les 5 techniques pour calculer un produit scalaire dans le plan - Première Spécialité maths

Alors, l'objectif de cette vidéo, c'est de vous présenter les principales situations que vous allez rencontrer dans les exercices et dans lesquelles vous allez devoir calculer un produit scalaire, et de vous montrer concrètement comment, dans chacune de ces situations, on va calculer le produit scalaire. Alors, commençons par rappeler les différentes techniques pour calculer un produit scalaire. Alors, première technique, si vous avez deux vecteurs u et v, et vous connaissez l'angle entre ces deux vecteurs qu'on va appeler α, et bien le produit scalaire uv est égal à la norme de u fois la norme de v fois le cosinus de l'angle qu'il y a entre les deux vecteurs. Voilà la première technique pour calculer un produit scalaire. Alors, deuxième technique, si vous connaissez les coordonnées des vecteurs u et v et que vous êtes dans un repère orthonormé, ça c'est fondamental, si vous êtes dans un repère quelconque, vous ne pourrez pas appliquer cette technique. Donc, si vous êtes dans un repère orthonormé et que vous connaissez les coordonnées de u et v qu'on va appeler x et y et x' et y', et bien le produit scalaire uv, il vaut xx' plus y y'. Alors, cette formule-là est très pratique, mais pour cela, il faut être, un, dans un repère orthonormé, et deux, connaître les coordonnées de u et v. Alors, troisième technique, si vous voulez calculer le produit scalaire ABAC, vous pouvez utiliser les projetés orthogonaux. Et vous prenez C, vous cherchez son projeté orthogonal sur AB, c'est-à-dire que vous tracez la droite passant par C, la droite passant par C perpendiculaire à AB, et vous obtenez le point H. Et bien, le produit scalaire ABAC, il est égal au produit scalaire AHAB. Et du coup, on se retrouve avec trois points alignés, puisque H est sur la droite AB, et vous verrez que ça simplifie les calculs dans la suite des exercices. Alors ici, vous voyez que j'ai projeté C sur la droite AB, et donc le produit scalaire ABAC, il est égal à AHAB. Mais au lieu de projeter C sur la droite AB, j'aurais pu projeter B orthogonalement sur la droite AC, et j'aurais obtenu le point H'. Et le produit scalaire ABAC, il est égal à ACAH'. Donc, ce qu'il faut retenir, c'est qu'il y a deux façons de projeter, soit C sur AB, soit B sur AC. Mais dans les deux cas, le produit scalaire ABAC, il est égal à AHAB, ou il est égal aussi à ACAH'. Et après, vous choisissez ce qui est le plus pratique. Est-ce que c'est plus pratique de projeter C sur AB, ou B sur AC ? Alors, quatrième technique, quand vous voulez calculer, là encore, le produit scalaire ABAC, vous avez donc un triangle. Et si vous connaissez les trois longueurs du triangle, le produit scalaire ABAC, il est égal à 1,5, la longueur AB², plus la longueur AC², moins la longueur BC². Et pour retenir l'ordre, ici, des longueurs, c'est très simple. Comme vous voulez le produit scalaire ABAC, ici, ça, c'est les côtés adjacents. Donc, vous faites côté adjacents au carré, donc AB², plus AC², moins la longueur opposée, ici, au carré. Voilà, quatrième technique, mais qui n'est applicable que si on connaît les trois longueurs dans ce triangle. Alors, maintenant qu'on a rappelé les différentes techniques pour calculer un produit scalaire, appuyez sur pause, cherchez bien cet exercice, puis seulement après avoir cherché, regardez la correction. Alors, calculons ce produit scalaire ABAC dans cette situation. Alors, ici, qu'est-ce qu'on connaît ? D'abord, la norme du vecteur AB, c'est donc la longueur AB, elle vaut 2. Et de même, la longueur AC, donc la norme du vecteur AC, vaut 3. Donc, je connais la norme du premier vecteur, je connais la norme du deuxième vecteur, et également, je connais l'angle, parce que l'angle ABAC, ici, il vaut exactement π, puisqu'on fait un demi-tour. Alors, calculons au brouillon le produit scalaire ABAC. Donc, d'après la première formule, le produit scalaire UV, c'est égal à la norme du premier