1. Semester Uni Mathe – Konvergenz von Folgen

hallo ihr Lieben heute möchte ich Euch anhand von diesem Beispiel zeigen wie man die Konvergenz einer Folge beweisen kann zeige mit Hilfe der Definition dass die Zahlenfolge an mit an sieht so aus konvergiert das heißt bestimme den Grenzwert a und gibt zu grö 0 ein n0 aus den natürlichen Zahlen an sodass für alle n größer= n0 gilt dass an - a betragsmäßig echt kleiner als EP ist okay das hört sich jetzt erstmal schlimm an ich geb es zu aber wir gehen das ganze gemeinsam Schritt für Schritt durch denn da steckt so eine Struktur dahinter die eigentlich immer gleich ist und dann ist es egal wie eure Folge aussieht ihr könnt diese Schritte einfach nachmachen und dann habt ihr das Ganze für eure Folge eben auch gezeigt das heißt wir starten erst mal mit dem Grenzwert wir suchen den Grenzwert von unserer Folge bevor wir mit dem wei überhaupt starten wollen wir erstmal den Grenzwert berechnen das bedeutet wir wollen gucken wenn unser n immer größer wird was passiert dann mit diesem Ausdruck hier also wir wollen den limis für n gegen Unendlich von unserer Folge berechnen also schreiben wir die einfach ab und schauen dann wie man den berechnen kann den limis schreibe ich hier einfach noch mal ab und jetzt gucken wir mal was wir da machen können wenn man so ein Bruch vorliegen hat dann kann man immer die höchste Potenz von N ausklammern das ist bei unserem Fall jetzt nur n also hier kommt kein n hoch 2 oder n hoch 3 oder so vor sondern nur n aber das klammern wir mal aus dem Zähler aus also n aus dem Ausdruck hier rausziehen was bleibt dann übrig wenn wir hier aus der 1 ein N rausziehen da ist ja keins drin aber das macht nichts wir können es trotzdem machen da geht man ja immer so vor dass man das was hier steht nimmt und durch das teilt was man rauszieht also 1 geil durch n ist das was übrig bleibt falls euch das jetzt komisch vorkommt macht es einfach noch mal rückgängig wenn ihr das hier ausmultiplizieren würdet dann könnte man das n mit dem N wegkürzen und die 1 ist genau das was hier übrig bleibt okay dann kommt das Minus und wir ziehen auch aus diesem Teil hier das n raus dann bleibt hier nur die zwei übrig von der Vorgehensweise aber genauso man nimmt das 2n teilt das durch n dann heben sich die beiden eben weg und nur die zwei bleibt übrig okay dasselbe im Nenner da haben wir auch ein N drin wir klammern das aus also ziehen das hier vorne dran und schauen was hier übrig bleibt hier war eine 5 wir wollen n rausziehen also bleibt 5 getilt durch n übrig dann kommt diesmal ein Plus und auch hier ziehen wir das n raus da bleibt dann die dre stehen das hat jetzt folgendes gebracht dass wir kürzen können denn hier ist ja ein mal dazwischen das heißt das n können wir mit diesem n wegstreichen und letztendlich bleibt dann eine vereinfachte Form da stehen die folgendermaßen aussieht nämlich nur noch das was in der Klammer ist 1 dur n- 2 haben wir im Zähler und 5 dur n + 3 haben wir im Nenner warum ist das jetzt einfacher na ja jetzt können wir die grenzwertbetrachtung machen was passiert wenn mein n gegen Unendlich geht also immer größer wird was passiert dann mit 1 ge dur n 1 geeilt durch eine riesengroße Zahl wird insgesamt immer kleiner und nähert sich der 0 an also dieser Teil hier läuft gegen Null die 2 die ist überhaupt nicht abhängig von dem N also egal was das n macht die 2 bleibt immer bei der Z genauso hier unten 5 geteilt durch eine riesengroße Zahl wird immer kleiner und nähert sich der ull an und die 3 hier die ist unabhängig von N egal was es n macht die 3 bleibt einfach bei der 3 das heißt insgesamt haben wir einen Grenzwert von 0- 2 also -2 0 + 3 sind 3 -23 ist unser gefundener Grenzwert der wurde hier mit a bezeichnet das habe ich jetzt noch mal hier notiert den haben wir gefunden und dann kommen wir jetzt zu dem eigentlichen Beweis gib zu y gröer 0 ein n0 an wir starten den Beweis immer folgendermaßen sei größer 0 das soll ja einfach so bleiben für jedes beliebige EPS sollen wir jetzt ein n0 finden das heißt wähle n0 und das wissen wir jetzt noch nicht was dahinkommt wir werden in ein paar Minuten rausfinden aber das lässt man einfach noch frei am Anfang und sobald man es dann irgendwann rausgefunden hat schreibt man das einfach da so hin und dann sieht es so aus als hätte man das von Anfang an gewusst okay lassen