CORRIGé du concours GEIPI polytech 2023 maths - Géométrie dans l'espace - Exercice II

bonjour à tous Aujourd'hui on s'intéresse au concoursp poly 2023 avec l'exercice 2 la géométrie dans l'espace don figure de tout d'abord on va le faire directement de résoudre une équation donc ça c'est très simple as comme d'habiteours rempiss dans des cas prédéf pour résoudre cette équation x 4x +0 on calcule d'abord le discriminant Delta b² - 4 AC donc ici 16 4 x 1 2 ça fait 16 - 8 ça fait 8 donc on a de solutions réell donc X1 B alors je vais mettre grand x parce que c'est une équation en grand x grand X1 B donc 4-√8 alors √8 il faut savoir c'est 2√2 sur donc 2 donc sur 2 on simplifie par 2 donc 4/ 2 ça fait 2 moin ici √2 on pense bien simplifier en haut chaque terme par 2 et donc X2 ce sera donc 2 + √2 déterminer les coordoné des points JL milieu des segments BF et DH donc tout d'abord BF donc B F alors vous rappelez on fait la somme on divise par 2 la somme des donc 0 + 4 donc ça fait 4 div par 2 ça fait donc 2 donc donc j pour absc 2 ensuite 1 + 1 donc comme les deux font 1 ça fait 1 1 + 1 2/ 2 2 et on a ici √ 3 donc ça va quand vous avez les deux coordonnées qui sont les mêmes le milieu la même coordonnée donc ça gagne du temps ensuite on a D et H D et H donc là vous voyez ça va très vite aussi parce qu'ils ont même même y même Z donc il y a juste le X à calculer donc 0 et 4 le milieu c'est 2 donc 2 1 √3 donc ça commence très simple déterminer donc le réel lambda tel que égal lambda AE alors les coordonnées sont données dans un repère orthonor ok bon il y a une petite maladresse dans le texte parce que le point O quand on regarde les coord du point A c'est 0 donc en fait c'est plutôt un repère orthonormé a I JK d'c le point A et le point O sont confondus ça veut dire que ai les coordonnées du vecteur a c'est en fait les coordonnées de i puisque a est l'origine d'accord donc ai alors je vais mettre en verti donc c'est le milieu donc donc i on vous le dit c'est le point de coordoné A00 donc ai a pour coordonné A00 et ça doit être égal donc aux coordonnées de lambda à e hein donc on mettra on multipliera donc on va multiplier les coordonnées de AE par lambda donc AE c'est les coordonnées de e donc fois lambda ça fera 4 lambda 00 donc ça veut dire qu'en égalisant on voit bien que lambda enfin a = 4 lambda donc lambda = a/ 4 c'est très simple d'ailleurs il y a pas de place pour pour réiger donc on va mettre a sur 4 question 3B c'est c'est qu'un QCM donc on vous indique qu'il y a une question plusieurs réponses sont proposé il n'y a qu'une seule bonne réponse voilà donc quel est l'ensemble d'écrit par le point lorsqueécrit l'interval 04 donc je rappelle que les coordonnées donc de I c'est a 00 ça veut dire que I si vous allez le trouver sur l'axe des abscisses donc l'axe mené ici par a et puis i donc vous avez donc ça je vais représenter vecteur i donc qu a varie entre 0 et 4 et bien ça veut dire que le point I est entre le point A et le point de coordonné 4 enfin a 400 d'cord d'accord donc le point il décrit le segment ici qui va entre A et le point qui est là d'accord donc c'est un segment fermé parce que on peut être égal à 0 et 4 donc on a emballé tout un segment fermé donc ici et le point de coordonné 400 ben oui c'est le point E donc en fait effectivement le point I va balayer tout le segment fermé à eu donc c'est la réponse a on pense bien à cocher ici donc comment est-ce qu'on demande de cocher ou pas non on peut répondre quand on veut donc j'entoure ici a question suivante donc en de 4 exprimer I J car il carré en fonction de on vous donne juste avant sur le texte les coordonnées de I J et de il donc pour calculer les longueurs c'est simple on fait si on veut la longueur c'est la racine carrée de la somme des 3 Carr comme ici on a ij car on a'ura pas la racine carrée donc ij² donc on va pouvoir tout de suite rédiger ça dans la case prévue j'aurai donc le carré de de Mo a plus le carré de 1 donc ça fait 1 