vecteur, c'est-à-dire norme du vecteur AB, que multiplie norme du second vecteur, que multiplie le cosinus de l'angle, c'est-à-dire, ici, cosinus π. Alors, première chose à retenir, la norme du vecteur AB, c'est ni plus ni moins que la longueur AB. Pareil, la norme du vecteur AC, c'est la longueur AC. Quant à cosinus π, π, c'est le nombre qui correspond à ce point-là du cercle trigo, et le cosinus de π, c'est l'abscisse de ce point. Et comme on est sur le cercle trigo, l'abscisse de ce point-là, c'est moins 1. Donc, cosinus π, il vaut moins 1. Donc, finalement, le produit scalaire ABAC, il vaut la longueur AB, mais c'est-à-dire 2, la longueur AB, elle vaut 2, que multiplie la longueur AC, qui vaut 3, que multiplie moins 1, c'est-à-dire cosinus π. Et donc, au final, on trouve 2 fois 3, ça fait 6, fois moins 1, c'est-à-dire moins 6. Alors là, j'ai détaillé, mais on pourrait aller plus vite. Qu'est-ce qu'il faut retenir ? Il faut retenir que quand on a deux vecteurs U et V et qu'ils font un angle de π, c'est-à-dire, ça signifie quoi ? Ça veut dire que ces deux vecteurs, ils sont collinaires, mais dans le sens opposé. Et bien, dans ce cas-là, le cosinus π vaut moins 1, et donc, ça va faire apparaître un moins devant. Et donc, vous devez retenir, et c'est dans votre cours, que quand vous avez deux vecteurs U et V qui sont collinaires, mais deux sens opposés, le produit scalaire, il vaut moins, qui vient du cosinus, norme de U fois norme de V. C'est ce que j'ai rappelé ici. Si vous avez deux vecteurs U et V collinaires, mais deux sens opposés, exactement comme dans cette situation, le produit scalaire UV est égal à moins norme de U fois norme de V. Et je répète, le moins vient du cosinus π. Et si, de la même façon, cette fois-ci, les deux vecteurs sont collinaires, mais de même sens, ça veut dire que l'angle qui est entre les deux vaut 0. Et bien, si l'angle vaut 0, c'est-à-dire que si α vaut 0, vous savez que cosinus 0, ça vaut 1. Et donc, dans ce cas-là, le produit scalaire UV, ça fera norme de U fois norme de V fois cosinus 0, c'est-à-dire 1. Donc, il restera uniquement norme de U fois norme de V. Et donc, c'est ce que je rajoute ici. Si U et V sont collinaires et de même sens, donc ça veut dire que l'angle qu'il y a entre les deux, ce sera 0. Et cosinus 0, c'est 1. Et donc, le produit scalaire UV, il sera égal à norme de U fois norme de V fois 1, c'est-à-dire uniquement norme de U fois norme de V. Et ça, je le rappelle parce qu'on l'utilise très souvent, et c'est dans votre cours. Et donc, sur ma copie, il me suffit d'écrire que les vecteurs AB et AC, ils sont collinaires, mais de sens opposés. Et donc, le produit scalaire AB, AC, j'utilise cette technique-là. Comme ils sont collinaires et de sens opposés, le produit scalaire, il vaut moins norme du premier vecteur, c'est-à-dire sa longueur, 2, fois norme du deuxième vecteur, c'est-à-dire 3. Donc, ça fait moins 2 fois 3, ça fait moins 6. Et il n'y a pas besoin d'écrire plus que cela. Alors maintenant, calculons le produit scalaire AB, AC dans cette situation. Alors, vous voyez qu'ici, on a un repère orthonormé. Ici, on a un angle droit et ces deux longueurs sont égales et valent 1. Donc, comme on est dans un repère orthonormé, on va utiliser la formule avec les coordonnées. Alors, les coordonnées du vecteur AB, AB dans ce repère, ses coordonnées, c'est moins 2 et 3. Et les coordonnées du vecteur AC, c'est moins 1, moins 2, moins 3, moins 4, moins 5, 2. Voilà les coordonnées des deux vecteurs. Et donc, j'écris sur ma copie. Comme on est dans un repère orthonormé, c'est important de l'écrire pour montrer au correcteur qu'avant d'appliquer cette formule XX' plus YY', vous avez pensé qu'avant d'appliquer cette formule, il fallait vérifier qu'on était bien dans un repère orthonormé. Et donc, j'écris, comme on est dans un repère orthonormé, le produit scalaire ABAC, il vaut moins 2 fois moins 5, c'est ce que j'ai écrit là, plus 3 fois 2. Alors, ça, ça fait 10 plus 6, c'est-à-dire 