Niveau -Term. spé. Maths - Concours des douanes -Sujet corrigé 2023 - Ecole la Rochelle- Suites

[Musique] bonjour à tous aujourd'hui je vous propose le concours externe pour le recrutement de contrreur des douanes et des droits indirects c'est un sujet qui est très intéressant pour ceux qui se préparent au B spécialité mat parce qu'on est vraiment dans le thème un exercice sur les suites avec ici des petites récurrences gométrique une fin avec calculune somme pas évidente en tout cas classique mais pas évidente donc on est parti tout de suite la suite est définie par récurrence sur0 VO et pour tout + 1 é= 1/ de un + N - 2 première question alors la calculatrice est interditeors de ce concours hein précise donc pas de mode récurrent la calculatrice on va d'abord calculer trois termes U1 U2 et U3 quand vous voulez utiliser une relation de récurence il faut bien être sûr de la valeur de n que vous utilisez donc là pour avoir U1 il faut utiliser donc n = 0 donc pour n = 0 ça donne U1 = 1/3 de U0 + important j'ai utilisé n é= 0 donc là je mets 0 - 2 U0 est donné il est égal à 1 qui fait donc 1/3 - 2 alors je mets ça direct sur 3 - 6/ 3 ça donne donc - 5/ pour calculer U2 il me faut prendre n = 1 donc je remplace ça me donne à gauche U2 = 1/ U1 + 1 - 2 ça me fait donc 1/3 de - 5/ + 1 - 2 ça fait - ce qui me fait - 59e 1 donc je mets tout sur 9 ça me fait - 149 et maintenant je vais chercher U3 en prenant 1 = 2 j'obtiens U3 = 1/ u 2 + 2 - 2 2- 2 ça fait 0 il me reste 1/ de 149e ce qui me fait 14/ 27 2è question petite à démontrer que pour tout anti naturelle plus grand que 4 effectivement on voit bien que 3 sont négatifs et bien il faut savoir qu'à partir de 4 les termes sont tous positifs al là on va se lancer dans une récurrence donc quand on une récurrence on l'indique donc par récurrence sur n préciser donc initialisation donc ici il faut regarder pour N é= 4 parce qu'on demande N 4 pour N é= 4 on va donc être obligé de calculer U4 combien vaut U4 utilise la relation de récurrence pour N = 3 1/3 u 3 + donc 3 - 2 hein d'accord j'utilise donc la relation pour N = 3 ça me fait 1/3 de - 14/ 27 + 3 - 2 donc + 1 donc - 14/ 3 x 27 81 + 80/ 81 81 ici donc 14 c'est donc ça fait 67/ 81 donc effectivement on a bien U4 qui est positif on passe à l'hérédité on prend donc un supé ég 4 tel que un est supérieur ou égal à 0 dans ce il faut montrer que c'est vra au R suivant dans ce cas-là donc un est positif donc 1 tiers de un est positif or n est supérie égal à 4 donc N- 2 est positif si vous ajoutez de termes positifs 1/ un + N- 2 est donc supérie ég à 0 ça veut dire que donc un positif implique un + 1 positif d'accord conclusion et bien hérédité vérifier l'érédité est vérrifier conclusion toujours on soigne rédaction la propriété donc la propriété est vraie pour N = 4 et elle est héréditaire donc principe de récurrence elle est vraie pour n supérie égale à 4 donc est supérieur égal à 0 pour n supérieur égal à 4 question 2 B on déduire que pour toute antiel n supé ég à 5 un est supéri égal à N- 3 comment va-t-on procéder il faut utiliser ce qu'on vient de voir et on vient de montrer que pour n supérieur ég à 4 un est supérieur ég à 0 donc pour n supérieur ég à 4 et bien un + 1 qui est donc 1/ de un + N - 2 est donc supérieur ou égal à n - 2 d'accord parce que dans cette somme vous avez en fait le 1/ N qui est positif n est positif hein d'accord donc 1/3 de un est positif donc 1/3 n + N - 2 et donc supérieur ou égal à n - 2 d'accord donc ça veut dire qu'on vient de montrer que pour n supérieur ou égal à 4 un + 1 est supérieur égal à n - 2 donc si je fais un petit changement ici ça veut dire que pour n supérieur égal à 5 un est donc supérieur à et là je vais donc voyz j'ai remplacé ici n + 1 par N ça me fera ici donc n donc ici - 1 - 2 ça veut dire que n est supérieur égal à n - 3 bien comprendre ce qui s'est passé ici hein on a remplacé ici n par