Les Fractions ex5 les opérations de base

Bonjour à tous, dans cette vidéo je vous propose un exercice pour s'entraîner sur les additions et les soustractions de deux fractions. On va voir vraiment les bases, vous faites et après vous vérifiez si vos résultats sont corrects. Comme d'habitude je vais donner des petites astuces et tout ce qu'il faut savoir dans le cours pour pouvoir être à l'aise dans ce genre de situation. On est parti, les trois premiers calculs sont assez simples. On a deux fractions à chaque fois qui ont le même dénominateur. Alors la règle pour additionner des fractions qui ont le même dénominateur, c'est la suivante. Si vous avez a sur b plus c sur b, avec b non nul, et bien vous avez a plus c sur b. Donc ici ça donnera 5 plus 10, 15 sur 6. Surtout les dénominateurs ne s'ajoutent pas, ils restent les mêmes. Et 15 sur 6, on peut simplifier par 3, puisque 15 c'est 3 fois 5 et 6 c'est 3 fois 2. Donc en simplifiant par 3 il va me rester 5 demi. Alors on pourrait, pour expliquer un petit peu plus en détail, considérer que 5 sixièmes, qu'est-ce que c'est 5 sixièmes ? C'est 5 fois une quantité qui vaut 1 sixième, c'est ça 5 sixièmes. Et 10 sixièmes c'est donc 10 fois une quantité qui vaudrait 1 sixième. C'est pour ça que si vous regardez, en termes de quantité, vous avez 5 et 10 fois la quantité 1 sixième, c'est pour ça qu'on peut imaginer une sorte de factorisation. On factorise par 1 sixième, je vais mettre la factorisation en évidence. Vous factorisez par 1 sixième et vous aurez 5 et 10 parts, vous aurez 15 parts qui représentent toute 1 sixième, on écrit en maths 15 sur 6, d'accord ? Donc c'est tout simple ça, vraiment. Pour le B, même chose, on a 2 fractions avec un dénominateur qui est 7, donc on a 12 septièmes moins 4 septièmes, il reste 12 moins 4, donc 8 septièmes. On va faire tout de suite le C. Alors on a 14, en haut le dénominateur, donc 4 sur 14 plus 3 sur 14, alors si on applique ce qu'on va devoir, ça fait évidemment 7 sur 14, et 7 sur 14 ça se simplifie par 7. En haut on a 7 fois 1, en bas on a 7 fois 2, donc en simplifiant il va rester 1 en haut et 2 en bas, on va tout diviser par 7. Alors on pourrait aussi, vous voyez dès le début, qu'est-ce qu'on remarque ? On remarque qu'on a 4 sur 14, et 4 sur 14 on pourrait simplifier par 2, alors est-ce que c'est intéressant ? Bien non, pourquoi ? Si vous simplifiez par 2, vous aurez donc 2 septièmes plus 3 sur 14. Et après, pour pouvoir additionner ces deux fractions, elles n'ont plus le même dénominateur, il va falloir finalement revenir et remultiplier ici la première par 2 pour avoir 14. Donc ça n'avait pas l'intérêt de simplifier 4 sur 14, d'accord ? Passons maintenant à DE. Alors DE, ils ont en commun quelque chose, c'est que les dénominateurs ne sont pas anodins. A chaque fois, vous avez des diviseurs communs. Pour le premier, on a donc 5 sur 6 moins 1 sur 3. Alors je vais faire ça de plusieurs façons. Tout d'abord, si on ne réfléchit pas, si on fait une technique de boucle ici, on aura donc 5 fois 3, 15, moins 6 fois 6 divisé par le produit des deux, c'est-à-dire 18. Ce n'est pas la méthode la plus rapide. 