16. Voilà qui termine le calcul de ce produit scalaire. Et donc, j'insiste encore une fois parce que parfois, on voit des élèves qui appliquent cette formule alors qu'ils ne sont pas dans un repère orthonormé. Donc, j'insiste bien, avant d'appliquer cette formule, vérifiez que vous êtes bien dans un repère orthonormé et indiquez-le sur votre copie que vous avez bien vérifié que vous êtes dans un repère orthonormé. Alors, calculons maintenant le produit scalaire ABAC dans cette situation. Alors d'abord, voyez qu'il y a 4 angles droits et que toutes les longueurs ici sont égales. Donc ici, on est dans un carré. Alors ici, comme on est dans un carré, on pourrait introduire un repère orthonormé, chercher les coordonnées du vecteur AB et du vecteur AC dans ce repère et appliquer la fameuse formule XX' plus YY'. Mais en fait, on peut aller plus vite que cela. Alors, regardez ici, on peut utiliser les projetés orthogonaux. On peut projeter C orthogonalement sur AB. Et comme C, ici, c'est le milieu de ce segment, et bien, comme ici, on est dans un carré, il va se projeter ici en H au milieu de AB. Et donc, le produit scalaire ABAC, il est égal à quoi ? D'après ce qu'on a rappelé ici, il est égal à AAH fois AB. Et ça, c'est beaucoup plus simple à calculer parce que les vecteurs AH et AB, ils sont justement collinéaires et de même sens. Et donc, le produit scalaire, il va être égal à la longueur AH fois la longueur AB. Il n'y a plus qu'à l'écrire sur sa copie. Et donc, je commence par écrire sur ma copie. Comme j'introduis un nouveau point H, il faut l'indiquer sur sa copie, soit H, le projeté orthogonal de C sur la droite AB. Et donc, le produit scalaire ABAC, il est égal à quoi ? Il est égal au produit scalaire ABAH. On remplace AC par le projeté orthogonal AH. Voilà ce que j'ai écrit ici. Mais les deux vecteurs AB et AH, ils sont collinéaires et de même sens. Et si vous avez deux vecteurs collinéaires et de même sens, leur produit scalaire, il vaut norme du premier fois norme du second, c'est-à-dire longueur AB fois longueur AH. Mais la longueur AB, c'est le côté du carré, c'est-à-dire 4. Et la longueur AH, comme H, c'est le milieu de AB, AH, cette longueur, elle vaut 2. Et donc, ceci, ça vaut 4 fois 2, c'est-à-dire 8. Et voilà, on a terminé de calculer ce produit scalaire ABAC sans utiliser de repères orthonormés. Vous voyez qu'avec un projeté orthogonal, ça va très très vite. Alors maintenant, calculons le produit scalaire ABAC dans cette situation. Alors si on utilisait à nouveau les projetés orthogonaux comme dans le cas précédent, ça voudrait dire qu'on projette par exemple B sur la droite AC. Mais le problème, c'est qu'on obtiendrait un point ici qu'on ne serait pas exactement situé sur la droite AC. Donc ici, les projetés orthogonaux ne nous servent à rien. Et pareil, si on projette C sur la droite AB, on obtiendrait un point. Attention, le point ne serait pas forcément au milieu. On ne sait pas où est exactement le projeté orthogonal de C sur la droite AB ni où est exactement le projeté orthogonal de B sur la droite AC. Donc ici, la technique des projetés orthogonaux n'est pas très pratique. Alors justement, en plus de toutes ces techniques, il y en a une autre qui consiste à faire une décomposition avec Charles en utilisant les angles droits. Alors ça veut dire quoi ? Ça veut dire par exemple qu'ici, au lieu de travailler avec le vecteur AB, comme ici j'ai un angle droit, eh bien AB, je vais le décomposer en AF plus FB. Et pareil, ici AC, comme ici j'ai un angle droit, eh bien je vais décomposer AC en AE plus EC. Voilà ce que je vais faire maintenant. Et donc j'écris que le produit scalaire AB, AC, il est égal à quoi ? Au lieu de mettre AB, je mets AF plus FB. Et au lieu de mettre AC, je mets AE plus EC. Et maintenant, je vais développer. Alors si on développe, ça fait le premier avec le premier, ça me donne celui-là. Le premier avec le second, ça me donne celui-là, etc. Et donc maintenant, je vais calculer chacun