plus le carré de√3 qui fait 3 et donc maintenant je développe ça me fait a Carr donc je vais mettre d'abord le carré ensuite le double produit - 4a ensuite le carré 2 ça fait 4 et 3 5 et 3 8 ensuite il Carr donc même chose 2 - A au car alors pour marquer ça va être la même chose parce que 2- 1 car plus le carré d' 1 plus le car r 3 ça fait ceci donc ça donne a car - 4a + 8 on a bien effectivement l'égalité de I J car de il car donc l'égalité des longueurs J est il question 2 5A détermin nombre réel mn et P tel que IG scal égal à ceci donc on va calculer tout simplement le produit scalaire on a les coordonnées donc ça sera le produit des abscisses plus le produit des ordonnées plus le produit des côtes des Z donc ici ça me donne on a tout ce qui est écrit donc ça fait 2- 1 x 2 - 1 donc 2 - 1 au carré + 1 x 1 donc + 1 + √3 donc ici attention ça fera donc plus √3 x ça fera - 3 on obtient donc a car 4a mais par contre ici 4 + 5 - 3 2 alors c'est rassurant parce que x² - 4x + 2 on l'a résolu é= 0 on l' résolu au début donc là on retombe sur ça donc m vaut combien c'est le coefficient d' carré c'est donc 1 N c'est le coefficient de a c'est donc - 4 et P c'est 2 ensuite on déduit les valeurs de a pour lesquelles les vecteurs Ies sont orthogonaux donc on va utiliser deux questions la précédente parce qu'on a calculé le produit scalaire donc I J sont orthogonaux ça veut dire qu'il faut que le produit scalaire soit égal à 0 donc d'après ce qu'on vient de voir il faut que a² - 4a + 2 soit é= à 0 et là on utilise la première question du sujet rappelez-vous hein on a trouvé les solution et donc ça veut dire que A est une solution de cette équation on avait trouvé quoi rappelez-vous 2 donc on va mettre a appartient à 2 donc √2 2 + √2 c'est l'ensemble des solutions donc ici on va écrire son si seulement si donc a = 2 - √2 ou a = 2 + √2 maintenant justifions que les points J et l définissent un plan alors I J et l donc définissent un plan tout simplement ça équivaut avoir I J et l non aligné I J l non aligné en terme de cinarité ça veut dire que et il sont non colinéaires d'accord alors nous ici on a pas ça on a des vecteurs orthogonaux parce que le nombre a c'est 2 + √2 d'accord donc là on va commencer par ça a = 2 + √2 donc IG et il orthogonaux alors attention orthogonaux il peut avir un des deux qui est nul donc ici on va quand même vérifier on le dit quand même que et l sont non nul ils ont une ordonnée égale à 1 donc on le dit J et il sont non nuls entre parenthèses vous pouvez mettre ordonnée égale à 1 donc vous avez des vecteurs orthogonaux non nuls donc ils sont non cinéaires I et il non colinéaire donc i un un plan on peut remarquer d'ailleurs que IGL ne sont jamais coinair parce qu'il y a ici VO un 1 et là il y a de nombres qui sont opposés donc il y a pas de coefficient de ici de proportionnalité entre les coordonnées de ces deux triplé puisque si vous ici vous avez la même coordonnée donc et là des coordonnées opposées donc ne peut pas être égal à quelque chose fois il donc on aurait pu raisonner comme ça il y a pas beaucoup de place donc vaut mieux utiliser l'orthogonalité question 26B justifier que n est normal au plan alors il faut quelqu de produit scalaire le produit scalaire n scalaire i donc j don ceciord donc produit des ordonné 2- a + 2 mais attention a vaut 2 +2 donc 2- a bien ça vaut √2 donc on a -√2 +√2 + 0 ça fait bien 0 on calcule de même le produit scalaire de N avec il qui a pour coordonné donc pareil √2 1√3 ça donne effectivement √2 + √2 c'est la même chose + 0 voilà et donc on va écrire ensuite n est orthogonale à et il qui sont non colinéaires donc n est orthogonale à I J maintenant en D éation césienne du plan donc là on a un vecteur normal n donc de coordonné 1√20 et normal à J donc possède une équation cartésienne sous la forme donc alors le coefficient de X c'est 1 le coefficient de y c'est √2 le coefficient de c'est0 donc Z + D et D est un réel pour trouver ce réel il faut un point