是 12月選的是足 那這題這樣有沒有問題啊 應該算簡單了 然後把那個 手機的聲音 手錶的聲音關掉 不然一直在吵我 再看那個 這OK喔 再來我們看那個第四十 第二的第十六題 那目前上的是歷階四題 反正這題也滿有趣的喔 因為題目都很棒啦 所以老師想說 盡量就把它講清楚 所以我們今天稍微提早一些些上課 那現在講解到的是那個 歷階的第十六題 有關於因數倍數的部分 那題目是說呢 它設計一個符號 就說 A 是什麼符號 圓圈圈裡面是一點是嗎 好來它這樣子 圓圈裡面一點是什麼符號 是個B 它是表示說 如果這樣寫 代表說 大於A小於B的 所有質數的個數 那譬如說 它這樣寫好了 例如說這樣寫 這樣子十五的話 它答案就是二 為什麼 因為大於十 小於十五的質數會有誰 你數一下嘛 大於十小於十五 不就十一跟十三 兩個質數它寫二 所以這個是質數的個數有幾個 它有幾個例子 好說那如果呢 它今天題目這樣說 它是三十跟C 三十跟C 然後它答案是二 就代表說 它是大於三十 小於C的質數 有兩個 那C是誰 那我想 大於三十的質數會有誰呢 大於三十的質數 下一個不就三一 三一叫質數嗎 三三不是 三五不是 三七 三七叫質數 可是你不能寫三七喔 如果C三七的話 是小於三七 二變四三十一個啊 所以C還要再更大一些 所以我們要找下一個質數 下一個質數是誰啊 三一三九 不是三七 過來三九不行嗎 四一過來四十一 所以C答案是四十一 小於四十一 沒有包含四十一的質數 就大於三十 小於四一的質數 會有三一跟三七 最後答案會有誰可以啊 從三八開始 三八三九四十四一 都符合 因為只要小於三十八 質數也會有它 三七 小於三十九 也會有它三七 最後到四十一 不能到四二 因為你到四二的話呢 小於四十二 你四一又跑出來了 變成三個質數 它只有兩個質數啊 所以不會到四二 這樣知道嗎 所以會有四個答案都可能 方說哪個可能呢 因為我們選 有A三八 可以啊就選A啊 B是四二 四二超過不行啊 我剛剛說不行嗎 四二以上都不行啊 所以答案就A 所以這裡也是算輕鬆容易的喔 這樣有沒有問題 好這是那個 第十六題 好再看那個第十七題 十七的話 這一題呢 他說要找互質 就說誰跟誰 跟五十五互質 互質這個東西 其實應該是下個單元的 所以我們這邊提早 先跟各位同學講一下 什麼叫互質 互質是說他們的 最大公益數就只有一 沒有其他的公益數 就稱之為互質 所以他說 如果是五十五的話 十七題 如果是五十五的話呢 好來 那哪一個跟五十五互質 比如說A選項好了 二十一 二十一跟五十五有互質嗎 有啊 因為五十五他就五乘以十一嘛 那二十一不能被五除 不能被十一除 那就跟他互質 所以答案選A 那還有其他幾個答案 他B選項是三十 三十跟五五就被互除 就沒互質 那三十五呢 一樣都被互除 公益數是五以上 就五了 就沒互質了 那七七呢 七七被十一除 五五也被十一除 所以這樣也沒互質 所以答案只有選A 二十一跟他有互質 好那再來看 我們看那個第十八題 我們今天比較早上課 是因為那個 老師有調查一下 就是每個同學的 斷考的日期 我發現最快的是在下個月 的二十五號就要斷考了 那我算一算 我怕我的課程會太趕 所以老師寧可就多上 所以我們今天提早一些上課 好我們看一下那個 好再看那個第十八題 好十八題老師說呢 如果四十五可以分解為A乘B A跟B都正整數的話 那何者不可能是A加B的值 你四十五可以分解成A乘B 那他說何者不可能是A加B的值 那你就乾脆把四五 