de ces 4 produits scalaires séparément. Et vous allez voir que ça va être très pratique, parce qu'à chaque fois, comme ici il y a des angles droits, je vais me retrouver soit avec des vecteurs collinaires, soit avec des vecteurs orthogonaux. Alors regardez AF, AF, AE. Ce sont deux vecteurs collinaires, mais de sens opposé. Et vous savez que quand on fait le produit scalaire de deux vecteurs collinaires et de sens opposé, ça fait moins norme du premier fois norme du second. Donc ici, ça va faire moins la norme du premier, c'est-à-dire la longueur AF, que multiplie la norme du second, c'est-à-dire la longueur AE. Plus AF et EC. Mais regardez AF et EC, ce sont deux vecteurs, regardez AF et EC, qui sont orthogonaux. Et n'oubliez pas que quand deux vecteurs sont orthogonaux, le produit scalaire des deux, il vaut 0. Donc AF, EC, ce produit scalaire, il vaut 0. Plus, qu'est-ce qu'il me reste ? FB, AE. Et là encore, FB, AE, ils sont orthogonaux. Donc ce produit scalaire, il vaut 0. Plus ceci. Mais ici, on a FB et EC. FB et EC. En fait, c'est deux vecteurs qui sont égaux. Et donc, ils sont collinaires et de même sens. Donc ça fait longueur FB, que multiplie longueur EC. Parce que je le rappelle que quand on fait le produit scalaire de deux vecteurs collinaires et de même sens, s'ils sont égaux, ils sont forcément de même sens, eh bien, le produit scalaire, il vaut norme du premier fois norme du second. Et maintenant, il n'y a plus qu'à remplacer AF par sa valeur. Ici, regardez, on est dans un carré. Et donc, comme A, c'est le milieu, et que le carré est de côté 4, eh bien, AF vaut tout simplement 2. Donc ici, ça fait moins 2. AE, AE, c'est pareil, c'est 2 également. 0, 0, on passe. FB, eh bien, FB, c'est 4 en longueur, que multiplie EC. EC, c'est également 4. Et maintenant, il n'y a plus qu'à arranger. Et donc ici, ça fait 16 moins 4, c'est-à-dire 12. Voilà, on a réussi à calculer ce produit scalaire. On aurait pu, là encore, introduire un repère orthonormé, chercher les coordonnées du vecteur AB, chercher les coordonnées du vecteur AC, et appliquer la fameuse formule XX' plus YY'. Mais on peut le faire également à l'aide d'une décomposition, et c'est extrêmement important que vous compreniez les deux techniques. Alors, calculons le produit scalaire AB, AC dans cette situation. Alors, vous voyez qu'ici, on est exactement dans la situation du cours expliquée ici. On a un triangle dans lequel on connaît les trois longueurs. Et donc, le produit scalaire AB, AC, il est égal à quoi ? À 1,5 du côté adjacent au carré, c'est-à-dire AB², plus l'autre côté adjacent au carré, c'est-à-dire AC², moins la longueur opposée au carré. Et maintenant, il n'y a plus qu'à remplacer AB, AC et BC par leurs valeurs pour trouver le produit scalaire AB, AC. Et donc, si on remplace AB par 5 comme ici sur le carré, ça fait 25. AC par 4 ici, ça va donc faire 16. Et ici, ça va faire moins 4. Et donc, si vous faites le calcul, ça va faire 37,5. Voilà comment on calcule le produit scalaire AB, AC dans cette situation. Alors, maintenant, corrigeons le produit scalaire AB, AC dans cette situation. Alors ici, comme on ne connaît pas l'angle, ce n'est pas très pratique de calculer le produit scalaire AB, AC directement. Donc, dans ces cas-là, on commence par calculer ce qu'on est capable de calculer facilement. Et qu'est-ce qu'on est capable de calculer facilement ? Eh bien, ici, c'est le produit scalaire BC, BA. Pourquoi ? Parce qu'on est exactement dans cette situation où on connaît l'angle et les deux longueurs adjacentes à l'angle. Donc, ce qu'on va faire maintenant, c'est qu'on va déjà calculer BC, BA. Et on verra comment, à partir de ce produit scalaire, déduire celui qui nous intéresse, c'est-à-dire AB, AC. Et donc, j'écris que le produit scalaire BC, BA, il est égal à quoi ? La longueur BC fois la longueur BA fois le cosinus. Et comme ici, c'est 60°, c'est-à-dire π sur 3 en radian. Alors, la longueur BC, ici, elle vaut 6. La longueur BA, elle vaut 4. Reste