15 moins 6, ça fait 9, il nous reste 9 sur 18. Quand on simplifie par 9, on divise 9, ça fait 9 fois 1, 9 fois 2, donc il reste 1 demi. 9 sur 18, ça fait 1 demi. Alors ça, c'est la technique, si on n'a pas envie de réfléchir. Si on veut réfléchir un petit peu, on peut essayer de transformer les dénominateurs et d'essayer de les faire prendre identiques avec une petite manipulation. Et là, vous voyez, ici c'est 3, ici c'est 2 fois 3. Donc, on va multiplier la deuxième fraction par 2 en haut et en bas. Ça, on sait qu'on a le droit. C'est presque la numéro 1. Quand on a A sur B, on peut multiplier en haut et en bas par un troisième nombre. C'est non nul, bien sûr. Ça permet de pouvoir changer le dénominateur. Et donc ici, on a 5 sixièmes moins 2 sixièmes. Et on a réussi à mettre ce qu'on appelle au même dénominateur, vous le savez déjà. Et là, d'après la règle qu'on a vue juste avant, on va pouvoir additionner. Tout bêtement, ça fera 5 moins 2. Évidemment, là, ça fait une fraction parce qu'il y a un moins entre les deux. Donc, 5 moins 2 sur 6, ça fait 3 sur 6. Et là, on divise par 3. On voit qu'en haut, on a 3 fois 1, en bas, on a 3 fois 2. En simplifiant par 3, c'est la même règle qu'on utilise dans l'autre sens, vous voyez. Au lieu de rajouter C, j'enlève C en haut et en bas. Et donc, ici, il me reste un demi. Donc, il faudra, si on veut gagner un petit peu de temps, mais vous voyez, ça ne gagne pas tant de temps que ça sur des petits nombres, essayer de trouver parfois un dénominateur qui est plus pratique que le simple produit des deux. Alors, le 11 est un petit peu différent parce que, 8 et 10, le lien n'est pas si simple qu'entre 3 et 6. Il ne s'agit pas de multiplier juste par 2. Donc ici, ce qu'on peut faire, si on n'a pas peur des calculs, on peut faire toujours cette méthode, la méthode de la petite boucle ici, 11 fois 8, 88, plus 3 fois 10, 30, divisé par 10 fois 8, 80. Ça fait donc, ici, 118 divisé par 80. Alors, comme on n'a pas été optimal sur le dénominateur, on va avoir des simplifications à faire. Donc ici, tranquillement, comme on n'a pas de calculatrice, on peut rapidement diviser par 2. Ça fait 59, donc sur 40. Et après, on regarde, 59, c'est un nombre premier, donc on ne pourrait rien faire d'autre. Vous voyez qu'on n'a pas mis trop de temps. Alors, qu'est-ce qu'on aurait pu faire pour être un petit peu plus efficace ? Alors, parfois, plus efficace, ça ne rime pas avec, forcément, un gain de temps. On va aller voir. Ici, un dénominateur commun entre 10 et 8, qu'est-ce qu'on pourrait faire ? Alors, ce qu'on peut remarquer, déjà, 10 et 8, ils sont tous 2 divisés par 2. Donc, c'est pour ça qu'on va gagner un petit peu. On va prendre un dénominateur un petit peu plus petit. Il faudrait trouver un multiple commun à 10 et 8. Alors, nous, on a choisi 80. C'est celui qui nous est donné tout de suite par multiplication, mais on peut prendre un petit peu plus petit. Ici, sachant qu'ils ont un 2 comme diviseur commun, on peut prendre 80 par 2. Vous pouvez trouver 40, effectivement. 10 fois 4, c'est 40. 8 fois 5, c'est 40. Donc, on pourrait, vous allez voir que ça occasionne un petit peu plus de calcul, choisir, comme dénominateur, 40. Je vais multiplier la première fraction. On va faire ça doucement. La première par 4 et la deuxième par 5. Ça donne quoi ? Ici, 11 fois 4. Et ici, 3 fois 4, 8 fois 5. Pourquoi c'est intéressant ? Parce que ça donnera 44 sur 40 et 15 sur 40. Qu'est-ce qu'on remarque ? Qu'on tombe directement sur, comme on a le même dénominateur, on peut additionner 44 et 15 et on tombe sur 59 sur 40. Alors, est-ce qu'on a vraiment gagné du temps ? Je ne sais pas. On a été, on va dire, dans la subtilité. Mais vous voyez, il y a un petit peu plus de travail