ici donc n - 1 donc une relation qui était valable pour n supérieur à 4 devient valable pour n supérie ég à 5 et voyz qu'ici ce n - 1 ça fait du N - 3 donc ça il faut prendre un petit peu à faire à faire des petits décalages donc n supérieur ég à 4 et bien on pour le changer voyez on remplace N par N- 1 et donc ça fait un suéri ég - 3 donc c'est une façon de faire une autre façon de faire c'est de prendre la relation de récurrence et de l'écrire en partant de un nous on sait que pour tout n appartenant à N un + 1 = un du N + n - 1 donc ça veut dire que si je prends n appartenant à N étoile un donc je dois remplacer n par N- 1 ça me fera 1/ de un + N- 1 - 2 n - 1 - 2 ça fait N- 3 d'accord pour n supérieur ou égal à 5 N- 1 est supérieur égal à 4 et donc le terme un- 1 d'après la question précédente est positif donc 1/ un - 1 est aussi positif donc 1/ un + N- 3 donc supérieur ou égal à n - 3 et donc ça veut dire que pour n supérieur ou égal à 5 un est supérieur égal à N- 3 et c'est une autre façon de faire en faisant le décalage plus tôt c'està dire au niveau de la relation de récurrence maintenant la limite al c'est très simple on a un supéri ég n - 3 on sait que la limite quand n t vers plus l'infini de N - 3 c'est plus l'infini donc un est supérieur au terme d'une suite qui va vers plus inf donc théorème dit de comparaison donc on écrit par comparaison et bien la limite en plus l'infini de un est aussi égal à plus l'infini 3è question maintenant on introduit une deuxème suite ce qu'on appelle une suite auxiliaire qui va nous aider à étudier un la suite vn donc le terme général c'est - 2 un + 3n - 21 dei montrz que c'est une suite géométrique pour ça on prend donc soit N appartenant à grand N très classique on parle de vn + 1 donc il faut prendre on prend cette relationquence et on remplace N par n + 1 alors on avait remplacé n par n -1 là c'est par n + 1 ça donne ceci 3n + 1 - 212i et on remplace ici un + 1 par son expression en fonction de un c'est-à-dire 1/ de un + N - 2 donc ici je développe + 3n + 3 - 212i on développe tout 2/ n - 2n + 4 + 3Z on va tout mettre sur 2 donc + 62 - 21/2 ici on a un 4 je vais écrire ça tout de suite sous la forme 8/2 comme ça on peut tout ajouter donc j'obtiens - 2/3 de un - 2 + 3n ça fait + N alors 8 et 6 14 21 donc ça fait moin d'accord 14 - 21 - 17 7/2 pardon 72 l'idée c'est quand même de montrer que vn c'est quelque chose donc qu'on ne connait pas fois vn donc ici il va falloir faire apparaître vn vn ça commence par un - 2 donc vous voyez qu'ici il y a un 3 qui me gêne donc je vais factoriser par 1/3 de façon à faire apparaître 2 un en faisant ça ici j'ai 3 j'ai n donc si je factorise par 1/3 ça fait + 3n et ensuite ici j'ai - 7/2 donc va faire - 21/2 vous voyez quand je multiplie tout par un/ers j'ai bien - 2/3 N + N moin ici on simplifie par 3 7/2 et pour reconnaissez regardez entre parenthèses ici on reconnaît en fait vn donc on vient de montrer que vn + 1 pour n antiaturel était toujours égal à 1/3 X vn donc donc on vient montrer que pour tout t vn + 1 ég inter de vn ça c'est une relation de récurrence caractéristique des suites géométriques donc vn est géométrique de raison 1/3 d'accord et avec un premier terme alors ici qui est V0 alors V0 je calcule en haut - 2 donc je remplace N par 0 faut un petit peu de place x U0 alors U0 c'est 1 + 3 x 0 - 21/2i Ça fait - 2 - 21/2 Ça fait - 4/2 - 21/2 donc - 205 demi maintenant on vous demande le terme général de un alors il faut exploiter ce qu'on vient de trouver vn est géométrique de raison 1/3 premier terme est 0 donc ici ça veut dire que pour n appartenant à grand N vn est donc égal à V0 x q^iss N la raison Q donc ici 252i x 1/ puiss N et comme on veut un bien ici il va falloir aller chercher une relation qui permet d'avoir un quand on connaît vn c'est celle-ci he or on sait que pour n donc appartenant n vn c'est - 2 un 3n - 212 donc dire que 2 un