à trouver la valeur de cosinus π sur 3. Alors, pour cela, on fait un petit cercle trigo. On place π sur 3, qui correspond à ce point-là. Et le cosinus de π sur 3, c'est l'abscisse de ce point. Et l'abscisse de ce point, vous devez savoir que c'est un demi. Donc, cosinus π sur 3, ça vaut un demi. Et maintenant, il n'y a plus qu'à arranger. Et donc, 6 fois 4, ça fait 24. Divisé par 2, ça fait 12. Donc, le produit scalaire BC, BA, il vaut 12. Mais moi, ce n'est pas le produit scalaire BC, BA qui m'intéresse. C'est le produit scalaire AB, AC. Qu'est-ce que je pourrais faire pour avoir du AB et du AC ? Alors, du AB, j'en ai presque parce qu'ici, j'ai du BA. Il suffit d'inverser les deux lettres. Mais du AC, qu'est-ce qu'il faut faire ? Eh bien, il faut tout simplement introduire A ici pour faire apparaître AC. C'est ce qu'on va faire maintenant. Et donc, j'écris donc. Et au lieu de mettre BC, ici, je mets BA plus AC. Donc, je n'ai rien changé, j'ai juste appliqué chale. Scalaire BA égale 12. Et maintenant, je suis sûr de pouvoir conclure parce que je vais développer. Ça va me faire BA, scalaire BA. Et ça, je vais savoir le calculer. Et je vais avoir AC, scalaire BA. Et AC, scalaire BA, c'est presque AB, scalaire AC. C'est ce que je vais faire maintenant. Donc, je développe et ça me donne BA, scalaire BA, plus AC, scalaire BA. Le tout toujours étant égal à 12. Mais BA, scalaire BA, c'est un produit scalaire de deux vecteurs comme ils sont égaux. Ils sont donc collinaires et de même sens. Donc, le produit scalaire est égal à norme du premier fois norme du second, c'est-à-dire longueur BA fois longueur BA. Donc, retenez bien, quand vous faites, je le marque ici au brouillon, U, scalaire U, ça donne toujours la norme de U au carré. Donc ici, BA, scalaire BA, ça donne la longueur BA au carré. Et la longueur BA au carré, c'est-à-dire ça fait 4 carrés, ça fait 16. Maintenant, moi, ce que je veux faire apparaître, c'est AB. Mais vous savez que ici, BA, on peut le remplacer par moins AB. Et donc ici, au lieu de mettre AC, scalaire BA, je peux mettre moins AC, scalaire AB. Le tout, tout genre, étant égal à 12. Et maintenant, regardez, on a fini. Parce que comme ici, on a 16 et qu'ici, on a 12, donc 16 moins quoi ? Égal 12. Eh bien, ça veut dire que ceci vaut 4. Et ça veut dire que AC AB égale 4. Mais comme c'est commutatif, ça veut dire donc que AB scalaire AC, ce bloc-là, il vaut 4. Et voilà, ça termine cette question. Donc, retenez bien comment j'ai fait. Ici, ce qui était facile à calculer, c'était BCBA. Et une fois que j'ai calculé BCBA, ici, dans BC, j'ai introduit A, j'ai développé pour faire apparaître AB, AC. Voilà comment j'ai procédé. Donc voilà, cet exercice est maintenant terminé. Alors, qu'est-ce qu'il faut retenir ? Eh bien, la principale chose à retenir, c'est que vous avez ici toutes les techniques à votre disposition pour calculer un produit scalaire. Et je récapitule avec des angles. La première technique, ensuite, quand les vecteurs sont collinaires et de même sens, ensuite, quand les vecteurs sont collinaires et de sens opposés, ensuite, avec les coordonnées, mais dans un repère orthonormé, ensuite, avec les projetés orthogonaux, ensuite, avec les longueurs, quand vous connaissez les trois longueurs dans un triangle, et enfin, à l'aide d'une décomposition. Voilà les techniques qui sont à votre disposition pour calculer un produit scalaire. Et toute la difficulté pour vous dans les exercices, ça sera de choisir la bonne technique pour résoudre le problème. Eh bien, c'est très simple. Si vous n'y arrivez pas avec une technique, essayez avec une autre. Alors la technique la plus simple à utiliser, en général, c'est d'utiliser la formule avec les coordonnées, mais pour cela, il faut un repère orthonormé. Voilà ce qu'il faut retenir. Donc retenez bien toutes les techniques à votre disposition pour calculer un produit scalaire. Et refaites bien cet exercice sans regarder la correction si vous avez eu du mal à le résoudre.