wir erstmal frei wir wählen also unser n0 s dass für alle n größer g=ich n0 gilt und das Schreiben wir einfach hin dann gilt für alle das Zeichen n gröer g= n0 folgendes und das hier müssen wir jetzt zeigen dass wenn wir betragstrich an ist unsere Folge das setzen wir da jetzt mal ein wie die bei uns heißt die sieht ja so aus das ist unsere folgenvorschrift Minus und davon ziehen wir jetzt a unseren Grenzwert ab den wir schon gefunden haben also -2 dritt kommt da rein für das a betragsstrich zu und das sollen wir jetzt zeigen und das ist das Herzstück von dem ganzen dass das dann immer echt kleiner als ist müssen wir zeigen dauert ein bisschen deswegen das dürfen wir jetzt noch nicht so hinschreiben wir müssen gucken dass wir hier das jetzt erstmal umformen Minus und Minus können wir schon mal zu plus umschreiben dann sieht es schon mal ein bisschen schöner aus und ansonsten könnten wir diese beiden Brüche mal zu einem Bruch zusammenfassen das heißt wir bräuchten den gleichen Nenner welchen Hauptnenner könnten wir hier verwenden aber wir könnten die beiden Nenner einfach miteinander multiplizieren also den hier schnappen wir uns und packen da einfach eine Klammer drumrum und multiplizieren den mit dem anderen Nenner und auf der anderen Seite genauso die drei nehmen wir uns und multiplizieren die einfach mit dem Nenner hier vorne dann haben wir eben einen Hauptnenner gefunden wir müssen aber auch die Zähler dementsprechend erweitern also hier haben wir ja mal 3 gerechnet das heißt auch der Zähler muss mal 3 gerechnet werden also schön in der Klammer und mal 3 und hier der Zähler muss mit dem da multipliziert werden womit wir hier unten multipliziert haben das Schreiben wir einfach hier hinten dran und kümmern uns darum jetzt auf einer neuen Seite wir multiplizieren die Klammern mal aus also 1* 3 sind 3- 2n x 3 sind 6N auch im Nenner können wir ausmultiplizieren 5 x 3 sind 15 + 3n* 3 sind 9N auf dem zweiten Bruch genau dasselbe 2 x 5 sind 10 + 2 x 3n sind 6N und der Nenner ist natürlich identisch 3 x 5 sind 15 und dann kommen die 9N hinten dran das steht jetzt noch mal hier und wir fassen die beiden Brüche zusammen so wie wir es ja vorhatten ursprünglich das heißt der Nenner wird übernommen wir machen einen Bruch draus und die Zähler werden addiert das heißt hier vorne haben wir 3- 6N was zusammengerechnet wird zu dem zweiten Zähler dann können wir ein bisschen was vereinfachen -6n + 6N hebt sich raus können wir einfach weglöschen und 3 + 10 sind 13 und dann sieht das Ganze doch schon um einiges schöner aus das hier ist jetzt unser Zwischenergebnis das habe ich jetzt mal noch mal hier hingeschrieben wir erinnern uns wovon wir kommen wir haben ja hier gestartet das war ja das Ding hier und haben jetzt ein paar Umformung gemacht sind hier gelandet und erinnern uns was wir zeigen wollen wir müssen jetzt zeigen dass das echt kleiner als epon ist immer noch das dürfen wir jetzt nicht einfach so hinschreiben aber haben wir mal im Hinterkopf wo wir hin wollen und letztendlich wollen wir dieses Null wählen ne das müssen wir auch noch hier ausfüllen okay jetzt gibt's verschiedene Wege wie man weitergehen kann das ist nicht immer exakt dasselbe kommt immer drauf an was man sieht aber wir müssen jetzt Abschätzungen machen als allererstes können wir uns mal noch um den Betrag kümmern der Betrag wäre gut wenn wir den weglassen könnten betreigage kann man weglassen wenn das was hier im Betrag steht sowieso positiv ist denn der Betrag sorgt ja nur dafür dass das Ergebnis positiv wird wie sieht's aus die 13 ist positiv die 15 ist positiv dazu rechnen wir etwas was auch positiv ist weil n ist ja eine natürliche Zahl 1 2 3 4 5 sind alles positive Zahlen das ganze Ding hier drin ist positiv das bedeutet für uns die Betragsstriche sind gar nicht notwendig die können wir einfach weglassen okay dann gehen wir jetzt an unsere erste Abschätzung ran wir dürfen dieses echt kleiner benutzen weil letztendlich können wir jetzt hier so eine Kette von Abschätzungen machen und ganz am Schluss muss irgendwas dieses echt kleiner als EPS stehen okay welche Abschätzung können wir machen wir müssen dafür sorgen dass unser Bruch hier größer wird ne also das hier soll kleiner sein als das was jetzt kommt wie sieht es aus bei Brüchen machen wir uns mal ganz kurz klar dass ein5ün kleiner ist als ein vierel wenn