通通分解出來 四五的分解法很單純 然後不就一乘四十五 還好呢 都不行嘛 還好三乘十五 還好沒有 還有咧 還好五乘於九 還好沒有 那就沒有了 所以你會發現 四十五的分解法 要一乘四五 三乘十五 五乘九 四十五對不對 那他說A加B的可能答案 所以如果是A加B的話 我們這樣看 A加B如果A是1 B是5 1加4 5是16 如果A是3 B是15 3加15 18 A加B有5加9 14 所以答案是 4 6 18 14都可能 那其他就不可能 他說哪一個 不可能 A說46 有46嗎 B說42 也沒有42啊 答案選B C是18嘛 豬14 所以答案選B B不可能 所以這也算是蠻容易的題目 好看那個第十九題 十九題 我覺得這一題 這很誇張 誇張是說 它是歷屆的機車考的題目 它為了要讓同學 更清楚題目的意思 它講得太仔細了 太仔細之後 就題目變得很龐大 你看那題目的 它的說法 它說大 但是很簡單 大小相同的正方形紙牌 若干張 可以緊密排出 不同形狀的長方形 例如說拿六張 六張的正方形紙張 可以如圖一 它排出兩種形狀 就一乘六 二三六 二三跟三二是同一種形狀 如果拿十二張的 正方形紙張的話 可以排出三種形狀 分別是一乘十二 二六十二 三四十二 它說 如果拿了三十六張紙牌給你的話 三十六張的紙牌給你 那你最多可以排出 幾種不同形狀的長方形 長方形 所以很多同學 這邊就中招了 來跟你講 三十六怎麼分解 可以分為一乘三十六 我就寫 它可以是一乘三十六 還好呢 還好是二乘於十八 還好呢 還有三乘於十二 還好沒有 還有啊 四乘於九 還好呢 還好是六乘六 那按照題目的說法是說 一乘三十六 三十六乘一 是同一種長方形 二乘十八 十八乘二 是同一種長方形 就是說你可以 你這樣子二乘十八 這樣二這邊十八 跟你說你這樣擺 二跟十八 這邊二跟 這邊十八 它是同一種的長方形 所以是為同一種 所以這個一種 兩種 三種 四種 這個 完了 這到底算不算長方形 所以變成說 同學要很清楚 很精準的知道 什麼叫長方形 長方形的定義 它其實不是說 長寬不一樣的 四個角質角 長方形的基本定義 跟矩形很像 什麼叫矩形 矩形的基本定義 就是四個角質角 長方形的基本定義 它也只拐四個角質角 它不管長寬是否相等 換句話說 一二三四五 這五種都稱之為長方形 雖然這個是正方形 六乘六正方形 但是我們在分類上面 它一樣屬於長方形 譬如說正方形 是包含在長方形底下 正方形的範圍比較小 還要四個角質角 還要四邊等長 但長方形只要四個角質角 所以這個六乘六的正方形 它符合的是四個角質角 所以它屬於長方形的一種 所以答案會有五種 我們答案就要選的是 選的是B 所以這一題很多人選到 是四種選A的 那就不對了 因為這個一樣屬於長方形的一種 這樣知道嗎 所以考試算很簡單 有時候一些觀唸的問題 你可能不懂你就選錯了 再來換第二十題 二十題也簡單 我先把黑板擦掉 二十的這題它說 將N個邊長為1的小正方形 然後它要拼成一個 長寬多大於1 長寬大於1的矩形 矩形就是四個角質角 而且不會剩下任何的小正方形 就是要分完 就是你這個長乘寬 會等於這個面積 然後長寬多大於2 它說N不可能是哪個數 它給了四個答案 分別是81 然後85 跟87 然後89 89啦 不管了 89 它說N不可能答案是哪一個 因為它這裡要求是說 它的長寬都大於1 而且相乘等於這個數字 所以我們要找什麼 找質數 因為質數它是1乘以它本身 就沒有大於1 所以只有89可以 