PLANS PARALLÈLES & ORTHOGONAUX - Term Spé

est-ce que tu sais comment démontrer que des plans sont parallèles ou orthogonaux bien je te montre de question type a parfaitement maîtriser qui tombe régulièrement au bac et si tu as compris le concept et ben ça va assez vite regarde je te propose deux plans P1 et P2 donc voici les équations cartésiennes en mode égal 0 c'est équation cartésienne et bien sûr ici l'espace était muni d'un repère orthonormé d'accord je l'ai pas mis mais maintenant je te le dis deux questions question 1 les PL P1 et P2 sont-ils parallèles et donc question 2 sont-ils orthogonaux donc si tu sais pas par recommencer j' j'espère que tu connais un élément du cours quand tu as une équation cartésienne du plan qu'est-ce que tu as automatiquement quelle information peux-tu extraire de ces équations cartésienne dis-moi que tu l'as bah un vecteur normal au plan si tu as un plan dont l'équation cartesien est AX + byy + CZ + D = 0 alors le vecteur de coordonnées ABC tuis juste tu prends ABC bah c'est un vecteur normal normal ça veut dire orthogonal en gros tu vois c'est l'information principale des équations cartésiennes donc tu vois dè que une équation de plan même s'il y a pas de question toi tout de suite tu dis e mais je connais un vecteur normal e mais je connais un vecteur normal tois tu les extrais et ensuite on voit ce qui se passe donc si on note N1 et N2 des vecteurs normaux respectivement à P1 et à P2 est-ce que tu es capable de me donner leurs coordonnées tu vois c'est vraiment un résultat adorable c'est juste tu attrapes ABC et en plus c'est dans le même ordre A B C donc vas-y 2 - 1 - 5 ok microfin céit -1 d'accord et pour N2 le vecteur normal de P2 tu attrapes AB C 4 6 -1 qu'est-ce que ça veut dire des vecteurs normaux en fait si tu as compris en profondeur tu vis être capable de dire ah oui pour la question 1 voilà ce qu'il faut faire est-ce que tu es capable de faire et pour ça il faut comprendre ce qu'est un vecteur normal normal si je dis un gros mot ça veut dire en gros perpendiculaire orthogonal il y a un angle droit si je représente P1 comme ça tu as un plan c'est en gros une feuille de papier et donc un vecteur N1 voilà tu vois comment il est c'est en gros il y a il y a un angle droit ici il est à la perpendiculaire donc P1 parallèle à P2 ça veut dire quoi pour leur vecteur normaux si tu arrives à répondre à cette question c'est bon c'est que tu as parfaitement compris ça va être quasiment gratuit et tu sais faire la question alors je t'ai fait une autre illustration au cas où c'était pas clair tu tu vois ici je dis que P1 et P2 sont parallèles ça se voit plus ou moins donc regarde j'ai représenté des vecteurs normaux comment est-ce qu'ils sont attention à ce que tu vas dire ils sont pas parallèles parallèles c'est poil droite ils sont ils sont colinéaires et ben c'est ça en fait si deux plans sont parallèles ça signifie que leurs vecteurs normaux sont colinaéire tu vois ça se comprenait en fait une fois que j'avais fait avec mes doigts non donc en fait ça voulait dire qu'ils étaient colinair et ben c'est ça la phrase à écrire donc voilà ce que j'écrirais sur la copie une fois que j'ai bien défini qui était N1 et N2 elle est puissante cette première phrase et ben j'écrirai ça P1 par P2 si et seulement si N1 et N2 pardon sont colinéaires voilà vecteurs normaux colinéair ça veut dire que plan parallèle j'espère que tu l'as bien compris est-ce qu'ils sont collinaires donc là maintenant il suffit de le dire ça veut dire quoi deux vecteurs collinaires en fait deux vecteurs sont collinaires si leur coordonnées sont proportionnels est-ce que pour passer de l'un à l'autre je multiplie toujours par un même nombre bah non ça c'est visible parce que de pour la 4 ce serait fois combien ou plutôt c'est fois combien x 2 mais tout de suite après ça marche pas tu vois 1 pour aller à 6 c'est pas x 2 donc coordonnée non proportionnelle autrement dit vecteur non colinéaire et tu fais l'effort sur une copie surtout si tu mets pas les calcul moi je suis pas fan de mettre les calculs donc je mets une belle phrase moi j'écris on constate que leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles ça va on est en terminal on peut le mettre