parce qu'on a une recherche du meilleur dénominateur et puis après, il faut changer les deux dénominateurs. Ça, c'est à vous de voir en fonction de la taille des nombres. Si c'est plus avantageux de faire le calcul directement ou si c'est bien de chercher un dénominateur vraiment meilleur, plus petit. Encore deux petits exemples ici. Plus simple, pour varier les plaisirs. On a 4 sur 1. C'est étonnant, 4 sur 1. Si vous vous rencontrez, c'est tout simplement 4. Ici, il y a une technique classique. On va faire une petite technique en boucle, si vous la connaissez bien. Sinon, je vais vous montrer un truc que l'on peut faire autrement. 4 fois 5, c'est 20. Moins 6 fois 1, c'est 6. Sur 5 fois 1, c'est 5. Ce qui fait 14 sur 5. Si vous avez du mal avec cette technique-là, on va tout simplement changer le dénominateur de 4 sur 1 en multipliant en haut et en bas par 5. Donc 4 sur 1, on va l'écrire 20 sur 5. Vous avez bien compris, j'ai multiplié en haut et en bas par 5. Et maintenant, j'ai moins 6 sur 5 et vous voyez que ça fait 20 moins 6. Cette façon de procéder, c'est l'explication, la justification de notre petite technique avec la boucle. Le même, cette fois-ci, le 5 est écrit directement. Donc on va, pour éviter toutes les erreurs, on met 5 sur 1 plus 3 sur 7. On fait donc 5 fois 7, c'est 35. Plus 3 fois 1, c'est 3. Plus 7 fois 1, c'est 7. Donc ça fait 38 sur 7. On ne peut pas le simplifier. Maintenant les trois derniers, l'objectif de ces trois-là, c'est de traiter un petit peu le problème du moins. Le moins dans une fraction, je le répète parce que je l'ai déjà dit, quand on a moins A sur B, on peut considérer que c'est moins A sur B. Ou alors A sur moins B. Donc toutes ces transformations, il faut les connaître. Évidemment, en maths, on n'aime pas du tout avoir un moins en bas. Donc quand vous en avez un en bas, il faut le remonter soit devant la fraction, soit sur le numérateur, c'est à vous de voir. Alors s'il y a deux moins, qu'est-ce qu'il va se passer ? Si on a par exemple moins A sur moins B, si on a deux moins en haut et en bas, on va pouvoir les simplifier tout de suite. Pourquoi ? Parce que je viens de dire que si on regarde le moins qui est en bas, on peut le mettre devant. Mais on peut aussi le mettre au-dessus. C'est-à-dire que ça ferait moins A sur B. Et moins par moins en haut, c'est une multiplication, ça fera plus A. Et donc ça donne A sur B. Donc si vous avez un moins en haut et un moins en bas, il s'annule. Et même chose, si il y a un moins devant la fraction et un moins en haut, il s'annule. Ça va être l'objet du I. Regardez bien le I. Vous avez un moins ici, un moins ici, et bien là, on va pouvoir les enlever tout de suite. On en pourra à ce moment-là. Et donc vraiment, cette gestion des moins, elle est très très importante pour ne pas raconter n'importe quoi. Donc on va regarder séparément H, I et J. H, on a donc moins 3 sur 5. Alors là, on va le laisser comme ça. On va tout mettre au même dénominateur ou pas, ça dépend vraiment de votre technique. Si vous appliquez la petite technique de la boucle, vous aurez moins 3 fois 2, donc moins 6. Ce moins, on le retrouve. C'était une soustraction. 