le point de J on va prendre i d'accord on a d'autres points on a j n mais i c'est très simple c'est A00 donc 2 + AC 2 va 2 + 2 00 donc point il appartient bien àl donc on peut remplacer dans l'équation cartésienne ça veut dire qu'il me reste 2 + √2 + 0 + D = 0 donc on peut choisir d = - 2 - √2 donc l'équation de notre plan je vais l'écrire ici c'est donc x + 2+ √2 y plus donc d donc 2 √2 = 0 donner une représentation paramétrique de la droite CG pour ça il faut un point de la droite on va prendre le point C 0 2 0 et il nous faut les coordonnées des vecteurs d'un vecteur de vcteurs donc on va prendre CG donc on a G et C c'est bon donc 4 2 - 2 0 0 0 donc pourir une représentation hein on met X Y Z = donc on met les coordonnées d'un point donc on a juste ici c ensuite coordonnées de CG multiplié par T donc 4T ici on aura 0 et là on met t appartenant à r une petite remarque on pourrait prendre ici un vecteur un peu plus simple un vecteur directeur u hein qui serait 1 00 je peux prendre un/4 de CG c'est aussi directeur et donc au lieu d'avoir 4T ici vous aurez eu uniquement égal à thin d'accord ça fait une équation une représentation un petit peu plus simple on va rester sur CG parce que je pense que la plupart des élèves onont fait CG donc maintenant grâce à ça on va bien faire une intersection entre le plan l et la droite CG donc qu'est-ce qu'on va dire on va dire que K c'est donc l'intersection on nous dit qu'il y en a une donc on va partir du principe qu'il y en a d'accord CG inter JL donc ça nous amène à résoudre un système à 4 éation informé en haut de l'équation cartésienne du plan donc x je vais commencer par celle du plan Y- 2-2= 0 et là ensuite on met donc les TR de la représentation paramétrique de CG donc x = 4T y = 2 Z = 0 on a juste à remplacer dans la première X Y par 4T 2 ouis ça va donner 4T plus donc y va 2 2√2 - 2 - √2 = 0 on a déjà de toute façon Y et Z he on aurait pu mettre ici 2 et 0 on résout ici l'équation en T donc je trouve 4T é= alors ici on a√2 enfin 2 √2√2 donc √2 - 2 donc je vais mettre tout de l'autre côté ça fait 2 - √2 donc t c'est 1/4 de ça d'accord donc j'enlève ici 4 et donc x c'est t x 4 4T donc ça enlève le sur 4 donc il reste 2- √2 donc ici je vais écrire 2- √ 2 dernière question sans aucune justification on va quand même les donnner donc quelle est la nature du quadrilatère alors déjà k appartient au plan l donc effectivement KL sont quatre points d'un même plan le plan l donc c'est c'est bien un quadrilatère plan ensuite j é= il on l'a déjà vu scalire y é=al 0 donc il y a un angle droit d'accord entre J et il maintenant il faut quand même avoir calculer les autres longueurs je pense donc on va on a donc I J K L donc il faut calculer la longueur JK donc pour ça je vais passer par les coordonnées alors on a K on a j donc 2 - - 2 il me reste donc √2 ici 2 - 1 il me reste 1 et ensuite 0 √3 il me reste √3 d'accord ça veut dire que JK c'est égal donc alors au carré on va faire au carré 2 + 1 + 3 ça fait 6 on avait pas calculé JJ alors ij au carré on l' en fonction ici on a 2 - 1² + 1 + 3 donc ça veut dire 2 - 1 au car ça fait r√ car ça fait 2 + 1 + 3 ça fait 6 donc on est déjà JK en longueur qui est donc égale à ij d'accord on a trois côtés déjà égaux maintenant on peut calculer alors on a le choix on peut montrer que c'est un parallélogramme ou alors aller chercher la 3 4è longueur comme vous voulez alors je regarder le dernierc le dernier côté Kord donc k alors ici donc ça fait on commence par l de moin 2- ça fait √2 ensuite on a K 1 - 2 - 1 et √ 3 effectivement voyez que et bien KL si on calcule la longueur on trou la même chose puau carré c'est les mêmes choses donc KL est bien égal à ici JK donc on a quatre côtés de même longueur avec un angle droit donc on a un carré JKL c'est un carré c'est un quadrilatère qu longueurs donc c'est un losange avec un angle droit entre deux côtés c'est donc un carré on a terminé cet exercice donc du concours GPI 2023 à très bientôt