directement tu vois donc N1 et N2 ne sont pas cinéires autrement dit les plans P1 et P2 ne sont pas parallèles et si on regarde bien tu vois la question 1 il y a limite plus de blabla que de calcul bah oui c'est ça en toi tu crois toujours qu'il faut faire des calculs non souvent il faut faut expliquer ses raisonnements expliquer sa stratégie et c'est souvent ça qu'on attend question de à présent les plans sont-ils orthogonaux en gros est-ce que il y a un angle droit est-ce que c'est perpendiculaire en fait encore une fois quand tu as une équation cartésienne le seul truc que tu peux extraire le seul truc que tu connais c'est un vecteur normal donc maintenant traduie la question en terme de vecteurs normaux comme pour la question 1 si tuarve à dire e mais planans orthogonaux ça veut dire quoi pour le vecteur normal tu tu réponds à cette question bon on sait faire la question 2 et ça va être limite un peu plus rapide non on va quand même bien écrire alors qu'est-ce que ça veut dire tu d'un autre schéma ou pas ici dans la 1 te rappelle P2 était parallèle mais si P2 est perpendiculaire qu'est-ce que ça veut dire si les plans P1 et P2 sont orthogonaux en gros ça ressemble à ça j'ai beaucoup plus de mal à dessiner que pour le premier donc en gros ça ressemblera à ça tu vois bah tu imagines deux feuilles de papier qui se coupent à la perpendiculaire tu vois tu essaies de l'imaginer et ensuite tu en extrait bah deux vecteurs normaux qui eux-mêmes sont orthogonaux plans donc les plans sont orthogonaux c'est seulement si leurs vecteurs normaux sont comment et bah pareil orthogone aussi tu vois regarde je faisais dessiner tu les VO N1 N2 bah si lu fait se rejoindre bah il y a un angle droit qui se forme tu vois faut vraiment réfléchir en terme de droite comme début du collège mais ensuite tu dis les vrais mots de terminale colinéire orthogonaux plutôt que parallèle et perpendiculaire attention à ça tu VO mais réfléchis en terme de droite et parallèle c'est beaucoup mieux donco les plans ils sont perpendiculaires ça veut dire quoi ah ouais que les vecteurs il y a un angle droit mais si les vecteurs il y a un angle droit ça veut dire qu'ils sont comment qu'ils sont orthogonaux question un million pour toi comment tu fais pour savoir si ces deux vecteurs sont orthogonaux comment tu fais pour savoir indice ça qu' au début je t'ai dit euh l'espace estmu d'un repère orthonormé en fait pour avoir le droit d'utiliser le produit scalaire il faut que tuas un repère orthonormé bah oui c'est Don la réponse c'est le résultat le plus important du produit scalaire en fait produit scalaire é=al 0 signifie vecteur orthogonaux et le produit scalaire avec les coordonnées c'est facile non comment on calcule N1 scalaire N2 comment tu calcules ça bah c'est xx' + y y prim+ ZZ prime tu vois tu multiplies et tu fais plus mais avant on va écrire la phrase pourquoi est-ce qu'on fait ça parce que deux plans sont orthogonaux si leurs vecteurs normaux bah sont eux aussi orthogonaux moi j'avoue j'ai mis un petit peu en mode accéléré P1 orthogonal à P2 si N1 et N2 sont orthogonaux la petite phrase avant le calcul donc calculons N1 scalaire N2 et ben c'est parti x X' donc c'est 2 x 4 + -1 x 6 + zz' - 5 x -1 2 x 4 on est à 8 -1 x 6 ça fait - 6 et - 5 x -1 il y a beaucoup beaucoup de Mos donc ça fait + 5 combien est-ce que ça fait 8 - 6 ça fait 2 2 + 5 ça fait 7 en fait 7 on s'en fiche ce qui est important c'est quoi bah c'est que c'est pas égal à 0 donc N1 scalaire N2 différent de 0 moi je le réécris pour bien le mettre en avant et ensuite comme j'ai mis la phrase ici on peut conclure directement donc P1 et P2 ne sont pas orthogonaux avant de partir petit bilan c'est ça que tu dois retenir en fait deux plans P1 et P2 sont parallèle bah ça veut dire que leurs vecteurs normaux sont colinéaires tu vois c'est cool ça va dans le même sens plan parallèle vecteurs normaux cinées et au contraire deux plans sont orthogonaux bah ça signifie que leurs vecteurs normaux sont orthogonaux eux aussi encore une fois dans le même sens orthogonaux orthogon donc voilà ce qu'il faut dire et avoue quand tu l'as bah c'est plutôt des phrases que des calculs et c'est des points presque gratuits j'espère que tout est clair