Seconde - résolution algébrique et graphique - Important- les différentes formes

bonjour à tous Aujourd'hui vidéo à destination des élèves de seconde on va travailler les équations un problème un petit peu plus complexe que ce qu'on peut trouver habituellement en début de seconde on va donc travailler la factorisation le développement et l'utilisation de formes adapté donc je vous propose une fonction f définie sur un intervalle donc l'intervalle de - 3 à 4 donc l'interval - 3 4 la forme ici l'expression de F c'est donc 3x + 6 x 2x - 1 - 3x + 6 x x + 2 je vous ne la courbe ici de F sur l'interval donc évidemment - 3 4 et donc première question on va résoudre graphiquement trois équations ensuite on fera un petit tableautin ça permet comme ça d'avancer sur ce thème là et on va et bien retrouver algébriquement nos solutions en utilisant et bien différentes expressions de FX donc première question la résolution graphique ça c'est le plus facile pour FX = 18 alors fa bien comprendre hein donc ici on résout donc on résout une équation donc l'équation FX = 18 ça veut dire que vous devez trouver les valeurs de x hein dont l'image est 18 donc graphiquement ça veut dire que le 18 c'est une ordonnée d'accord le 18 j'insiste vraiment c'est une ordonnée et le X c'est une abscisse d'accord donc sur l'axe sur notre repère les ordonnées vous allez les lire sur l'axe vertical et sur l'axe horizontal on va lire les abscisses et les lettres ici et bien vous savez que les abscisses c'est toujours X et les ordonnées donc c'est y et quand c'est des fonctions et bien le y ça sera l'image x donc ça sera FX donc ici je vais chercher où est le 18 donc on a une graduation 10 12 14 16 18 donc 18 vous le trouvez ici il faut chercher tous les points de la courbe qui ont une ordonnée égale 18 donc et bien on prend une règle et on repère tous les points la courbe qui ont la même ordonnée que ce 18 et vous trouvez deux points le premier point ici et le deuxième alors attention résoudre graphiquement ce n'est pas faire un dessin c'est utiliser le dessin pour répondre donc là quand on résout ça et bien on fait soit une phrase en français et vous devez répondre la réponse c'est les abscisses donc les solutions sont alors ça c'est une réponse en français donc vous prenez vos vos point ici et vous allez envoyer ça sur l'axe horizontal on trouve - 3 j'envoie celui-ci et je trouve donc deux valeurs de x - 3 et 4 les solutions sont donc - 3 et 4 ou alors x = - 3 x = 4 on peut répondre autrement d'une façon on va dire plus mathématique avec l'ensemble des solutions qu'on a toujours S majuscule égale des acolades parce qu'on va faire une liste et vous faites la liste des solutions vous aurez - 3 et 4 d'accord donc ici pour différencier les tris type de solution he ici je vais mettre S et je vais mettre un petit 18 ici comme ça on se rappellera que ce sont les solutions de FX = 18 2è équation FX = 0 donc ça c'est peut-être l'équation la plus importante quand on résout FX = 0 donc ici je fais une petit peu de de de propreté on va peut-être garder les les mots obsciss voilà et donc c'est la même idée sauf que le zéro et bien c'est une ordonnée et donc vous devez repérer l'axe des donc ici les ordonnées trouver le é0 alors le é0 il est ici voyez ça veut dire vous allez chercher et ça c'est important quand on résout FX = 0 c'est les intersection de la courbe avec l'axe horizontal c'est donc ici les deux points d'intersection qui m'intéressent sont vraiment très importants et c'est les X que vous devez noter c'est donc x = - 2 et 3 donc ça veut dire que les solutions sont - 2 et 3 ce qu'on écrira s = ensemble des solutions - 2 point,3 et ce sont des accollades et donc pour différencier nos différentes équations je vais appeler ça S0 on se rappellera que ce sont les solutions de FX = 0 vous voyez FX = 0 on regarde l'intersection de la courbe avec l'axe horizontal vous avez ici deux intersections on note les abscisses 3è équation FX = -1 donc on va placer moins de 8 sur l'axe vertical donc là on est en bas et vous voyez qu'on est ici donc vous avez déjà une solution et après si vous