5 fois 7, 35. Et tout ça divisé par le produit 5 fois 2, donc par 10, on obtient moins 41 sur 10. Ce moins, quand une fraction est seule, on écrit en général 2 de chaque fraction. D'accord, ça c'est la technique 1. Technique 2, vous avez moins 3 sur 5, moins 7 sur 2. On va tout mettre au même dénominateur. Donc vous voyez, le dénominateur commun, ça sera ici, 2 fois 5. La première par 2, on va en bas. La deuxième par 5. Et vous voyez qu'il apparaît. Donc en haut, moins 6. Et ici, moins 35. Le i. Alors ici, comme je l'ai dit, on a un moins devant ce 7 en haut, qui n'a pas lieu d'être parce qu'on va pouvoir le faire passer devant le trait de fraction. Ici, on va tout de suite transformer ces deux moins. Ici, on a un plus. Donc ça reste une simple addition de fraction qui n'est pas direct parce que là, vous avez deux techniques. Vous avez 12 et 8 qui ont comme diviseur commun 4. Donc on va pouvoir essayer de trouver un dénominateur un petit peu plus petit que le simple 12 fois 8. Je vais quand même faire un calcul directement. Donc si je fais la technique de la boucle, on aura 5 fois 8, 40, plus 7 fois 12, alors 7 fois 10, 70, c'est 14, donc 84, divisé par 12 fois 8, qui fait 96, 96. Alors comme on n'a pas fait le meilleur dénominateur, vous allez voir qu'on est sûr qu'il y a une simplification à la suite. Donc 40 et 84, ça fait 124 sur 87. Alors tout ça, c'est divisé par 4. Parce qu'on a ce diviseur commun à 12 et 8 qui est 4. Donc en fait, on sait qu'on va pouvoir simplifier par 4. 124 par 4, alors là, évidemment, 120 par 4, ça fait 30, donc ça, ça fait 31 fois 4, et 96, donc 80, ça fait 20, donc c'est 24. Donc en simplifiant par 4, il me restera 31 sur 24. Voilà donc avec la méthode directe. Maintenant, en cherchant un dénominateur plus efficace, donc ici, on a dit qu'il y a 12 et 8, ils sont divisés par 4. Donc le produit fait 96, donc a priori, 96 par 4, on a dit que ça faisait 24, donc le dénominateur commun, c'est 24 effectivement. On peut multiplier ici par 2, et ça par 3, on aura bien 24. Bien sûr, on peut en bien multiplier les numérateurs aussi. Il fait donc 10, plus 3 fois 7, 21, sur 3 fois 8, 24, et il reste 31 sur 24. C'est ce qu'on avait trouvé, vous voyez ? Donc pas de surprise. Juste à beau doigt, si, finalement, la recherche de ce dénominateur plus petit vaut vraiment la chandelle. Le dernier, alors ici, on a comme dénominateur 10 et 4, donc on voit bien, ils ont comme dénominateur commun 2. Donc on a un petit peu de possibilité d'avoir un dénominateur qui serait plus petit que 40 et qui serait 20. On va faire, si on veut un dénominateur qui serait 20. Je multiplie donc la première fraction en haut et en bas par 2, je laisse le moins, donc par 2 ça fait moins 6 sur 20, et la deuxième, je la multiplie donc par 5. Donc 3 fois 5, ça fait 15. Ici on aura moins 6 plus 15, attention, addition des nombres relatifs, rappelez-vous, ça fait 15 moins 6. Si on avait fait la méthode directe, que moi j'appelle la boucle, ici, ça fait moins 3 fois 4 moins 12 plus 3 fois 10 30 sur 4 fois 10, 40. Et en haut on retrouve donc 30 moins 12 qui fait 18 sur 40 et 18 sur 40 en simplifiant par 2, vous retrouvez 9 sur 20. Bien évidemment, on retrouve le même résultat à la fin si on a bien tout simplifié. Comme d'habitude, l'exercice que je vous propose ensuite, c'est de travailler le produit de deux fractions, on va parler de la règle des signes, des simplifications, et donc on va travailler le calcul mental parce qu'il faut vraiment savoir travailler sans calculatrice, comme d'ailleurs tout au long de cette vidéo. Je vous souhaite une bonne fin de journée à tous. L'affiche avec les feuilles, c'est en lien à un PDF. Je vous souhaite du bon travail et bon courage.