Steckbriefaufgabe: Funktion 5. Grades - punktsymmetrisch zum Ursprung - Tangentengleichung

gesucht ist eine ganz rationale funktion fünften grades der graf ist punkt symmetrisch zum ursprung es gibt ein wendepunkt in 10 und der punkt 0 0 hat eine tangente mit der gleichung y gleich sieben ich unten ist es abgebildet also das ganze soll punkt möglich sein das kommt von unten dann geht es hier nach oben gegen unendlich und es gibt diesen punkt 0 0 der hat diese tangente das ist die gleichung y gleich 7x und dann gibt es diesen punkt 10 das ist einer von mehreren wendepunkten die diese funktion hat ich werde die aufgabe jetzt einmal vor rechnen ich mache das relativ schnell nicht zu ausführlich es ist einfach gedacht als übungs video du kannst mit mir zusammen rechnen oder erstmal selber versuchen und dann mit meinem lösungsweg vergleichen aber ich mache das hier müssen kleiner brauchen wir vielleicht später noch mal und wir fangen an mit der allgemeinen form für eine funktion fünften grades das ist es von iks gleich x5 plus wx hoch 4 + cx3 plus dx hoch 2x hoch einsplus ist natürlich viel zu viele unbekannte wir müssen ein bisschen aussortieren und wir können die informationen benutzen dass dieser graf punkt symmetrisch zum ursprung ist das bedeutet es gibt nur ungerade exponenten hoch 4 und hoch 2 fällt schon mal raus also 4 wird gestrichen und dx hoch 2 wird gestrichen der kann noch ausstreichen nämlich wir haben den punkt 0 0 also es geht hier durch die 0 durch das heißt es gibt auch kein ff wäre 0 auch das streichen dann kann ich das noch mal neu ausschreiben phonix gleich sechs hoch 5 sollte nämlich bbx hoch 3cx sieht schon ein bisschen übersichtlicher aus davon jetzt die ableitung abstrich von ex gleich fünf decks hoch 43 bex hoch 2 + c und die zweite ableitung firma zehn bis zwanzig x3 +6 wx und c fällt weg und bedingungen wir haben ein punkt 10 das heißt der funktions wert von 1 ist 0 f von 1 gleich null dann wissen wir dass das ein wendepunkt ist also an der stelle 1 muss die zweite ableitung 0 sein das ist die bedingung für den wendepunkt f2 strich von einst ist gleich null so und dann können wir uns auf diesen punkt 00 konzentrieren wir haben ja schon f rausgestrichen deshalb brauchen wir nicht mehr sagen er von 0 gleich null wir müssen mit dieser information hier arbeiten er hat in diesem punkt 11 eine tangente der gleichung y gleich 7x tangente heißt dass dieser diese gerade die gleiche steigung hat wie dieser punkt also tangente zu einem punktgleiche steigung wieder punkt das heißt die steigung muss sieben seien die karten gleichung ist ypsilanti gleich 7x und 7 ist die steigung zehn jahre funktionen immer mlx plus und ich hab das mal hier auch y y gleich ma jigs und dieses m ist die steigung ns der y-achse abschnitt ist in diesem fall null also 7x die stange 7 wir können also sagen elf strich von die stelle des 0 abstrich von 0 gleich sieben so das setzen wir jetzt ein die einst eingesetzt in der von ex überall wo es steht schreiben wir eine 1 10 also einmal 15 ist aber + b x 183 s b + 10 x 1 ist 10 das ist gleich null also erste gleichung a + b + c gleich null dann f2 strich von 1 gleich null f2 strich ist hier unten und wir setzen die 1 1 dann steht da 20 mal 13 + 6 x b x 1 wäre 20 a plus 6 b 20 a plus 6 b ist gleich null das ist diese bedingung f2 strich von 1 gleich null so jetzt f strich von 0 gleich sieben setzen wir in strich 1 5 x h x 0 bis 0 also nur noch 40 plus x 0 hoch 20 + c gleich sieben damit wäre zugleich 7c ist gleich sieben damit haben wir schon mal eine eine unbekannte gefunden konnte street aus der ersten gleichung die erste gleichung einarbeiten würde der ersten gleichung stehen a + b + 7 gleich null risiko auf die andere seite dann steht der nur a + b gleich - 7 so das wäre die erste gleichung die zweite gleichung ist 20 a plus 6 b 20 a plus 6 b gleich null mein mathelehrer wird es wahrscheinlich ordentlicher aufgeschrieben haben ich mache das jetzt einfach ein bisschen schnell schnell gut wir können das ohne taschenrechner lösen ich sage die erste zeile mal sechs entsteht da der essentiellen 6a 6b ist gleich - 42 und die zweite zeile ist 20 a plus 6 b gleich null das habe ich deshalb gemacht dass wir jetzt wenn wir diese zeit voneinander abziehen dieses b hier wegfällt wir können unser ausrechnen also ich sag jetzt die zweite zeile - die erste zeit also 2 - 1 entschieden 20 a 6 a ist 14 a 66 b ist 0 und 0 - - 42 - - ist wichtig es 42 14 a ist gleich 42 geteilt durch 14 und a ist gleich drei so das kann man jetzt einsetzen wenn ihm die erste gleich und hier oben ich sitze für ein einsätzen in 1 dann steht da 3 + b ist gleich - 7 auf beiden seiten - 3 und b ist gleich - 10 10 damit ist unsere aufgabe gelöst c7 also als drei bis minus 10 und 10 7 dann ist die gleichung von iks gleich drei x5 - 10x hoch 3plus 7x und damit ist die aufgabe gelöst