continuez un petit peu plus loin vous a une deuxième solution donc une première solution ici et une deuxième ici si j'envoie sur l'axe et bien je vais tomber voyez on envoie on tombe sur 0 ici si j'envoie je tombe sur 1 donc j'ai cette fois-ci deux solutions les solutions sont 0 et 1 et on répondra bien sûr s = 0.1 et ça sur la solution de X je mets donc ceci voilà ça c'est la première question donc je répète c'est important pour certains quand on dit résoudre graphiquement vous devez utiliser le graphique pour répondre par une phrase ou par un ensemble solu 2e question à l'aide du graphique dresser le tableau de sign de F le tableau de SIG de F et bien c'est un tableau qui dit où est-ce que f est positif ou est-ce que f est négatif ou est-ce que F égal à 0 donc la première chose on a dit que FX = 0 hein on a trouver en fait ici deux solutions c'était - 2 et 3 ça dans un tableau de signe ça va figurer hein on va indiquer quoi et bien que pour X = - 2 et 3 et bien FX vaut 0 donc on va mettre un petit é sous chacun d'entre on fait souvent les petites colonnes comme ceci donc là je mets un 0 et un 0 d'accord 0 indique que F s'annule d'accord donc graphiquement et bien ce sont donc les fameux deux points d'intersection ici donc à ces endroits là avez compris la fonction vaudra é alors quand je me mets avant 2 donc c'est-à-dire entre 3 et 2 c'està-dire dans cette première colonne cette colonne en fait c'est tous les nombres hein ça veut dire qu'ici quand vous êtes là ça veut dire que X est entre - 2 et - 3 strictement donc sur mon dessin quand je suis entre - 2 et - 3 regardez bien bien je suis ici ça veut dire que dès que je prends un nombre ici X sur l'axe horizontale on voit pas très bien je vais prendre plutôt cette couleur et bien l'image elle est vous devez aller chercher vers l' haut donc l'image ici elle est positive et c'est vrai pour toute cette partie de la courbe donc ici et bien on va dire que entre Mo- 3 et - 2 et bien la fonction prend des valeurs positives ça n'a rien à voir avec le SIG de X d'accord ça a à voir avec est-ce que la courbe est au-dessus de l'axe ou en dessous quand vous êtes au-dessus c'est des valeurs positives pour la fonction ensuite entre 2 et 3 vous voyez que la courbe elle est en dessous vous êtes ici donc là ce sont les ur négative donc dans le tableau on va indiquer ça en disant qu'entre - 2 et 3 donc ici c'est-àdire pour pour tous les nombres qui sont entre - 2 et 3 on va mettre un moins ça indique ici graphiquement que la courbe est sous l'axe des abscisses donc avant donc de - 3 à 2 on a une courbe qui est qui prend donc des ordonnées positives donc la fonction f est positive ça s'annule ensuite vous êes toute une partie c'est négatif jusqu'ici et quand on passe au nombre 3 la courbe passe au-dessus de l'axe et donc vos signes des images sont positifes FX est donc positif et voilà votre tableau de signes hein et vous avez ici en fait tous les nombres qui sont donc entre 3 et ici le dernier de l'intervalle c'est 4 et même si ici on est égal à 4 on a quand même voyez une valeur positive et ici j'aurais pu mettre ceci plupart du temps évidemment on n'écrit pas tout ça on le sait chaque colonne correspond à un intervalle de X et ici vous avez donc une fonction plus moins plus ça veut dire qu'on commence au-dessus de l'axe puis en dessous de l'axe puis au-dessus de l'axe horizontal développer FX alors on sait ça c'est important que pour X donc appartenant à - 3 4 on connaît l'expression de FX elle est donnée dans le texte et 3x + 6 x 2x - 1 3x + 6 x x + 2 alors quelle est la question et bien la question c'est d'abord de développer FX donc ne vous laissez pas tenter par une factorisation on vous dit de développer donc on va développer à l'aide de la double distributivité donc 3x x 2x on a déjà vu ça ça fait 6x 2 3x x -1 - 3x puis 6 x 2x 12x - 6 ensuite ici vous avez un moins donc on les met on nous des parenthèses dans lequel on va et bien développer sans tenir compte du moins pour l'instant ce produit là donc ça me fait 3x x x 3x 2 je vais écrire en blanc 3x 2 3x x 2 donc + 6x + 6x + 2 x 6 12 je vais