wir den Nenner kleiner machen als vorher wird der Bro das Ding aber größer als dieser Bruch hier das heißt wenn wir den Nenner hier kleiner machen wird der Bruch hier größer und unsere Abschätzung ist okay das bedeutet wir dürfen aus diesem Teil hier Dinge weglassen die den Nenner einfach nur größer machen an das n würde ich generell nie rangehen aber so eine Zahl wie dieses 15 plus die können wir einfach weg lassen dann wird der Nenner kleiner so wie hier aber der Bruch insgesamt größer und dann ist diese Abschätzung okay das heißt die 13 lassen wir im Zähler stehen aber hier schmeißen wir die 15 raus und schreiben nur 9N rein also wir machen unseren Bruch ein bisschen einfacher ne der sieht einfacher aus als der hier okay erste Abschätzung erledigt dann haben wir hier immer noch das n drin wir sollen ja aber mit dem N 0 arbeiten oder das n0 herausfinden wir haben einen Zusammenhang zwischen n und n0 der steht hier n soll größer gleich n0 sein das ist doch praktisch das heißt n0 ist kleiner gleich n das bedeutet wir können eine neue Abschätzung machen wenn wir für unser n jetzt einfach n0 einsetzen dann machen wir den Nenner noch mal klein er als vorher und der Bruch wird insgesamt dann größer als vorher es ist immer dasselbe das heißt hier 9 und statt dem N dürfen wir n0 reinschreiben wenn wir diese Abschätzung hier machen okay jetzt sind wir schon super weit denn was wollen wir wir erinnern uns wir wollen hier dieses echt kleiner als EPS stehen haben und wir sollen unser n0 dementsprechend wählen das dürfen wir einfach wählen dass das passt das heißt wir schauen einfach wann dieses 13 ge 9n0 wann das denn echt kleiner als EP ist das macht man immer so sobald ihr hier am Schluss nur noch einen einfachen Ausdruck stehen habt mit eurem n0 drin dann schaut ihr einfach wann das kleiner als EP wäre und diese Ungleichung stellen wir jetzt einfach nach n0 um und dann haben wir unser n0 gefunden für das das gilt das bedeutet damit das n0 hier aus dem Nenner rauskommt multiplizieren wir mit n0 dadurch haben wir nur 13 ge 9 auf der linken Seite stehen das echt kleiner bleibt n0 ist ja auch eine positive Zahl deswegen dreht sich das Zeichen hier nicht um und wir haben das multipliziert mit n0 hier stehen wir wollen nach n0 umstellen also stört uns noch unser EPS wir teilen dadurch dürfen wir auch machen ist größer ull positiv dementsprechend das beeinflusst das Zeichen nicht wir teilen durch EP das heißt die 13 bleibt stehen und unser Epsilon wandert hier unten mit der neu in den Nenner rein das Zeichen übernehmen wir und unser n0 steht alleine da seht ihr dass wir unser n0 jetzt gerade gefunden haben das haben wir die ganze Zeit immer noch hier gesucht okay wir haben nicht n0 gleich das müssen wir noch wegmachen wir haben n0 ist echt größer als 3 10 ge 9y und alle denken dann wow wo woher wusstest du das am Anfang wenn du das so aufschreibst wir wussten es nicht wir mussten diesen Beweis erst durchführen bis wir das gefunden haben und dann schreibt man das einfach so auf das sieht immer so aus als wird es irgendwie vom Himmel fallen aber war ein Stück Arbeit bis wir es gefunden haben aber jetzt haben wir es und jetzt sind wir fast fertig wir überlegen noch mal wo wollten wir hin wir wollten zeigen dass die ganze Kette hier echt kleiner als EPS ist sind fast da und zwar haben wir hier ja noch unser n0 drin dieses n0 haben wir ja hier den Zusammenhang zwischen n0 und EP und jetzt machen wir unsere letzte Abschätzung nämlich der Bruch wird insgesamt größer wenn wir statt unserem n0 etwas einsetzen was kleiner ist als unser n0 ne also diesen Teil ersetzen wir jetzt für unser n0 das heißt alles andere schreiben wir so ab aber für n0 setzen wir jetzt 13 dur 9y ein wir kürzen was man irgendwie kürzen kann die neun mit der neun dann haben wir hier 13 geteilt durch ich schreib noch einmal hier auf 13 geil dur 13 dur stehen durch einen Bruch teilt man indem man mit dem Kehrwert multipliziert also die beiden hier rumdrehen Wand nach oben 13 nach unten wir können die kürzen es bleibt nur nur on stehen und damit haben wir die Kette die wir zeigen sollten und damit haben wir unseren Beweis erledigt dann hoffe ich dass es euch geholfen hat falls ihr Fragen habt schreibt sie gerne in die Kommentare ansonsten habt noch einen wunderschönen Tag und wir sehen uns beim nächsten Video macht's gut