答案選89 這樣OK嗎 再來看那個 四十二頁的二十一題 我們還有兩題講完 就可以教 最大公佈數最少公佈數 所以我們今天進度會進到 最大公佈數跟最少公佈數的部分 那我們看一下那個 第一屆四題的第二十一題 其實二十一題本身很棒 這題滿不錯的 二十一題喔 來 我把題目寫一下 因為題目 等一下我幫它寫一下 A B C D E F G 這樣粗耶 好來 然後呢 數字我寫旁邊 22 33 557 好那我先把題目這樣寫 這是它的一個正整數A 它做直音數分解法的過程 然後有幾個選項 我把它抄下來 A選項是說 B是二二次 乘三二次 乘五二次 乘七嗎 C B選項的C 我選項不寫的 三二次 乘五二次 乘以七 那E的話呢 是 三二次 乘五 二次 乘七 那F選項呢 五乘以七 所以這個題目的出法是千變萬化的 那重點不是說 看這邊怎麼做 你要想喔 我們在做那個直音數分解法的時候 像這個A怎麼樣 A不是怎麼樣 這A就這樣喔 那從這邊開始 一路呈到底啊 那就是A了不是嗎 對啊 那B呢 從這裡開始喔 一路呈到底就是B啊 那隨便抓個豬咧 從三開始 一路呈到底有沒有 就是豬了啊 換句話說很容易嘛 你看它寫B 從那邊開始 B喔從這邊開始 這邊開始喔 一路呈到底就是B 幾個二 兩個二 二二次 幾個三 三二次 兩個五 一個七 這個是對的 它挑對還是挑錯啊 怎麼那麼快 它是說挑挑挑挑挑 挑正確的 答案就是A啦 結束了喔 那我們看其他會什麼錯 比如說那個C會什麼錯 你看喔 一路呈到底喔 幾個二 一個二 蛤沒有寫二 有沒有啊 二都不見了 它有個二耶 二不見了啊 所以這個不對了 看E好了 從這邊開始 一路呈到底 就是E啊 一個三兩個五 一個七 一個三 兩個三咧 錯 所以錯 F呢 F這邊開始喔 從這邊開始喔 五呈五呈七就F啊 對不對 就五呈七 當然不對啊 五呈七是G耶 G纔是五呈七啊 所以全部都錯 只有A對 所以這個題目 它的變化是很多種 但是你只要 搞懂它什麼意思 就很容易回答了 這是第二十一題 也是歷屆的四題喔 好 最後我們看那個第二十二題 這個講完我們就 把歷屆題目講完了 就可以進入到那個 公因數跟公倍數的部分了 來 好那我們再來看那個 第二十二題喔 它說 下列何者可以表示成 兩個質數的乘積呢 嗯 質數的乘積喔 A是八十一 把八十一變兩個質數互乘 那B是八十二 把八十二變兩個質數互乘 C 八三 那 豬 八四 我們去試一試好了 有些可以有些不行啊 那哪些可以哪些不行 呃 看喔 是嗎 八一八二八三八四了沒錯 這個八一的話呢 八一可以分成兩個質數乘嗎 比如說八一齁 它是一乘八十一 一不叫質數嘛 不行 三乘二十七 二十七不是質數不行 還有誰 還有九九 九九八十一 九跟九都不是質數不行 所以A沒了 換B好了 B第一個一乘八十二 可是一不叫質數嘛 所以當然不行 二乘四十一可以嗎 欸可以耶 bingo 二是質數 四一也質數 兩個質數互乘 可以喔 後面就不分解了 那八三行嗎 會不會複選 八三的話 第一個 八三隻有一乘八三嗎 因為八三叫質數嘛 所以也不行 那八四呢 一乘八四 還有呢 二乘四十二 也不是質數 二質數 四二不是啊 三乘二十八 不行 四乘二十一 不行 還有誰 還有六 六乘十四 不行 七 七乘十二 不行 因為這個不是兩個質數喔 大概八九 八九十十一 欸變回去了 沒有了喔 所以發現答案只有是B可以 它是兩個質數互乘變八十二 好 所以答案選擇是B 好 那我們就把那個歷屆題目 全部都上完了