maintenant enever les parenthèses en même temps je peux commencer à réduire ici - 3 + 12 ça fait + 9x - 6 - 3x2 ici j'ai 6 et 6 12x donc - 12x - 12 compte ue de réduire les x² 6 et - 3 ça me fait 3x 2 là on a 9x - 12 donc 9 - 12 ça fait - 3x et - 6 - 12 ça fait - 18 donc voici une deuxème forme pour notre expression ça quand on développe et bien le nom est quand même simple c'est ce qu'on appelle la forme développée et ces formes et bien vous pouvez les utiliser dès que vous avez besoin de FX c'est vous qui choisirez la plus adaptée au problème donc là on veut on vous demande de résoudre donc on résout maintenant FX = - 18 et bien quand on regarde tout ce qu'on a fait vous avez ce - 18 ici qui apparaît à cet endroit d'accord donc l'idée c'est peut-être d'utiliser cette forme surtout que on vient juste de demander de développer donc r x = -1 et bien ça équivaut à donc F Dex je remplace F par 3 3x2 - 3x- puisque je sais que FX est bien égal à ça tout le temps ég - 18 donc là vous avez - 18 - 18 je vais ajouter des deux côtés 18 et donc ça équivaut notre équation équivaut donc à donc 3x2 - 3x = 0 quand on a comme ça les deux côtés un même terme on peut simplifier il restera 0 à droite c'est comme si vous ajoutiez des deux côtés 18 alors pourquoi est-ce que c'est bien ça parce que 3 X- 3x on peut le factoriser 3x2 - 3x = 0 on peut factoriser par 3 et même encore mieux par X si je factorise par 3x ça fait x je trouve bien 3 2 - 1 et ça fait 0 ça c'est une factorisation certains n'auront pas vu peut-être la factorisation par 3 et bien ils auront finalement factorisé par X qui fera 3x - 3 = 0 voilà donc moi je vais concentrer sur la première version et on a comme ça qu'on appelle un produit ici on a le produit de facteur qui est à droite ça fait zé c'est ce qu'on appelle un produit nul et bien on est donc sur des équivalents al au lieu de mettre le mot équivalent on peut commencer à mettre des petits symboles équivalent c'est une double flèche ça signifie qu'on peut aller dans un sens ou dans revenir les solution une équation bien ici on fait des transformations qui préservve intégralité des solutions donc mon équation elle équivauut à ça et j'ai un produit nul on a déjà vu qu'un produit nul l'un des facteurs est nul donc 3x = 0 ou x - 1 = 0 et maintenant je suis à la dernière étape je divise par 3 des deux côtés ça fait x = 0/ 3 donc ça fait 0 ou x = 1 qu'est-ce qu'on vient de retrouver et bien regardez les solutions sont 0 ou 1 et ça c'est exactement ce qu'on avait les solutions donc de FX -1 on avait trouvé rappelez-vous c'est en haut encore en blanc c'était bien 0 on vient de retrouver les solutions de façon algébrique 4è question on vous demande maintenant de factoriser donc je repars de mon expression du début et je remarque vous avez ici un facteur commun donc ça veut dire que FX est toujours égal à et je factorise par 3 + 6 ici en factorisant ça me fera 2x - 1 les parenthèses ici voyz ne ser rien parce que devant j'ai un coefficient on met donc pas ces parenthèses ensuite moins et là attention il y a un moins donc si vous mettez x + 2 ça sera faux c'est x + 2 certains pouront gagner un petit peu de temps en écrivant 3x + 6 x 2x - 1 - x - 2 directement effectivement un moins devant une parenthèse et bien le siges de chaque terme va changer donc ce plus va se transformer en moins on vient donc ici d'avoir une factorisation ça nous don 2X x ça fait 2x - 1x ça fait x 1x - 3 maintenant bien qu'est-ce qu'on fait avec ça nous on cherche à résoudre donc FX = 0 c'est une équation quand est-ce que FX = 0 et bien pour résoudre ça le mieux c'est la forme factorisée et cette forme factorisée c'est celle qu'on vient d'obtenir d'accord et on appelle ça de façon assez naturelle la forme factorisée donc vous avez une forme de départ pour FX une forme développée et une forme factorisée ça fait trois formes et donc vous avez à chois selon la situation quelle est la forme qui est la plus adaptée pour FX = 0 et bien notre problème va être équivalent à 3x + 6 X X - 3 = 0 vous avez devant vous encore une fois j'insiste une équation qu' on appelle produit