est égal donc vn+ 3n - 21/2 on divise par 2 un vaut donc - 1/2 de vn + 32 2 N - 212/ 2 ça fait 21/yez on fait apparaître comme ça le 3 de N 21/4 inquiétez pas on s'approche ensuite donc ici ça veut dire que donc pour n appartent à N un c'est - 12 x donc - 252 1/ puiss n ça c'est vn qu'on vient de trouver + 32 n - 21/4 donc ça veut dire que un ça fait moins FO moins ça fait + 25/ 2 x 4 x 1/^iss N + 32 x N- 21/4 c'est exactement qu'il fallait démontrer évidemment pour tout n appartenant à grand N et on attaque maintenant la dernière question la somme donc de K = 0 à N des UK les UK je remplace he ici dans expression de N le N par K j'obtiens ceci et j'ai donc ici trois termes en chaque parenthèse on va séparer ça en trois sommes donc ici alorsment on travaille un pour n appartenant à grand N SN c'est donc une première somme donc ici on aura 25 car 1/^iss k plus la somme pour Kant de 0 à N des 32i x k plus la somme pour Kant de 0 N et 21/4 alors on a ici une somme de termes qui sont tous donc ici factoris par 254 donc on peut sortir en fait le 25/4 ça va donner 25/4 fois la somme pour C en de0 à N des 1/^iss 4 ça c'est une somme très connue c'est puissance de 1/ de 0 jusqu'à n on verra juste après ici on a un 3 demi qu'on peut sortir aussi c'est 3 demi fois la somme pour cant de 0 à N des K et ensuite là on a un 21/4 alors ici on peut le sortir si on veut mais sinon cette somme on va tout de suite dire ce qu'on en pense qu'est-ce que c'est somme de K = 0 à N des - 21/4 Ça ve dire vous écrivez - 21/4 - 21/ et cetera vous écrivez ça combien de fois pour k de 0 à N de 0 à N il y a 13 important n + 1 terme donc on a écrit ici qu'est-ce qu'on a écrit on a écrit - 21/4 et on l' écrit n + une fois donc ça fait - 21/4 x N + 1 ensuite on a une somme ici c'est du cours la somme de K = 0 n des puissan de 1/3 1/3 est différent de 1 donc il a une formule c'est 1 - 1/3 à puissance nombre de termes on a dit de 0 n il y a n + un terme donc ici on divisé par 1- 1/ alors 1- 1/ ça fait 2/ donc on a ceci 1 donc moins alors vous pouvez si vous voulez donc on a une puissance une fraction à la puissance n + 1 donc ça fait 1^ n + 1 donc 1/ 3^iss n + 1 et quand on divise par 2/ on multiplie par 32 donc j'obtiens 32 x 1- 1/ 3 pu n + 1 vous pouvez même développer 32 Mo ici voyz 32 x 1/ 3 pu n + 1 on a un 3 en haut ici on a 3^ n on peut simplifier et il restera 1/ 3^iss n c'est-à-dire que cette somme elle fait 3/2 - 1/ 3^ 1 donc pour l'instant j'ai 25 k x 3/2 - 1/ 3^ N et là on a une autre somme très intéressante aussi la somme pour k allant de 0 à N 2 k ça veut dire que c'est 0 + 1 + 2 et cetera jusqu'à N on est même pas obligé de mettre le zéro c'est donc la somme des entiers de A à N donc on connait cette somme elle vaut n n + 1 sur 2 et on n'oublie pas qu'il y avait déjà un 3/ demi donc là si on multipliie par 3/2i vous aurz un 3 en haut et un 4 en bas et moins donc ici 21/4 on peut peut-être à rigueur développer bon normalement on va faire comme ça ça c'est déjà un résultat acceptable maintenant si j'enlève un petit peu de parenthèse qu'est-ce qu'on peut faire donc on a 75/ 8 25/ 4 x 3^iss N alors ici vous voyez qu'on peut factoriser par n + 1 si on veut ça peut peut-être être élégant donc je factorise par n + 1 ça me fera 3n/ 4 21/ 4 ah c'est 4 donc on peut peut-être mettre ça sous une forme sympa donc on peut ici écrire donc alors on aura tout sur 4 N + 1 x 3n - 21 on peut même si on veut factoriser par 3 voyez peut-être trois fois ici et donc si factorise j'ai N- 7 voilà on va s'arrêter là parce qu'on en fait rien dans exercice on vous demande pas grand chose de plus donc on a terminé cet exercice assez sympa bon entraînement pour le bac spécialité mat é preuves intéressante si pour ce concours externe voilà donc je vous souhaite une bonne fin de J à tous relisez bien la fin sur les suites et sur les sommes ça apprend quand même pas mal de choses voilà