nul un produit ég à 0 et on sait que ça équivaut à avoir l'un des facteurs nul donc 3x + 6 = 0 ou x - 3 = 0 je résous ça me fait 3x = j'enlève 6 des de côtés 6 je divise par 3 - 6/ 3 et 6/ 3 en simplifiant par 2 par 3 pardon ça fait - 2/ 1 ça fait - 2 ici x - 3 =0 j'ajoute 3 des deux côtés ça fait x = 3 vous voyez que je trouve deux solutions - 2 et 3 et c'est exactement ce que j'avais trouvé en haut en bleu c'est les solutions de FX = 0 donc on VI encore une fois de résoudre algeébriquement un problème qu'on avait réussi he à résoudre graphiquement attention le graphique c'est imprécis la résolution algéque est exacte donc les solutions sont vraiment 2 et 3 ça n'est pas 2,001 on aurait pu manquer en regardant un graphique là vous avez une solution qui est exacte 5è et dernière question c'est la plus beaucoup d'è se trompent je demande d'abord de développer 3 x x + 3 X- 4 donc pour développer 3 donc on doucement on va garder le 3 on développe tout d'abord les deux autres facteurs donc X X X plus X X - 4 donc - 4x + 3x - 3 x 4 12 maintenant j'enlve les parenthèses ça me fait 3x 2 je distribue en fait le 3 - 12x + 9x - 3 x 12 36 je réduis 3x 2 - 12 + 9 donc ça fait 9 - 12 on fait attention 9 - 12 ça fait - 3x - 36 voilà et on garde ça en réserve on vous demande ensuite d'en déduire et bien la résolutionque de FX = 18 alors attention beaucoup de F se trompe ici donc on résout maintenant une équation là on vient de transformer une expression maintenant je résous FX = 18 quel forme vous allez choisir al tout d'abord attention une erreur ça serait de prendre la forme qu'on vient de développer ça ça n'est pas cela n'est pas FX beaucoup d'élèves confondent ceci n'est pas une des trois formes qu'on a de F Dex donc regardez nos trois formes quelle est celle qui va permettre d'arriver en fait à 3x 2 - 3x 30 si vous pouvez remarquer quelque chose c'est qu'ici on a 3x 2 - 3x et ici aussi donc on a le même début donc on va utiliser la forme développée on va regarder ce que ça donne donc FX = 18 ça équivaut à dire que 3x 2 - 3x - 18 ça c'est bien la forme développé cette fois-ci est égale à 18 c'est ce que je veux résoudre maintenant je vais enlever 18 des deux côtés et regardez c'est là que c'est un petit peu difficile ça fait 3x - 3x - 18 j'enlève 18 de deux côtés - 18 est égal à 18 18 18 - 18 ça fait 0 et de l'autre côté j'ai - 18 - 18 ce qui fait - 36 et c'est là qu'on doit avoir finalement l'idée c'est que cette chose là cette expression ici qui est à gauche on l'a déjà vu on l'a déjà vu c'est exactement ce qu'on vient de trouver quand on a développer 3x + 3 x x + 4 x X- 4 donc l'idée qui est importante c'est que là on va utiliser donc ceci à cet endroit-là pour remplacer 3x 2 - 3x - 3 on va le remplacer par 3 x x + 3 X X - 4 et c'est égal à 0 pourquoi là on est rassuré parce que vous avez devant vous je répète une fois de plus une équation produit donc vous avez un produit 1 2 3 facteurs cette fois-ci l'un des trois est nul donc ça veut dire que ça équivau à dire que 3 est égal à 0 évidemment ça c'est impossible parce que c'est faux d'ailleurs ce 3 on aurait pu s'en débarrasser en divisant des deux côtés par 3 ensuite ou x + 3 = 0 ce qui se résout très vite x = - 3 ou x - 4 é= 0 et l'un des trois facteurs est nuls et ça fait x = 4 qu'est-ce qu'on retrouve encore une fois je vais écrire la solution ici deux solutions - 3 et 4 et regardez c'est exactement ce qu'on avait trouvé pour FX = 18 donc voilà une question qui un petit peu qui peut être compliqué pour les élèves donc pensez bien que quand on fait ça ça n'est pas FX on vous donne un indice et vous devez finalement essayer d'arriver à cette chose là c'est pour ça que je vous dis j'ai comparé les deux expressions il y a 3x 2- 3x dans les deux donc ça m'incite à prendre FX sous sa forme développé et après vous voyez en mettant le 18 là on arrive sur notre développement voilà un exercice que j'aime bien qui est assez progressif et il y a beaucoup de choses qui permettent finalement progresser quand on en fait qu'on en refait voilà je vous souhaite une bonne fin de journée à tous et à bientôt